Este documento trata sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas. Se divide en dos secciones principales: 1) Ecuaciones trigonométricas, que presenta ejemplos y ejercicios de ecuaciones trigonométricas y métodos para resolverlas, y 2) Sistemas de ecuaciones trigonométricas, con ejemplos y ejercicios de sistemas de este tipo. El autor es Juan José Isach Mayo y la fecha del documento es 7/01/2007.
Ejercicios variados del tema 3 con solucionescepa_los_llanos
Las ecuaciones de primer grado se resuelven encontrando el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. Las ecuaciones de segundo grado se resuelven usando la fórmula cuadrática. Los sistemas de ecuaciones se resuelven igualando ambas ecuaciones y resolviendo para encontrar los valores de las variables que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
Este documento presenta 59 problemas de ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicos para resolver. Los problemas incluyen ecuaciones exponenciales monómicas y polinómicas, sistemas de ecuaciones exponenciales, ecuaciones que utilizan logaritmos, ecuaciones logarítmicas, y sistemas de ecuaciones logarítmicas. También presenta problemas sobre el crecimiento exponencial de la madera, el capital, los precios y la población de un país.
El documento presenta 85 ejercicios de ecuaciones y sistemas de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de resolver ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con denominadores, sistemas de ecuaciones de dos incógnitas resueltos por tres métodos y factorización, y ecuaciones de segundo grado resueltas mediante fórmulas, factorización y relaciones de Cardano-Vieta.
Este documento presenta la resolución de 10 problemas de cálculo de integrales mediante diferentes métodos como integración por partes, sustitución, fracciones parciales y cambio de variable. Se resuelven integrales definidas e indefinidas de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales.
Este documento presenta 85 ejercicios de ecuaciones y sistemas de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de resolución de ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con denominadores, sistemas de ecuaciones de dos variables y ecuaciones de segundo grado. Los ejercicios están organizados en apartados y se pide resolverlos y comprobar las soluciones dadas.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1ºbach.ccssMatemolivares1
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con exponentes y logaritmos. Incluye la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones y expresiones logarítmicas, así como el cálculo de logaritmos en diferentes bases.
El documento presenta ejercicios de álgebra que involucran la factorización y simplificación de fracciones algebraicas. Los ejercicios resuelven fracciones mediante la identificación de factores comunes y la descomposición de polinomios en factores.
Este documento presenta una serie de ejercicios de ecuaciones de primer y segundo grado. Incluye ejercicios para identificar identidades y ecuaciones, resolver ecuaciones de primer y segundo grado, comprobar soluciones, y expresar ecuaciones equivalentes. El documento contiene 43 ejercicios de ecuaciones para practicar conceptos fundamentales de álgebra.
Ejercicios variados del tema 3 con solucionescepa_los_llanos
Las ecuaciones de primer grado se resuelven encontrando el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. Las ecuaciones de segundo grado se resuelven usando la fórmula cuadrática. Los sistemas de ecuaciones se resuelven igualando ambas ecuaciones y resolviendo para encontrar los valores de las variables que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
Este documento presenta 59 problemas de ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicos para resolver. Los problemas incluyen ecuaciones exponenciales monómicas y polinómicas, sistemas de ecuaciones exponenciales, ecuaciones que utilizan logaritmos, ecuaciones logarítmicas, y sistemas de ecuaciones logarítmicas. También presenta problemas sobre el crecimiento exponencial de la madera, el capital, los precios y la población de un país.
El documento presenta 85 ejercicios de ecuaciones y sistemas de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de resolver ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con denominadores, sistemas de ecuaciones de dos incógnitas resueltos por tres métodos y factorización, y ecuaciones de segundo grado resueltas mediante fórmulas, factorización y relaciones de Cardano-Vieta.
Este documento presenta la resolución de 10 problemas de cálculo de integrales mediante diferentes métodos como integración por partes, sustitución, fracciones parciales y cambio de variable. Se resuelven integrales definidas e indefinidas de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales.
Este documento presenta 85 ejercicios de ecuaciones y sistemas de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de resolución de ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con denominadores, sistemas de ecuaciones de dos variables y ecuaciones de segundo grado. Los ejercicios están organizados en apartados y se pide resolverlos y comprobar las soluciones dadas.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1ºbach.ccssMatemolivares1
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con exponentes y logaritmos. Incluye la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones y expresiones logarítmicas, así como el cálculo de logaritmos en diferentes bases.
El documento presenta ejercicios de álgebra que involucran la factorización y simplificación de fracciones algebraicas. Los ejercicios resuelven fracciones mediante la identificación de factores comunes y la descomposición de polinomios en factores.
Este documento presenta una serie de ejercicios de ecuaciones de primer y segundo grado. Incluye ejercicios para identificar identidades y ecuaciones, resolver ecuaciones de primer y segundo grado, comprobar soluciones, y expresar ecuaciones equivalentes. El documento contiene 43 ejercicios de ecuaciones para practicar conceptos fundamentales de álgebra.
Este documento presenta las propiedades de los logaritmos naturales y explica cómo resolver ecuaciones logarítmica. Incluye ejemplos de propiedades como que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores y cómo resolver ecuaciones logarítmica en tres pasos: expresar la ecuación como el logaritmo de una sola expresión, expresarla en forma exponencial y resolver la ecuación resultante. Finalmente, presenta ejercicios resueltos como ejemplo y una evaluación para poner en
El resumen del documento es:
1) Tres amigos y sus tres hijos recogieron almendras de un saco en función del número de veces que metieron la mano. Cada padre cogió 45 almendras más que su hijo.
2) Se pide determinar los nombres de los hijos, el número total de almendras y cuántas cogió cada uno resolviendo ecuaciones.
3) La suma total de almendras fue 1183.
Copia de cedart por fin termine 3er parcialLuisa González
El documento presenta información sobre el bachillerato de arte y humanidades de la escuela CEDART DAVID ALFARO SIQUEIROS. Incluye una lección sobre álgebra que cubre temas como factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales.
El documento presenta la resolución de varias ecuaciones logarítmicas a través de la aplicación de propiedades de los logaritmos. Se resuelven ejercicios como log(x2 + 15) = log(x + 3) + log(x), 2log(x + 5) = log(x + 7) y log2(3x - 4) = log100 + log(2x + 1)2 aplicando propiedades como la suma y diferencia de logaritmos y eliminando los logaritmos para resolver ecuaciones algebraicas equivalentes.
Este documento presenta una introducción teórica y ejercicios resueltos sobre ecuaciones logarítmicas y exponenciales. La sección teórica explica cómo resolver ecuaciones logarítmicas expresando los términos como logaritmos y ecuaciones exponenciales expresando los términos como potencias de la misma base o realizando cambios de variable. La sección de ejercicios resueltos contiene 14 problemas resueltos usando estas técnicas.
Este documento explica cómo factorizar polinomios descomponiéndolos en sus factores primos. Primero define los polinomios primos y cómo descomponer un polinomio en estos factores. Luego detalla los pasos para hallar las raíces de un polinomio y cómo esto permite la factorización. Finalmente, presenta varios ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos conceptos para factorizar polinomios de diferentes grados.
El documento explica los exponentes y sus propiedades. Los exponentes indican cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Las "leyes de los exponentes" se derivan de que un exponente positivo indica cuántas veces se multiplica un número, mientras que un exponente negativo indica cuántas veces se divide. La multiplicación y división de monomios y polinomios siguen estas propiedades de los exponentes.
Este documento presenta 9 ejercicios de fracciones algebraicas. Cada ejercicio involucra simplificar fracciones algebraicas mediante la descomposición en factores de los polinomios del numerador y denominador y la aplicación de identidades y reglas algebraicas como el producto notable.
1. El documento presenta problemas de álgebra que involucran simplificar expresiones, factorizar ecuaciones, resolver ecuaciones cuadráticas y desigualdades, y encontrar valores de variables para satisfacer ciertas condiciones. Los problemas cubren temas como exponentes, raíces, ecuaciones de primer y segundo grado, y desigualdades.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con sistemas de ecuaciones. Incluye ejemplos de verificar si puntos dados son soluciones de sistemas, completar sistemas para que tengan soluciones específicas, representar sistemas gráficamente y encontrar sus soluciones, y resolver sistemas mediante sustitución, igualación y reducción.
El documento resume los conceptos básicos de cálculo como la derivada de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como las derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones de derivadas a problemas de máximos, mínimos y razones de cambio. Finalmente, incluye los datos personales del autor.
1. El documento presenta ejercicios resueltos sobre números complejos, incluyendo la interpretación geométrica de la suma y el producto de números complejos, y la demostración de que si tres puntos forman un triángulo equilátero, su suma es igual al producto de sus coordenadas.
2. Se explica cómo encontrar los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen con un vértice en (1,0).
3. Se muestra cómo expresar la ecuación de una circunferencia en función de las coord
Este documento explica las ecuaciones logarítmicas y cómo resolverlas. Primero, se expresa la incógnita bajo un logaritmo. Luego, se aplican las propiedades de los logaritmos para eliminarlos y dejar la incógnita libre. Por ejemplo, si log10(x-2)=2, se expresa 2 como logaritmo y luego se igualan los miembros para obtener x=102. El documento también incluye 10 ejercicios de ecuaciones logarítmicas para practicar.
El documento presenta las seis propiedades fundamentales de los números reales para la suma y la multiplicación: 1) Clausura, 2) Conmutatividad, 3) Asociatividad, 4) Identidad, 5) Elemento inverso y 6) Distributividad. Además, proporciona un ejemplo numérico para verificar cada una de estas propiedades utilizando los números -2, -1, 1, 3, 4 y 12.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
Este documento presenta diferentes métodos para integrar funciones trigonométricas y expresiones irracionales, incluyendo: 1) integración de diferenciales trigonométricas, 2) integración por sustitución trigonométrica, y 3) integración por racionalización. Se proveen ejemplos detallados de cada método y se explican las identidades trigonométricas utilizadas.
Este documento presenta 10 ejercicios de ecuaciones de primer grado. Los ejercicios 1-5 involucran encontrar soluciones a ecuaciones mediante prueba y error. Los ejercicios 6-9 implican resolver ecuaciones de primer grado de manera algebraica y comprobar las soluciones. El ejercicio 10 pide comprobar si cuatro ecuaciones adicionales son de primer grado y encontrar sus soluciones.
El documento contiene 10 ejercicios de álgebra que involucran resolver ecuaciones y desigualdades cuadráticas y encontrar intervalos de solución. Los ejercicios cubren temas como encontrar intervalos de solución, resolver sistemas de ecuaciones, y determinar el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática.
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)anamariawyatt1
En la siguiente presentación se observaran diferentes conceptos y ejemplos de las expresiones algebraicas, como lo son suma, resta, multiplicacion, division, valor numerico, productos notables y factorizacion.
espero sea de ayuda la informacion suministrada
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y explica que son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 2. Describe los tres tipos de ecuaciones de segundo grado (puras, completas y mixtas) y los métodos para resolverlas (factorización, raíz cuadrada, completando cuadrados y fórmula general). Además, presenta ejemplos para clasificar ecuaciones y resolver problemas relacionados con ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta 13 ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado. El primer ejercicio determina si ciertas ecuaciones son de segundo grado o no. Los ejercicios siguientes resuelven ecuaciones de segundo grado utilizando fórmulas como la fórmula cuadrática. El último ejercicio halla dos números dados su suma y producto.
Este documento presenta las propiedades de los logaritmos naturales y explica cómo resolver ecuaciones logarítmica. Incluye ejemplos de propiedades como que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores y cómo resolver ecuaciones logarítmica en tres pasos: expresar la ecuación como el logaritmo de una sola expresión, expresarla en forma exponencial y resolver la ecuación resultante. Finalmente, presenta ejercicios resueltos como ejemplo y una evaluación para poner en
El resumen del documento es:
1) Tres amigos y sus tres hijos recogieron almendras de un saco en función del número de veces que metieron la mano. Cada padre cogió 45 almendras más que su hijo.
2) Se pide determinar los nombres de los hijos, el número total de almendras y cuántas cogió cada uno resolviendo ecuaciones.
3) La suma total de almendras fue 1183.
Copia de cedart por fin termine 3er parcialLuisa González
El documento presenta información sobre el bachillerato de arte y humanidades de la escuela CEDART DAVID ALFARO SIQUEIROS. Incluye una lección sobre álgebra que cubre temas como factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales.
El documento presenta la resolución de varias ecuaciones logarítmicas a través de la aplicación de propiedades de los logaritmos. Se resuelven ejercicios como log(x2 + 15) = log(x + 3) + log(x), 2log(x + 5) = log(x + 7) y log2(3x - 4) = log100 + log(2x + 1)2 aplicando propiedades como la suma y diferencia de logaritmos y eliminando los logaritmos para resolver ecuaciones algebraicas equivalentes.
Este documento presenta una introducción teórica y ejercicios resueltos sobre ecuaciones logarítmicas y exponenciales. La sección teórica explica cómo resolver ecuaciones logarítmicas expresando los términos como logaritmos y ecuaciones exponenciales expresando los términos como potencias de la misma base o realizando cambios de variable. La sección de ejercicios resueltos contiene 14 problemas resueltos usando estas técnicas.
Este documento explica cómo factorizar polinomios descomponiéndolos en sus factores primos. Primero define los polinomios primos y cómo descomponer un polinomio en estos factores. Luego detalla los pasos para hallar las raíces de un polinomio y cómo esto permite la factorización. Finalmente, presenta varios ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos conceptos para factorizar polinomios de diferentes grados.
El documento explica los exponentes y sus propiedades. Los exponentes indican cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Las "leyes de los exponentes" se derivan de que un exponente positivo indica cuántas veces se multiplica un número, mientras que un exponente negativo indica cuántas veces se divide. La multiplicación y división de monomios y polinomios siguen estas propiedades de los exponentes.
Este documento presenta 9 ejercicios de fracciones algebraicas. Cada ejercicio involucra simplificar fracciones algebraicas mediante la descomposición en factores de los polinomios del numerador y denominador y la aplicación de identidades y reglas algebraicas como el producto notable.
1. El documento presenta problemas de álgebra que involucran simplificar expresiones, factorizar ecuaciones, resolver ecuaciones cuadráticas y desigualdades, y encontrar valores de variables para satisfacer ciertas condiciones. Los problemas cubren temas como exponentes, raíces, ecuaciones de primer y segundo grado, y desigualdades.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con sistemas de ecuaciones. Incluye ejemplos de verificar si puntos dados son soluciones de sistemas, completar sistemas para que tengan soluciones específicas, representar sistemas gráficamente y encontrar sus soluciones, y resolver sistemas mediante sustitución, igualación y reducción.
El documento resume los conceptos básicos de cálculo como la derivada de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como las derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones de derivadas a problemas de máximos, mínimos y razones de cambio. Finalmente, incluye los datos personales del autor.
1. El documento presenta ejercicios resueltos sobre números complejos, incluyendo la interpretación geométrica de la suma y el producto de números complejos, y la demostración de que si tres puntos forman un triángulo equilátero, su suma es igual al producto de sus coordenadas.
2. Se explica cómo encontrar los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen con un vértice en (1,0).
3. Se muestra cómo expresar la ecuación de una circunferencia en función de las coord
Este documento explica las ecuaciones logarítmicas y cómo resolverlas. Primero, se expresa la incógnita bajo un logaritmo. Luego, se aplican las propiedades de los logaritmos para eliminarlos y dejar la incógnita libre. Por ejemplo, si log10(x-2)=2, se expresa 2 como logaritmo y luego se igualan los miembros para obtener x=102. El documento también incluye 10 ejercicios de ecuaciones logarítmicas para practicar.
El documento presenta las seis propiedades fundamentales de los números reales para la suma y la multiplicación: 1) Clausura, 2) Conmutatividad, 3) Asociatividad, 4) Identidad, 5) Elemento inverso y 6) Distributividad. Además, proporciona un ejemplo numérico para verificar cada una de estas propiedades utilizando los números -2, -1, 1, 3, 4 y 12.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
Este documento presenta diferentes métodos para integrar funciones trigonométricas y expresiones irracionales, incluyendo: 1) integración de diferenciales trigonométricas, 2) integración por sustitución trigonométrica, y 3) integración por racionalización. Se proveen ejemplos detallados de cada método y se explican las identidades trigonométricas utilizadas.
Este documento presenta 10 ejercicios de ecuaciones de primer grado. Los ejercicios 1-5 involucran encontrar soluciones a ecuaciones mediante prueba y error. Los ejercicios 6-9 implican resolver ecuaciones de primer grado de manera algebraica y comprobar las soluciones. El ejercicio 10 pide comprobar si cuatro ecuaciones adicionales son de primer grado y encontrar sus soluciones.
El documento contiene 10 ejercicios de álgebra que involucran resolver ecuaciones y desigualdades cuadráticas y encontrar intervalos de solución. Los ejercicios cubren temas como encontrar intervalos de solución, resolver sistemas de ecuaciones, y determinar el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática.
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)anamariawyatt1
En la siguiente presentación se observaran diferentes conceptos y ejemplos de las expresiones algebraicas, como lo son suma, resta, multiplicacion, division, valor numerico, productos notables y factorizacion.
espero sea de ayuda la informacion suministrada
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y explica que son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 2. Describe los tres tipos de ecuaciones de segundo grado (puras, completas y mixtas) y los métodos para resolverlas (factorización, raíz cuadrada, completando cuadrados y fórmula general). Además, presenta ejemplos para clasificar ecuaciones y resolver problemas relacionados con ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta 13 ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado. El primer ejercicio determina si ciertas ecuaciones son de segundo grado o no. Los ejercicios siguientes resuelven ecuaciones de segundo grado utilizando fórmulas como la fórmula cuadrática. El último ejercicio halla dos números dados su suma y producto.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de segundo grado. Explica cómo se clasifican las ecuaciones en puras, completas y mixtas, y los métodos para resolver cada tipo, como factorización, raíz cuadrada y despeje. También incluye ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta una introducción a las matemáticas 1. Se compone de tres unidades: ecuaciones cuadráticas, matrices y determinantes. Explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas a través de métodos como la factorización y la fórmula general. También incluye ejemplos y una práctica grupal sobre ecuaciones cuadráticas.
1. El documento explica cómo resolver inecuaciones de una variable lineales y no lineales. Incluye 7 ejemplos resueltos que muestran cómo expresar la solución como un intervalo y gráficamente.
2. Los pasos para resolver una inecuación incluyen operar los términos, despejar la variable, determinar los valores críticos y aplicar el método del cementerio para obtener el intervalo de soluciones.
3. Las soluciones pueden involucrar intervalos simples o la unión de varios intervalos, dependiendo
Este documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas. Explica que una ecuación cuadrática generalmente tiene la forma ax2 + bx + c = 0, con términos cuadrático, lineal e independiente. También describe los diferentes tipos de ecuaciones cuadráticas (pura, mixta incompleta, canónica) y métodos para resolverlas como factorización y la fórmula general. Finalmente, presenta ejemplos de cómo aplicar estos métodos para encontrar las soluciones de ecuaciones cuadráticas.
Este documento describe diferentes tipos de ecuaciones trigonométricas y los métodos para resolverlas. Explica que algunas ecuaciones tienen una única incógnita que puede despejarse, mientras que otras tienen dos incógnitas que requieren expresar una en función de la otra y luego resolver la ecuación resultante. También proporciona ejemplos de ecuaciones trigonométricas y los pasos para resolverlas.
El documento presenta 16 ejercicios de álgebra resueltos que involucran operaciones con polinomios como divisiones, productos, potencias y reducción de términos. Se muestran los pasos para llegar a cada solución de manera clara y ordenada.
1) El documento presenta una serie de ejercicios resueltos de ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado. Incluye ecuaciones lineales, cuadráticas, bicuadradas, irracionales y de resolución mediante factorización previa.
2) Los ejercicios están organizados en cuatro secciones y concluye proponiendo una serie de nuevos ejercicios para resolver.
3) El documento ofrece una explicación detallada de cada paso para llegar a la solución de cada ecuación planteada.
100 106-ecuaciones cuadraticas-una_incognitamilena cas
El documento describe cómo resolver una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 mediante el método de completar cuadrados. Se presenta un ejemplo de resolución de la ecuación 3x2 + 6x - 360 = 0 obtenida al resolver un problema sobre números naturales consecutivos cuya suma de cuadrados es 365. Finalmente, se generaliza el método para cualquier ecuación cuadrática.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones, incluyendo igualdades, identidades, ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones equivalentes, ecuaciones incompletas, resolución de ecuaciones y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Introduce las nociones de igualdad, identidad y ecuación, y explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ecuaciones completas, incompletas e irracionales. También cubre temas como ecuaciones equivalentes, descomposición de trinomios cuadrados perfectos y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento resume los diferentes tipos de ecuaciones y sus métodos de resolución. Incluye ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, ecuaciones fraccionarias, literales, de grado superior como binómicas y bicuadradas, e irracionales. Explica cómo resolver cada tipo mediante factoreo, fórmula general, completar trinomio, gráficamente o reduciendo a segundo grado.
Este documento describe las ecuaciones de segundo grado, también llamadas ecuaciones cuadráticas. Explica que este tipo de ecuaciones tienen la forma general ax2 + bx + c = 0 y contienen un solo término de grado dos. Además, clasifica las ecuaciones cuadráticas en puras, mixtas incompletas y mixtas completas dependiendo de la presencia de sus términos, y describe métodos para resolver cada tipo como factorización y uso de fórmulas.
1. El documento describe cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante los siguientes pasos: plantear la ecuación, despejar la incógnita quedando sola en un miembro, y encontrar el valor que iguala la ecuación.
2. Se proporcionan ejemplos detallados de cómo resolver ecuaciones de primer grado con una sola incógnita mediante la suma, resta, multiplicación y división.
3. El documento también explica cómo plantear ecuaciones a partir de problemas verbales estableciendo relaciones entre los datos y la incógnita.
El resumen resume el proceso de resolución de una ecuación trigonométrica. Primero se multiplica toda la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones. Luego se aplican identidades trigonométricas y se factoriza para simplificar la ecuación. Esto resulta en una ecuación que puede ser despejada para encontrar que la única solución es sen(x)=1/2, lo que implica que x=π/6 o 5π/6 más cualquier múltiplo de 2π.
Este documento presenta los pasos para factorizar trinomios de la forma ax^2 + bx + c. Explica que el coeficiente de x^2 debe ser diferente de 1. Muestra dos ejemplos resueltos, paso a paso, de cómo factorizar trinomios de esta forma. Finalmente, presenta una lista de ejercicios para que el estudiante practique la factorización de trinomios.
Este documento presenta los temas de ecuaciones de primer y segundo grado que se estudiarán en Matemáticas 3o ESO. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, y cómo utilizar ecuaciones para resolver problemas. También define conceptos clave como solución, identidad, ecuación equivalente, y suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado.
Este documento presenta 4 problemas de probabilidad. El primero pide calcular la probabilidad de sacar 1, al menos 1 o 3 cartas del mismo palo al sacar 3 cartas de una baraja. El segundo calcula diferentes probabilidades dados los eventos A y B. El tercero calcula la probabilidad de sacar una bola verde al sacarla de una urna después de mover 2 bolas de una urna a otra. El cuarto calcula la probabilidad de suspender un examen en función de quién lo elaboró y la probabilidad de que lo elaborara cada profesor.
El documento presenta 5 ejercicios de álgebra lineal y cálculo. El ejercicio 1 involucra matrices y su inversa. El ejercicio 2 pide calcular una matriz X. El ejercicio 3 analiza un sistema de ecuaciones lineales parametrizado y pide resolver casos específicos. El ejercicio 4 modela un problema de floristería. El ejercicio 5 estudia la derivabilidad de una función.
Este documento describe conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo: (1) la tasa de variación media y cómo se calcula, (2) la definición de derivada como un límite, y (3) algunas reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones compuestas o la derivada de la función inversa.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de límites y continuidad de funciones. Explica la definición intuitiva y formal de límite de una función en un punto, así como los límites laterales y los límites en el infinito. También cubre las propiedades de los límites, los diferentes tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas.
Examen 3 eva funciones 3ºf para elegir preguntasklorofila
El documento presenta 5 problemas de matemáticas relacionados con funciones y gráficas. El primer problema analiza una gráfica que muestra el trayecto de dos ciclistas en función del tiempo y la distancia, identificando las variables independiente y dependiente, comparando los tiempos y distancias de los ciclistas, y determinando si alguno se detuvo. El segundo problema halla la ecuación de una recta y una recta paralela a partir de puntos dados. El tercer problema estudia los componentes de una recta dada por su ecuación. El cuart
Este documento presenta 6 problemas de matemáticas. El primero pide resolver 2 ecuaciones. El segundo pide calcular la cantidad de peces en 3 peceras de tamaños diferentes si se distribuyen en proporción al tamaño. El tercer problema pide calcular el precio de un libro si Juan tiene 400€ y Rosa 350€ después de comprarlo. Los problemas 4 y 5 piden resolver sistemas de ecuaciones usando diferentes métodos. El sexto problema analiza un gráfico de afluencia de clientes en una tienda a lo largo del día y hace 4 pregunt
El documento contiene 7 preguntas de matemáticas sobre ecuaciones, inecuaciones y sistemas. La primera pregunta pide resolver una ecuación radical. La segunda y tercera preguntas involucran ecuaciones. La cuarta y quinta preguntas piden resolver inecuaciones dando el intervalo de soluciones. La sexta pregunta es sobre un sistema lineal. Y la última pregunta trata sobre un sistema de inecuaciones.
Este documento presenta 6 problemas matemáticos que incluyen: 1) racionalizar y operar raíces; 2) descomponer en factores y simplificar una expresión; 3) operar y simplificar fracciones; 4) resolver ecuaciones; 5) determinar el valor de m para que una ecuación tenga raíces en una relación dada; y 6) escribir operaciones de conjuntos como intervalos.
El documento presenta 34 problemas de ecuaciones y matemáticas, incluyendo problemas sobre mezclas, velocidades, geometría, porcentajes y edades. Los problemas involucran hallar números desconocidos, cantidades, precios y dimensiones usando ecuaciones y operaciones matemáticas básicas.
El documento presenta 5 problemas de geometría analítica sobre puntos, rectas y ecuaciones. El problema 1 pide hallar un punto R que verifique dos puntos dados. El problema 2 trata sobre rectas paralelas y resuelve una ecuación para m. El problema 3 pide escribir la ecuación de una recta paralela y determinar si un punto pertenece a una recta. El problema 4 determina un valor de k para que puntos estén alineados y halla un vector. El problema 5 pide ecuaciones para un lado y una mediana entre tres puntos.
1) La función f(x) = √x2+2−√5x2+3x+3 tiene asintotas verticales en x = -3 y x = 0 y no tiene asintotas horizontales.
2) a) El límite cuando x→0 es 1. b) El límite cuando x→-∞ es 0. c) El límite cuando x→-∞ es -2.
3) b = 5 para que el límite cuando x→-∞ sea 1/5.
4) La función f(x) es continua excepto en x = 3 donde hay discontinuidad por salto
1. El documento presenta 6 problemas de matemáticas relacionados con trigonometría y geometría. Los problemas incluyen hallar razones trigonométricas sabiendo un valor de tangente, determinar ángulos a partir de senos, cosenos y tangentes, calcular medidas en un trapecio isósceles, hallar puntos alineados y puntos medios entre puntos dados, y encontrar ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos dados.
El documento contiene 4 problemas relacionados con límites y asíntotas de funciones. El primer problema pide comprobar si una función tiene una asíntota vertical en x=2. El segundo problema pide determinar si una función tiene asíntotas horizontal y vertical y expresarlas algebraicamente. El tercer problema pide calcular 3 límites. El cuarto problema pide calcular el valor de a para que un límite sea igual a un valor dado.
Este documento presenta varios problemas de cálculo y álgebra. En la primera sección, se piden los límites de cuatro funciones, algunas de las cuales tienen asíntotas. La segunda sección contiene un sistema de ecuaciones lineales y una ecuación logarítmica. La tercera sección pide los dominios de dos funciones racionales. La cuarta sección solicita representar gráficamente una función por trozos e indicar sus discontinuidades.
El documento describe la construcción del triángulo de Sierpinski de manera iterativa, comenzando con un triángulo equilátero y dividiendo cada triángulo en tres copias más pequeñas en cada paso. Luego analiza las progresiones de triángulos, perímetros y áreas a medida que se repite el proceso. Finalmente, extiende el análisis a tres dimensiones considerando un tetraedro de Sierpinski.
Este documento presenta 6 problemas de geometría y álgebra. Problema 1) encuentra el punto C para que sea alineado con A y B o para que el vector BC tenga longitud √32. Problema 2) encuentra el punto D simétrico a A sobre B o que divida AB en 7 partes iguales. Problema 3) encuentra puntos y vector director de una recta dada y escribe la recta en paramétricas. Problema 4) calcula valores para un triángulo rectángulo. Problema 5) demuestra una igualdad trigonométrica
1. Pablo observa un accidente desde su ventana a 61° y luego desde la azotea a 10 metros más arriba a 37°. Se pide determinar la altura del edificio de Pablo.
2. Se piden calcular diferentes funciones trigonométricas racionalizando los resultados.
3. Dado un paralelogramo de lados 12 cm y 20 cm formando un ángulo de 48°, calcular su área.
1. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
trigonométricas
Juan José Isach Mayo
7/01/2007
Contents
I Ecuaciones y sistemas ecuaciones trigonométricas 1
1 Ecuaciones trigonométricas 1
1.1 Ejemplos de ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ejercicios ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Sistemas de ecuaciones trigonométricas 21
2.1 Ejemplos de sistemas de ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . 21
2.2 Ejercicios sistemas de ecs. trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 28
Part I
Ecuaciones y sistemas ecuaciones
trigonométricas
1 Ecuaciones trigonométricas
Para resolver las ecuaciones trigonométricas no existen procedimientos especí…-
cos. A veces tendremos que:
a) Factorizar utilizando adecuadamente las fórmulas que conocemos.
Veamos algunos ejemplos:
b) Intentar que en la ecuación trigonométrica , tan solo aparezca una sola
razón trigonométrica del mismo ángulo
c) Aislar una razón trigonométrica y elevar al cuadrado. Cuando utilicemos
este procedimiento; es conveniente comprobar las soluciones (alguna puede que
no lo sea).
d) Combinando los procedimientos explicados con anterioridad etc,etc,etc...
1
2. 1.1 Ejemplos de ecuaciones trigonométricas
Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2 sin x cos x = sin x
2 sin x cos x = sin x
2 sin x cos x sin x = 0
sin x(2 cos x 1) = 0
8 8
>
> < 2k
>
> sin x = 0 ! x = k2Z
>
>
>
> :
< + 2k8
>
> 3 + 2k
>
> 1 <
>
> 2 cos x
>
> 1 = 0 ! cos x = ! x = k2Z
>
> 2 > 5
>
: : + 2k
3
Ejemplo 2 Resuelve la ecuación cos 3x + cos x = cos 2x
Para resolver esta ecuación utilizaremos la fórmula:
C +D C D
cos C + cos D = 2 cos cos
2 2
para transformar cos 3x + cos x en forma de producto.
Fíjate que:
cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x
Así pues ; resolver la ecuación cos 3x+cos x = cos 2x es lo mismo que resolver
la ecuación:
2 cos 2x cos x = cos 2x
2 cos 2x cos x cos 2x = 0
cos 2x(2 cos x 1) = 0
8 8
> >
< 2 + 2k
> < 4 +k
>
cos 2x = 0 ! 2x = !x= k2Z
> 3
> > 3
>
: + 2k : +k
2 8 4
1 < + 2k
2 cos x 1 = 0 ! cos x = ! x = 3 k2Z
2 : 5
+ 2k
3
El conjunto solución de esta ecuación trigonométrica es :
5 3
S= + 2k ; + 2k ; + k ; + k con k 2 Z
3 3 4 4
2
3. Observación 3 Vamos a resolver esta ecuación de otra manera. Para ello;
vamos a escribir cos 3x en función sólo del cos x y cos 2x en función del cos x
cos 3x = cos(2x + x) = cos 2x cos x sin 2x sin x =
= (cos2 x sin2 x) cos x 2 sin x cos x sin x =
= cos3 x sin2 x cos x 2 sin2 x cos x =
= cos3 x 3 sin2 x cos x = cos3 x 3(1 cos2 x) cos x =
= cos3 x 3 cos x + 3 cos3 x =
= 4 cos3 x 3 cos x
cos 2x = cos2 x sin2 x = cos2 x-sin29 = cos2 x (1 cos2 x) = 2 cos2 x
8 x 1
< cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x =
Como y entonces resolver la ecuación
: ;
cos 2x = 2 cos2 x 1
cos 3x + cos x = cos 2x
Es equivalente a resolver la ecuación
cos 3x + cos x = cos 2x
4 cos x 3 cos x + cos x = 2 cos2 x
3
1
4 cos x 2 cos2 x 2 cos x + 1 = 0
3
Si llamamos a cos x = X: Tendremos que resolver la ecuación:
4X 3 2X 2 2X + 1 = 0
Para ello; factorizamos aplicando la regla de Ru…nni
8
> 1 1
>
> X =0!X=
>
> 2 8 2 p
< > 1
X
1
4X 2 2 =0! > p = 2
<
2 > 4X 2
> 2=0!X= 2
p 2
>
> >
>
: >
: 2
2
Deshaciendo el cambio de variable, el problema ha quedado reducido a re-
solver las tres ecuaciones trigonométricas siguientes:
3
4. 8
>
> 3 + 2k
1 <
1. cos x = !x= k2Z
2 > 5
>
: + 2k
3
8
p >
> 4 + 2k
2 <
2. cos x = !x= k2Z
2 > 7
>
: + 2k
4
8 3
>
p
2 < 4 + 2k
>
3. cos x = !x= k2Z
2 > 5
>
: + 2k
4
3 5 7
Puedes comprobar que el conjunto + 2k ; + 2k ; + 2k ; + 2k con k 2 Z
4 4 4 4
3
coincide con el conjunto siguiente +k ; + k con k 2 Z
4 4
Con lo que; el conjunto solución de la ecuación trigonométrica es:
5 3
S= + 2k ; + 2k ; + k ; + k con k 2 Z
3 3 4 4
Las soluciones en [0; 2 ) son :
5 5 3 7
; ; ; ; ;
3 3 4 4 4 4
Ejemplo 4 Resuelve cos2 x + 2 sin x = 2
Tendremos que expresar el cos2 x en función del sin x: Para ello; utilizamos
la fórmula fundamental de trigonometría (cos2 x = 1 sin2 x): Con lo que :
cos2 x + 2 sin x = 2
1 sin2 x + 2 sin x = 2
sin2 x + 2 sin x 1 = 0
sin2 x 2 sin x + 1 = 0
La ecuación obtenida, es una ecuación de segundo grado cuya incógnita a
determinar es sin x:
p
2 4 4
sin x = = 1 ! x = + 2k con k 2 Z
2 2
1 x
Ejemplo 5 Resolver la ecuación + cos2 x + cos2 = 0
2 2
4
5. A 1 + cos A x 1 + cos x
Sabemos que cos2 = ! cos2 =
2 2 2 2
1 x
Por lo tanto, resolver la ecuación + cos2 x + cos2 = 0 es lo mismo que
2 2
resolver:
1 1 + cos x
+ cos2 x + = 0
2 2
2 cos2 x + cos x = 0
Factorizando; tendremos:
8 8
>
> >
> 2 + 2k
>
> <
>
> cos x = 0 ! x =
>
> con k 2 Z
>
> > 3
>
>
> : + 2k
>
< 2
cos x (2 cos x + 1) = 0 ! 8 2
>
>
>
> >
>
> < 3 + 2k
>
>
> cos x = 1 ! x =
>
> con k 2 Z
>
> 2 > 4
>
>
: : + 2k
3
La solución es el conjunto
2 4 3
S= + 2k ; + 2k ; + 2k ; + 2k con k 2 Z
3 3 2 2
que coincide con éste:
2 4
S= + 2k ; + 2k ; + k ; con k 2 Z
3 3 2
1 x
Observación 6 También se puede resolver la ecuación +cos2 x+cos2 = 0
2 2
x
si expresamos el cos2 x en función del cos
2
x x x x
Como cos x = cos 2 = cos2 sin2 = 2 cos2 1
2 2 2 2
entonces:
x 2 x x
cos2 x = 2 cos2 1 = 4 cos4 4 cos2 +1
2 2 2
1 x
Resolver + cos2 x + cos2 = 0 es lo mismo que resolver:
2 2
1 x x x
+ 4 cos4 4 cos2 + 1 + cos2 =0
2 2 2 2
x x
8 cos4 6 cos2 +1=0
2 2
5
6. x
Si llamamos a cos 2 = T tendremos que resolver la ecuación bicuadrada
siguiente: 8 1
>
> 2
< 1
8T 4 6T 2 + 1 = 0 ! T = p
1
2
>
> 2 p2
: 1
2 2
Deshaciendo el cambio de variable; el problema queda reducido a resolver las
ecuaciones trigonométricas elementales:
8
>
> + 2k
x 1 x < 3
1. cos 2 = 2 ! = con k 2 Z
2 > 5
>
: + 2k
3
Multiplicando por 2
8 2
>
< 3 + 4k
>
x= con k 2 Z
> 10
>
: + 4k
3
8 2
>
> + 2k
x 1 x < 3
2. cos 2 = 2 ! = con k 2 Z
2 > 4
>
: + 2k
3
Multiplicando por 2
8 4
>
< 3 + 4k
>
x= con k 2 Z
> 8
>
: + 4k
3
Las soluciones de las ecuaciones 1 y 2 se pueden expresar conjuntamente
asÍ: 8
> 2 + 2k
>
< 3
x= con k 2 Z
> 4
>
: + 2k
3
8
>
> + 2k
x
p
2 x < 4
3. cos 2 = 2 ! = con k 2 Z
2 > 7
>
: + 2k
4
Multiplicando por 2
8
>
> 2 + 4k
<
x=
> 7
>
: + 4k
2
6
7. 8 3
>
> + 2k
x
p
2 x < 4
4. cos 2 = 2 ! 2 => con k 2 Z
> 5
: + 2k
4
Multiplicando por 2
8 3
>
< 2 + 4k
>
x=
> 5
>
: + 4k
2
Las soluciones de las ecuaciones3 y 4se pueden agrupar así:
n o
+ k con k 2 Z
2
Por lo tanto; la solución de la ecuación inicial es el conjuntoo:
2 4
S= + 2k ; + 2k ; + k + 2k con k 2 Z
3 3 2
Ejemplo 7 Resolver la ecuación sin x + cos x = 1
Aislamos el sin x
sin x = 1 cos x
Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado
sin2 x = 1 2 cos x + cos2 x
Utilizamos la F.F.T para expresar el sin2 x en función del cos2 x:Como
2
sin x = 1 cos2 x; entonces:
1 cos2 x = 1 2 cos x + cos2 x
2
2 cos x 2 cos x = 0
8 8
>
> < + 2k
< 2
cos x = 0 ! x = con k 2 Z
cos x(cos x 1) = 0 ! : 3 + 2k
>
> 2
:
cos x = 1 ! x = 2k con k 2 Z
3
Comprobemos ahora si los valores ; ; 0 son soluciones de la ecuación
2 2
Para x = ! cos + sin = 0 + 1 = 1 ! x = + 2k con k 2 Z si que
2 2 2 2
es solución
3 3 3 3
Para x = ! cos + sin =0 1= 1!x= + 2k con k 2 Z
2 2 2 2
no es solución
Para x = 0 ! cos 0 + sin 0 = 1 + 0 = 1 ! x = 2k con k 2 Z si que es
solución
El conjunto solución de la ecuación es :
n o
+ 2k ; 2k con k 2 Z
2
7
8. Observación 8 Vamos a resolver esta ecuación de otra manera
Como cos x = sin( x) entonces:
2
sin x + cos x = 1 , sin x + sin( x) = 1
2
C +D C D
Si utilizamos la fórmula sin C + sin D = 2 sin cos
2 2
La ecuación nos quedará así:
0 1 0 1
x+ x x x
2 sin @ 2 A cos @ 2 A = 1
2 2
2 sin cos(x + ) = 1
4 4
p
2
Como sin = ;entonces:
4 2
8
p >
> 4 + 2k
1 2 <
cos(x )= p = !x = con k 2 Z
4 2 2 4 > 7
>
: + 2k
4
Aislando x
8
>
< + 2k
2
x= con k; k 0 2 Z
>
:
2 + 2k = 2 (k + 1) = 2 k 0
Observación 9 Resuelve tú la ecuación sin x + cos x = 1 considerando que
C +D C D
sin x = cos( x) y que cos C + cos D = 2 cos cos :
2 2 2
p
Ejemplo 10 Resuelve la ecuación 3 sin x + cos x = 1
Aislamos el cos x p
cos x = 1 3 sin x
Elevando al cuadrado:
p
cos2 x = 1 2 3 sin x + 3 sin2 x
Utilizamos la F.F.T para expresar el cos2 x en función del sin2 x:Como
cos x = 1 sin2 x; entonces:
2
p
1 sin2 x = 1 2 3 sin x + 3 sin2 x
p
4 sin2 x 2 3 sin x = 0
8
> sin x = 0 ! x =
> 2k
>
> con k 2 Z
p < 8 + 2k
2 sin x(2 sin x 3) = 0 ! p < + 2k
> sin x = 3 ! x =
>
> 3 con k 2 Z
>
: 2 : 2 + 2k
3
8
9. 2
Comprobemos ahora si los valores 0; ; ; ; son soluciones de la ecuación
p 3 3
Para x = 0 ! 3 sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1 ! x = 2k con k 2 Z si que es
solución p
Para x = ! 3 sin + cos = 0 1 = 1 ! x = + 2k con k 2 Z no
es solución
p 3 1
Para x = ! 3 sin + cos = + = 2 ! x = + 2k con k 2 Z no
3 3 3 2 2 3
es solución
2 p 2 2 3 1 2
Para x = ! 3 sin + cos = =1!x= + 2k con k 2 Z
3 3 3 2 2 3
si que es solución
El conjunto solución de la ecuación es :
2
+ 2k ; 2k con k 2 Z
3
p
Observación 11 3 sin x + cos x = 1 .
p
3 1 1
Divido la ecuación por 2! sin x + cos x =
p 2 2 2
3 1
Como = cos y = sin entonces la ecuación queda así:
2 6 2 6
p
3 1 1
sin x + cos x =
2 2 2
1
sin x cos + cos x sin =
6 6 2 8
1 < + 2k
sin(x + ) = !x+ = 6 con k 2 Z
6 2 6 : 5
+ 2k
6
Aislando x (
2k
x= 2 con k 2 Z
+ 2k
3
Fíjate bien; que este procedimiento es más corto que el anterior
p
Ejemplo 12 Resuelve cos x + 3 sin x = 0
p
3
Sugerencia : Determina los ángulos tales que tan x =
3
9
10. 1.2 Ejercicios ecuaciones trigonométricas
p
Ejercicio 13 Resuelve 4 sin(x ) cos(x )= 3
6 6
p p
4 sin(x ) cos(x )= 3 ! 2 2 sin(x ) cos(x )= 3
6 6 6
p 6
3
2 sin(x ) cos(x )=
6 6 2
Como 2 sin A cos A = sin 2A entonces la ecuación se reduce a:
p
3
sin(2x ) =
3 82
< + 2k
2x = 3 con k 2 Z
3 : 2
+ 2k
3
Aislando x; tendremos:
8
< +k
x= 3 con k 2 Z
: +k
2
x
Ejercicio 14 4 sin + 2 cos x = 3
2
x x x
Fíjate que cos x = cos2 sin2 =1 2 sin2 : Por lo tanto; la
2 2 2
ecuación quedará así:
x x
4 sin + 2 1 2 sin2 = 3
2 2
x x
4 sin2 + 4 sin 1 = 0
2 2
x x
4 sin2 4 sin +1 = 0
2 2
El, problema queda reducido a resolver una ecuación de segundo grado
x
cuya incógnita es sin . con lo que:
2
p
x 4 16 16 1
sin = =
2 8 8 2
x < + 2k
= 6 con k 2 Z
2 : 5
+ 2k
6
10
11. Aislando x 8
< + 4k
x= 3 con k 2 Z
: 5 + 4k
3
Ejercicio 15 Resuelve sin 2x = cos 120o
1
sin 2x = cos 120o ! sin 2x =
2
8
> 7
< + 2k
2x = 6 con k 2 Z
> 11
: + 2k
6
Aislando x 8
> 7
< +k
x= 12 con k 2 Z
> 11
: +k
12
sin x p
Ejercicio 16 Resuelve cot x + = 2
1 + cos x
En primer lugar, vamos a transformar la expresión que queda a la derecha
de la ecuación
sin x cos x sin x cos x + cos2 x + sin2 x
cot x + = + =
1 + cos x sin x 1 + cos x sin x(1 + cos x)
Como cos2 x + sin2 x = 1, entonces:
sin x cos x + cos2 x + sin2 x 1 + cos x 1
cot x + = = =
1 + cos x sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x) sin x
Así pues; la ecuación inicial quedará como:
p
1 p 1 2
= 2 ! sin x = p =
sin x 2 2
8
> 5
< + 2k
x = 4 con k 2 Z
> 7
: + 2k
4
cos x
Ejercicio 17 Resuelve tú la ecuación tan x + = 2
1 + sin x
Ejercicio 18 Resuelve cos2 (x + ) sin2 (x + )=1
6 6
Como cos2 A sin2 A = cos 2A; la ecuación cos2 (x + ) sin2 (x + )=1
6 6
queda:
cos 2x + = 1
3
2x + = 2k
3
x = + k con k 2 Z
6
11
12. 5 5 5
Como +k = + +k = + (k 1) = + k 0 con k 0 2 Z
6 6 6 6
1
Ejercicio 19 Resuelve tú la ecuación cos2 (x ) sin2 (x )=
6 6 2
Ejercicio 20 Resuelve cos 2x cos 6x = sin 5x + sin 3x
8 9
> cos C cos D = 2 sin C + D sin C D >
>
> >
>
>
< 2 2 >
=
Como y
>
> >
>
> sin C + sin D = 2 sin C + D cos C D
>
:
>
>
;
8 2 2 9
< cos 2x cos 6x = 2 sin(4x) sin( 2x) = 2 sin 4x sin 2x =
entonces y
: ;
sin 5x + sin 3x = 2 sin 4x cos x
Con lo que; la ecuación se transforma así:
2 sin 4x sin 2x = 2 sin 4x cos x
sin 4x sin 2x sin 4x cos x = 0
Sacando factor comun sin 4x
sin 4x = 0
sin 4x(sin 2x cos x) = 0 !
sin 2x cos x = 0
8
k >
<
a 2k 2
1 sin 4x = 0 ! 4x = !x= k con k 2 Z
+ 2k >
: +
4 2
2a sin 2x cos x = 0 *
Resolvamos ahora la ecuación * sin 2x cos x = 0
Teniendo presente que sin 2A = 2 sin A cos A
sin 2x cos x = 0
2 sin x cos x cos x = 0
8 8
>
> >
> + 2k
>
> < 2
> cos x = 0 ! x =
> con k 2 Z
>
>
< >
> 3
: + 2k
cos x(2 sin x 1) = 0 ! 8 2
>
>
>
> < + 2k
> 1
> sin x = ! x = 6
>
> 5 con k 2 Z
: 2 : + 2k
6
x x
Ejercicio 21 Resuelve cos2 sin2 = sin x
2 2
12
13. x x h x i
cos2 A sin2 A = cos 2A ! cos2 sin2 = cos 2 = cos x
2 2 2
Luego
x x
cos2 sin2 = sin x
2 2
cos x = sin x
Dividiendo por cos x ,y teniendo presente que la función y = tan x es una
función periódica de periodo
tan x = 1 ! x = + k con k 2 Z
4
Ejercicio 22 Resuelve cos 2x + sin x = 4 sin2 x
cos 2A = cos2 A sin2 A = 1 2 sin2 A
cos 2x + sin x = 4 sin2 x
1 2 sin2 x + sin x = 4 sin2 x
6 sin2 x sin x 1 = 0
El, problema queda reducido a resolver una ecuación de segundo grado
(cuya incógnita es sin x). con lo que:
8
p > 1
1 25 < 2
sin x = =
12 > 1
:
3
El problema queda reducido a resolver las ecuaciones trigonométricas ele-
mentales:
8
>
> 6 + 2k
<
1
1. sin x = 2 ! x = con k 2 Z
> 5
>
: + 2k
6
8
< arcsin 1 + 2k
3
1
2. sin x = 3 ! x = con k 2 Z
:
2 arcsin 1 + 2k
3
Ejercicio 23 Resuelve tú sin 2x + 2 cos2 x 2=0
Sugerencia sin 2x = 2 sin x cos x y cos2 x = 1 sin2 x;
p
Ejercicio 24 Resuelve cos x 3 sin x = 0
p
3
Sugerencia: Determina los ángulos tales que tan x =
3
13
14. p
Ejercicio 25 Resuelve cos x + 3 sin x = 0
p
3
Sugerencia: Determina los ángulos tales que tan x =
3
x
Ejercicio 26 Resuelve 8 tan2 = 1 + sec x
2
x 1 cos x 1
Como tan2 = y sec x= entonces, la ecuación queda así:
2 1 + cos x cos x
8 (1 cos x) 1
= 1+
1 + cos x cos x
8 (1 cos x) 1 + cos x
=
1 + cos x cos x
8 cos x 8 cos2 x = 1 + 2 cos x + cos2 x
0 = 9 cos2 x 6 cos x + 1
2
0 = (3 cos x 1)
8
>
> 1
1 < arccos + 2k
3
cos x = !x= con k 2 Z
3 >
> 2 1
: arccos + 2k
3
Ejercicio 27 Resuelve tan 2x = tan x
2 tan x
Como tan 2x = ; entonces, la ecuación queda así:
1 tan2 x
2 tan x
= tan x
1 tan2 x
2 tan x = tan x + tan3 x
0 = tan3 x 3 tan x
Factorizando:
8
>
>
< 8 x = 0 ! p = k con k 2 Z
tan x
< tan x = 3 ! x = + k con k 2 Z
tan x(tan2 x 3) = 0 ! 3
> tan2 x = 3 !
> p 2
: : tan x = 3!x= + k con k 2 Z
3
p
2
Ejercicio 28 Resuelve sin 3x + cos 3x =
2
Transformemos en primer lugar la suma sin 3x + cos 3x como producto
Para ello; utilizaremos que:
cos 3x = sin( 3x)
2
y
C +D C D
sin C + sin D = 2 sin cos
2 2
14
15. Con lo que
sin 3x + cos 3x = sin 3x + sin( 3x)
2
0 1 0 1
3x + 3x 3x + 3x
sin 3x + sin( 3x) = 2 sin @ 2 A cos @ 2 A
2 2 2
Por lo tanto:
p
sin 3x + cos 3x = 2 sin cos 3x = 2 cos 3x
4 4 4
p
2
Después de todo esto, la ecuación inicial sin 3x + cos 3x = queda:
2
p
p 2
2 cos 3x =
4 2 8
> 2
<
1 + 2k
cos 3x = ! 3x = 3 con k 2 Z
4 2 4 > 4 + 2k
:
3
Si aislamos3x 8
>
<2
+
+ 2k
3x = 3 4 con k 2 Z
> 4
: + + 2k
4 3
Aislando x; tendremos la solución
8
>
< 2 2k
+ +
x = 12 9 3 con k 2 Z
> 4 2k
: + +
8 12 9 3
> 11
< 2k
36 + 3
x = con k 2 Z
> 19 + 2k
:
36 3
Las soluciones de esta ecuación entre 0 y 2 son:
11 2 4
36 ; 35
36
11
36 + ; 59
36
11
36 +
3 3
19 2 4
36 ; 43
36
19
36 + ; 67
36
19
36 +
3 3
Observación 29 Fíjate en como la resolvemos ahora
p
2
sin 3x + cos 3x =
2
Aislamos sin 3x
15
16. p
2
sin 3x = cos 3x
2
Elevamos al cuadrado
p !2
2 2 p 1
sin 3x = cos 3x ! sin2 3x = cos2 3x + 2 cos 3x +
2 2
Expresamos el sin2 3x en función del cos2 3x utilizando la F.F.T
p 1
1 cos2 3x = cos2 3x + 2 cos 3x +
2
Transponiendo términos;obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:
p 1 p
2 cos2 3x + 2 cos 3x = 0 ! 4 cos2 3x + 2 2 cos 3x 1=0
2
Resolviéndola:
p p p
1 1
p
2 2 24 4 p6 4 p2
cos 3x = = 1 1
8 4 6 4 2
p p
Si determinas los ángulos tales que su coseno vale 1 6 1 2 verás que son
5 19 5
4 4 p p
12 ; 12 2 12 y analogamente los ángulos cuyo coseno vale 4 6 1 2
1
4
son : 11 ; 13
12 12
1
+ 12 :
Perdona; pero como no lo comprobarás. Te lo voy a calcular:
5
p p
cos 12 = cos + = cos cos sin sin = 2 1 3 14 4
4 6 4 6 4p 6 p
cos 19 = cos(2
12
5
12 ) = cos 12 = 2 1 3 1
5
4 4
11 5 p 1p 1
cos = sin = sin + = sin cos cos sin = 2 3+
12 12 4 6 4 6 4 6 4 4
13
p p
cos 12 = cos 11
12 = 2 1
4 3+ 1
4
Con lo que podemos a…rmar con todo rigor; que el ángulo 3x valdrá:
8 5
> 12 + 2k
> 19
<
3x = 12 + 2k con k 2 Z
> 11 + 2k
> 12
: 13
12 + 2k
Aislando x 8
> 5 2k
>
> 36 +
>
> 3
>
> 2k
< 19
+
36 3
x= 2k con k 2 Z
>
> 11
+
>
> 36
>
> 3
>
: 13 2k
36 +
3
16
17. Como has elevado al cuadrado, algunas de las soluciones obtenidas no verif-
ican la ecuación.
Comprueba tú que los valores 36 ; 13 no son solución
5
36
Conclusión : las soluciones de la ecuación son
8
> 11
< 2k
36 + 3
x= con k 2 Z
> 19 + 2k
:
36 3
Ejercicio 30 Resuelve la ecuación sin 3x 2 sin x = 0
Fíjate en la siguiente transformación:
sin 3x sin x = sin x
Teniendo presente que sin(C) sin(D) = 2 cos C+D sin
2
C D
2 tendremos
sin 3x sin x = 2 cos 3x+x sin 3x2 x = 2 cos 2x sin x
2
Con lo que la ecuación nos queda así:
2 cos 2x sin x = sin x
2 cos 2x sin x sin x = 0
Sacando factor común sin x
8
>
> 1a sin x = 0 ! x = 2k
< con k 2 Z
+ 2k
sin x(2 cos 2x 1) = 0 !
> a
> 2 cos 2x = 1 ! 2x = 3 + 2k
: 2 5 con k 2 Z
3 + 2k
2k
1a sin x = 0 ! x = con k 2 Z
+ 2k
1 + 2k +k
2a cos 2x = ! 2x = 5
3 x= 5
6 con k 2 Z
2 3 + 2k 6 +k
Las soluciones de la ecuación en [0; 2 ) son:
0; ; 6 ; 56 ; 76 6 + ; 11
6
5
6 +
Observación 31 Vamos a resolver la misma ecuación; pero, expresando el
sin 3x en función del sin x
sin 3x = sin(2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x
sin 2x = 2 sin x cos x
Como entonces:
cos 2x = 1 2 sin2 x
sin 2x cos x + cos 2x sin x = 2 sin x cos2 x + (1 2 sin2 x) sin x
17
18. Sustiituyendo cos2 x por (1 sin2 x) F.F.T
sin 3x = 2 sin x(1 sin2 x) + (1 2 sin2 x) sin x
Operando y reduciendo términos semejantes
sin 3x = 3 sin x 4 sin3 x (a)
Resolvamos ahora la ecuación
sin 3x 2 sin x = 0
Usando la expresión (a), la ecuación se transforma en:
3 sin x 4 sin3 x 2 sin x = 0
Reduciendo términos semejantes
sin x 4 sin3 x = 0
Factorizando la ecuación:
1a sin x = 0
sin x(1 4 sin2 x) = 0 !
2 4 sin2 x 1 = 0
a
2k
1a sin x = 0 ! x = con k 2 Z
+ 2k
8
>
> sin x = 1 ! x =
< 6 + 2k
1 2 5
a 2
2 sin x = ! 6 + 2k con k 2 Z
7
4 >
> sin x = 1 ! x = 6 + 2k
: 2 11
6 + 2k
+k
Las soluciones de la 2a ecuación se pueden agrupar así x = 5
6 con
6 +k
k2Z
Las soluciones de la ecuación en [0; 2 ) son:
0; ; 6 ; 56 ; 76 ; 11 56 +
6 6 +
p p
Ejercicio 32 Resuelve la ecuación cos x + 3 sin x = 2
Divido la ecuación por 2
p p
1 3 2
cos x + sin x =
2 2 2
2 1 3
2= cos 3
Como 4 p y 5 la ecuación queda:
3
2 = sin 3
p
2
cos x cos + sin x sin =
3 3 2
18
19. Como cos A cos B + sin A sin B = cos(A B)
p 3
2 4 + 2k
cos(x )= !x = 5 k2Z
3 2 3 4 + 2k
Aislando x
3 13
3 + 4 + 2k 12 + 2k
x= 5 k2Z!x= 19
3 + 4 + 2k 12 + 2k
Conclusion nal : Las soluciones de la ecuacion entre 0 y 2 son :
13 19
;
12 12
Observación 33 Vamos a resolver la misma ecuación con otro procedimiento
Aislamos de la ecuación cos x
p p
cos x = 2 3 sin x
Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado
p p 2
cos2 x = 2 3 sin x
p
cos2 x = 2 + 2 6 sin x + 3 sin2 x
Sustiituyendo cos2 x por (1 sin2 x) F.F.T
p
1 sin2 x = 2 + 2 6 sin x + 3 sin2 x
Transponiendo términos, obteneemos una ecuación de segundo grado (la
incógnita es sin x) p
0 = 4 sin2 x + 2 6 sin x + 1
Resolviéndola
p p p p
2 6 2 2 1 1
4 p2 4 p6
sin x = = 1 1 (b)
8 4 2 4 6
1
p p
1
sin x = 4 p 2 4 p6
El problema se reduce a resolver las ecuaciones elementales 1 1
sin x = 4 2 4 6
Nota: Para poder conseguirlo, lee detenidamente estas notas enumeradas
que vienen a continuación (Si tienes problemas al trabajar en radianes ,considera
su equivalente en grados)
1o Vamos a calcular el sin 13 considerando que sin 13 = sin + 12 =
12 12
sin 12
p p p
2 3 21 1p 1p
sin = sin = sin cos cos sin = = 6 2
12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4 4
19
20. p p p p
Por lo tanto: sin 13 = sin 12 =
12
1
4 6
1
4 2 = 4 2
1 1
4 6
2o Vamos a calcular el sin 23
12
Hemos de tener presente que sin 23 = sin 12 puesto que 23 = 2
12 12 12 y
sin 2 12 = sin 12
Así pues:
23 1p 1p
sin = sin = 2 6
12 12 4 4
p p
Conclusión 1a : Los únicos ángulos entre [0; 2 ) tales que sin x = 1 2 1 6
4 4
son 13 ; 23
12 12
3o Vamos a calcular el sin 17 considerando que sin 17 = sin + 5 =
12 12 12
sin 5
12
p p p
5 1 2 3 2 1p 1p
sin = sin + = sin cos +cos sin = + = 6+ 2
12 6 4 6 4 6 4 2 2 2 2 4 4
p p p p
Por lo tanto: sin 17 = sin 5 =
12 12
1 1
4 6+ 4 2 =
1
4 2
1
4 6
4 Vamos a calcular el sin 19
o
12
Hemos de tener presente que sin 19 = sin 5 puesto que
12 12
19
12 =2 5
12 y
5
sin 2 12 = sin 512
Así pues:
19 5 1p 1p
sin = sin = 2 6
12 12 4 4
p
Conclusión 2a : Los únicos ángulos entre [0; 2 ) tales que sin x = 1 2
1
p 17 19
4
4 6 son 12 ; 12
Utilizando las dos conclusiones anteriores podemos determinar las soluciones
de la ecuaciones trigonométricas eleementales:
1
p 1
p 13
+ 2k
1. sin x = 4 2 4 6!x= 12
23 con k 2 Z (por la 1a concl. )
12 + 2k
1
p 1
p 17
+ 2k
2. sin x = 4 2 4 6!x= 12
19 con k 2 Z (por la 2a concl. )
12 + 2k
Observación importante: Al elevar al cuadrado la ecuación, puede ocurrir
que no todas las soluciones sean válidas. Comprueba tú que los ángulos 23 y
12
17
12 no veri…can la solución inicial
Conclusion nal : Las soluciones de la ecuacion entre 0 y 2 son :
13 19
;
12 12
Después de explicar todo este procedimiento, es evidente que este último
procedimiento es muy complejo. Así que: querido alumno, evítalo en la medida
de lo posible.
20
21. 2 Sistemas de ecuaciones trigonométricas
2.1 Ejemplos de sistemas de ecuaciones trigonométricas
8 p
>
< sin(x 2
y) =
Ejemplo 34 Resuelve el sistema 2
p
>
: cos(x + y) = 2
2
De la 1a ecuación deducimos que:
8
< + 2k
x y= 4 con k 2 Z
: 3
+ 2k
4
De la 2a ecuación deducimos que:
8
> 3
< + 2k 0
x+y = 4 con k 0 2 Z
> 5 + 2k 0
:
4
Combinándolas, el sistema queda reducido a resolver los cuatro sistemas de
ecuaciones lineales siguientes:
8
< x y= + 2k
Primer sistema 4 con k y k 0 2 Z
: 3
x+y = + 2k 0
8 4
< x y= + 2k
Segundo sistema 4 con k y k 0 2 Z
: 5 0
x+y = + 2k
8 4
>
< 3
x y= + 2k
Tercer sistema 4 con k y k 0 2 Z
> 3
: x+y = + 2k 0
8 4
>
< 3
x y= + 2k
Cuarto sistema 4 con k y k 0 2 Z
> 5
: x+y = + 2k 0
4
Resolvámoslos:
8
< x y = + 2k
1. 4 con k y k 0 2 Z
: x + y = 3 + 2k 0
4
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 )
Aislando x ! x = + (k + k 0 )
2
Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00
2
21
22. Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos
2y = + 2(k k 0 )
2
Aislando y ! y = + (k k 0 )
4
0
Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = + k 000
4
Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano
n o
S = ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
2 4
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
2 4
00 000 5
Si k = 0 y k = 1 ! ( ; + ) = ;
2 4 2 4
3
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; ) = ;
2 4 2 4
3 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; + ) = ; etc, etc....
2 4 2 4
Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos
entre 0 y 2
8
< x y = + 2k
2. 4 con k y k 0 2 Z
: x + y = 5 + 2k 0
4
3
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 )
2
3
Aislando x ! x = + (k + k 0 )
4
3
Si denominamos al entero k + k 0 como el entero k 00 ! x = + k 00
4
Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos
2y = + 2(k k 0 )
Aislando y ! y = + (k k 0 )
2
0
Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = + k 000
2
Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano
3
S= ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
4 2
3
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
4 2
00 000 3 3 3
Si k = 0 y k = 1 ! ( ; + ) = ;
4 2 4 2
3 7
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; )= ;
4 2 4 2
3 7 3
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; + )= ; etc, etc....
4 2 4 2
Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos
entre 0 y 2
22
23. 8
>
< x 3
y= + 2k
3. 4 con k y k 0 2 Z
> x + y = 3 + 2k 0
:
4
3
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 )
2
3
Aislando x ! x = + (k + k 0 )
4
3
Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00
4
Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos
2y = 0 + 2(k k 0 )
Aislando y ! y = (k k 0 )
0
Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = k 000
Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano
3
S= ( + k 00 ; k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
4
3
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; 0)
4
00 000 3 3
Si k = 0 y k = 1 ! ( ; ) = ;
4 4
3 7
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; 0) = ;0
4 4
3 7
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; )= ; etc, etc....
4 4
Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos
entre 0 y 2
8
< x y = 3 + 2k
>
4. 4 con k y k 0 2 Z
> 5
: x+y = + 2k 0
4
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = 2 + 2(k + k 0 )
Aislando x ! x = + (k + k 0 )
2
Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00
2
Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos
2y = + 2(k k 0 )
2
Aislando y ! y = + (k k 0 )
4 0
Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = k 000
Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano
n o
S = ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
2 4
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
2 4
00 000 5
Si k = 0 y k = 1 ! ( ; + ) = ;
2 4 2 4
23
24. 3
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; ; )=
2 4
2 4
3 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; + ) = ; etc, etc....
2 4 2 4
Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos
entre 0 y 2
8 p
>
< sin x cos y = 3
Ejemplo 35 Resuelve el sistema p4
>
: cos x sin y = 3
4
Sumando ambas ecuaciones tendremos:
sin x cos y + cos x sin y = 0
Como sin(A + B)=sin A cos B + cos A sin B la ecuación anterior queda re-
ducida a:
sin(x + y) = 0
Lo que nos permite a…rmar que
2k
x+y = con k 2 Z (1)
+ 2k
Restando ambas ecuaciones tendremos:
p
3
sin x cos y cos x sin y =
2
Como sin(A B)=sin A cos Bcos A sin B la ecuación anterior queda re-
ducida a: p
3
sin(x y) =
2
Lo que nos permite a…rmar que
8
> 4
< + 2k 0
x y= 3 con k 0 2 Z (2)
> 5 + 2k 0
:
3
De las relaciones (1) y (2) anteriores; podemos concluir que el sistema inicial
24
25. es equivalente a resolver los cuatro sistemas de ecuaciones lineales siguientes:
(
x + y = 2k
Primer sistema 4 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
(
x + y = 2k
Segundo sistema 5 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
(
x + y = + 2k
Tercer sistema 4 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
(
x + y = + 2k
Cuarto sistema 5 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
Resolvámoslos:
(
x + y = 2k
1. 4 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
4
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 )
3
2
Aislando x ! x = + (k + k 0 )
3
2
Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00
3
Restando la primera ecuación de la segunda obtenemos
4
2y = + 2(k k 0 )
3
2
Aislando y ! y = + (k k 0 )
3
2 4
Como = 2 entonces:
3 3
4 4
y= 2 + (k k 0 ) = + (k k 0 2)
3 3
11 0
Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = + k 000
6
Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano
2 4
S= ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
3 3
2 4
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
3 3
2 4 2
Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )= ;
3 3 3 3
2 4 5 4
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; )= ;
3 3 3 3
2 4 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; )= ; etc, etc....
3 3 3 3
Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos
entre 0 y 2
25
26. (
x + y = 2k
2. 5 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
5
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 )
3
5
Aislando x ! x = + (k + k 0 )
6
5
Si denominamos al entero k + k 0 como el entero k 00 ! x = + k 00
6
Restando la primera ecuación de la segunda obtenemos
5
2y = + 2(k k 0 )
3
5
Aislando y ! y = + (k k 0 )
6
5 7
Como = 2 entonces:
6 6
7 7
y= 2 + (k k 0 ) = + (k k 0 2)
6 6
7 0
Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = + k 000
6
Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano
5 7
S= ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
6 6
5 7
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
6 6
5 7 5
Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )= ;
6 6 6 6
5 7 11 7
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; )= ;
6 6 6 6
00 000 5 7 11
Si k = 1 y k = 1 ! ( + ; )= ; etc, etc....
6 6 6 6
Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos
entre 0 y 2
(
x + y = + 2k
3. 4 con k y k 0 2 Zcon k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
7
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 )
3
7
Aislando x ! x = + (k + k 0 )
6
7
Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00
6
Restando la primera ecuación de la segunda obtenemos
2y = + 2(k k 0 )
3
Aislando y ! y = + (k k 0 )
6
11
Como = 2
6 6
26
27. 11 11
entonces; y = 2 + (k k0 ) = + (k k0 2)
6 6
11 0
Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = + k 000
6
Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano
7 11
S= ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
6 6
7 11
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
6 6
7 11 7 5
Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )=( ; )
6 6 6 6
7 11 11
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( ; )= ;
6 6 6 6
7 11 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( ; )= ; etc, etc....
6 6 6 6
Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre
0y2
(
x + y = + 2k
4 5 con k y k 0 2 Zcon k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
8
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 )
3
4
Aislando x ! x = + (k + k 0 )
3
4
Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00
3
Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos
2
2y = + 2(k k 0 )
3
Aislando y ! y = + (k k 0 )
3
5
Como = 2
3 3
5 5
entonces; y = 2 + (k k 0 ) = + (k k 0 2)
3 3 0
Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = k 000
Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano
4 5
S= ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
3 3
4 5
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
3 3
4 5 4 2
Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )= ;
3 3 3 3
4 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( ; )= ;
3 3 3 6
4 5 2
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( ; )= ; etc, etc....
3 3 3 3
27
28. Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos
entre 0 y 2
2.2 Ejercicios sistemas de ecs. trigonométricas
( p
3+1
sin x + sin y = 2
Ejercicio 36 Resuelve el sistema ,
x+y =
2
De la 2a ecuación aislamos x
x= y
2
Y sustituimos dicha expresión en la 1a ecuación:
p
3+1
sin y + sin y = (3)
2 2
C +D C D
Nota a) : Como sin C + sin D = 2 sin cos ; entonces
2 2
podemos transformar la expresión que hay a la izquierda de la igualdad de la
siguiente manera:
0 1 0 1
y+y y y
sin y + sin y = 2 sin @ 2 A cos @ 2 A=
2 2 2
p
= 2 sin cos y = 2 cos( y)
4 4 4
Quedando la ecuación (3) así:
p
p 3+1
2 cos( y) =
4 2
Aislando cos( y)
4
p p p p p
3+1 3+1 2 6+ 2
cos( y) = p = p p =
4 2 2 2 2 2 4
Nota b) Como cos A = cos ( A) la ecuación anterior se transforma en:
p p
6+ 2
cos(y )= (4)
4 4
p p
6+ 2 _
Nota c) El ángulo agudo cuyo coseno vale es (15o ) .1
4 12
p p
1 cos 2+ 6
= cos = cos cos + sin sin =
12 3 4 3 4 3 4 4
28
29. Por la nota anterior; la solución de la ecuación (4) es:
8 8
< + 2k < + 2k
y = 12 con k 2 Z ! y = 3
4 : 23 : 13
+ 2k + 2k
12 6
13 13
Como = +2 ! + 2k = + 2 + 2k = + 2 (k + 1) .
6 6 6 6 6
Entonces, las soluciones de la incógnita y se pueden expresar :
8
< + 2k
y= 3 con k 2 Z
: + 2(k + 1)
6
Obtenidos todos los valores de la incógnita "y" , vamos a calcular los corre-
spondientes valores de la incógnita "x": (recuerda que x = y)
2
2 3
Si y = + 2k ! x = 2k = 2k con k 2 Z
4 3 2 3 6 5
Si y = + 2 (k + 1) ! x = 2 (k + 1) = 2 (k + 1) con k 2 Z
6 2 6 3
El conjunto solución del sistema es:
n o n o
S= 2k ; + 2k con k 2 Z [ 2 (k + 1) ; + 2 (k + 1) con k 2 Z
6 3 3 6
( p
sin x + cos y = 3
Ejercicio 37 Resuelve el sistema
x y=
2
De la 2a ecuación aislamos x
x= +y
2
Y sustituimos dicha expresión en la 1a ecuación:
p
sin + y + cos y = 3 (5)
2
Nota a) : Como sin + y = sin cos y + cos sin y = 2 cos y ;
2 2 2
entonces, podemos transformar la expresión que hay a la izquierda de la igualdad
de la siguiente manera:
sin + y + sin y = 2 cos y
2
Quedando la ecuación (5) así:
p
p 3
2 cos y = 3 ! cos y =
2
2 sin = 1 y cos =0
2 2
29
30. Los valores de y que se obtienen son
6 + 2k
y= 11 con k 2 Z
6 + 2k
Obtenidos todos los valores de la incógnita "y" , vamos a calcular los cor-
respondientes valores de la incógnita "x":(recuerda que x = + y)
2
2 3
2
6 Si y = + 2k ! x = + + 2k = + 2k con k 2 Z 7
4 6 2 6 3 5
11 11 7
Si y = + 2k ! x = + + 2k = + 2k = + 2 (k + 1) con k 2 Z
6 2 6 3 3
El conjunto solución del sistema es:
2 11
S= + 2k ; + 2k con k 2 Z [ + 2 (k + 1) ; + 2k con k 2 Z
3 6 3 6
(
x y=
Ejercicio 38 Resuelve el sistema 3 p
sin x + sin y = 3
(
x y=
Ejercicio 39 Resuelve el sistema 2
sin x = sin y
( 2
x y=
Ejercicio 40 Resuelve el sistema 3 1
cos x + cos y = 2
( 1
sin x + sin y =
Ejercicio 41 Resuelve el sistema 2
3
sin x sin y = 2
Sumando y restando ambas ecuaciones obtenemos:
(
2 sin x = 2 sin x = 1
! 1
2 sin y = 1 sin y =
2
Los ángulos que veri…can cada una de las ecuaciones anteriores son:
8
< x = 2 + 2k
5
: y= 6 + 2k con k 2 Z
11
6 + 2k
La solución del sistema es el conjunto:
5 11
S= + 2k ; + 2k con k 2 Z [ + 2k ; + 2k con k 2 Z
2 6 2 6
Resuelve tú, los 2 sistemas siguientes
30