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Ecuaciones de segundo grado




  www.math.com.mx
     José de Jesús Angel Angel
         jjaa@math.com.mx


      MathCon c 2007-2008
Contenido


1. La ecuación cuadrática                                                             2

2. La ecuación x2 − d2                                                               3
   2.1. Resúmen de la ecuación x2 − d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     5
   2.2. Gráficas de la ecuación x2 − d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   6

3. La ecuación (mx)2 − d2                                                             7
   3.1. Resúmen de la ecuación (mx)2 − d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      10
   3.2. Gráficas de la ecuación (mx)2 − d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      11

4. La ecuación ax2 + bx                                                              12
   4.1. Resúmen de la ecuación ax2 + bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      13
   4.2. Gráficas de la ecuación ax2 + bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    14

5. Trinomios cuadrados perfectos                                                     15
   5.1. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos . . . . . . . . . . . . . . . .     16

6. Completando el Trinomios cuadrados perfectos                                      17

7. La fórmula general                                                                20
La ecuación cuadrática
                                                                          1
   Definición 1 La ecuación de la forma ax2 + bx + c se llama ecuación cuadrática.
   La cantidad ∆ = b2 − 4ac se llama el discriminante de la ecuación



  La ecuación ax2 + bx + c, se suele llamar también ecuación de segundo grado o
ecuación parabólica, ya que la gráfica que describe es una parábola.



   Definición 2 Un número x0 tal que al sustituirlo en la ecuación es cero ax2 +bx0 +c = 0
                                                                            0
   se llama raíz o cero de la ecuación cuadrática



  Estudiaremos aquí diferentes forma de ecuaciones de segundo grado, tratando de en-
contrar sus raíces y su discriminante.


  Las formas de ecuaciones que estudiaremos son:
  1. x2 − d2
  2. (mx)2 − d2
  3. ax2 + bx
  4. Trinomios cuadrados perfectos.
  5. Completar el trinomio cuadrado perfecto.
  6. La forma general.
La ecuación x2 − d2
                                                                               2
       La ecuación de la forma (mx)2 − d2 es una diferencia de cuadrados, por lo que se aplica
       la fórmula (mx)2 − d2 = (mx + d)(mx − d).


      Ejemplos:

Ejem. 1 x2 −1, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como
        sigue: x2 − 1 = (x + 1)(x − 1). Entonces las raíces son los números que hacen
        la siguiente igualdad (x + 1)(x − 1) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son
        x1 = 1, x2 = −1, ya que al sustituir (x + 1)(x1 − 1) = 0 y (x2 + 1)(x − 1) = 0 se
        cumplen las igualdades.
          a) Las raíces de la ecuación son:

                                              x1 = 1
                                              x2 = −1


          b) El discriminate de la ecuación es:

                                       ∆ = 02 − (4)(1)(−1)
                                         = 4


Ejem. 2 x2 −4, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como
        sigue: x2 − 4 = (x + 2)(x − 2). Entonces las raíces son los números que hacen
        la siguiente igualdad (x + 2)(x − 2) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son
        x1 = 2, x2 = −2, ya que al sustituir (x + 2)(x1 − 2) = 0 y (x2 + 2)(x − 2) = 0 se
        cumplen las igualdades.
2. La ecuación x2 − d2                                                              4


           a) Las raíces de la ecuación son:
                                               x1 = 2
                                               x2 = −2


           b) El discriminate de la ecuación es:
                                        ∆ = 02 − (4)(1)(−4)
                                          = 16


Ejem. 3 x2 −9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como
        sigue: x2 − 9 = (x + 3)(x − 3). Entonces las raíces son los números que hacen
        la siguiente igualdad (x + 3)(x − 3) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son
        x1 = 3, x2 = −3, ya que al sustituir (x + 3)(x1 − 3) = 0 y (x2 + 3)(x − 3) = 0 se
        cumplen las igualdades.
           a) Las raíces de la ecuación son:
                                               x1 = 3
                                               x2 = −3


           b) El discriminate de la ecuación es:
                                        ∆ = 02 − (4)(1)(−9)
                                          = 36


Ejem. 4 x2 − 16, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados
        como sigue: x2 − 16 = (x + 4)(x − 4). Entonces las raíces son los números que
        hacen la siguiente igualdad (x + 4)(x − 4) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces
        son x1 = 4, x2 = −4, ya que al sustituir (x + 4)(x1 − 4) = 0 y (x2 + 4)(x − 4) = 0
        se cumplen las igualdades.
           a) Las raíces de la ecuación son:
                                               x1 = 4
                                               x2 = −4


           b) El discriminate de la ecuación es:
                                        ∆ = 02 − (4)(1)(−16)
                                          = 64
2.1. Resúmen de la ecuación x2 − d2                                                 5



Ejem. 5 x2 −25, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x2 −25 = (x+5)(x−5). Se
        deduce que las raíces son x1 = 5, x2 = −5, ya que al sustituir (x + 5)(x1 − 5) = 0
        y (x2 + 5)(x − 5) = 0 se cumplen las igualdades.
           a) Las raíces de la ecuación son:
                                                   x1 = 5
                                                   x2 = −5


           b) El discriminate de la ecuación es:

                                            ∆ = 02 − (4)(1)(−25)
                                              = 100




    2.1. Resúmen de la ecuación x2 − d2
      Para el caso especial de las parábolas de la forma x2 − d2 de acuerdo a los ejemplos
    anteriores podemos resumir lo siguiente:
                           Ecuación       Raíz 1   Raíz 2   Discriminante
                            x2 − 1          1       −1            4
                            x2 − 4          2       −2            16
                            x2 − 9          3       −3            36
                           x2 − 16          4       −4            64
                           x2 − 25          5       −5           100
                               .
                               .            .
                                            .        .
                                                     .             .
                                                                   .
                               .            .        .             .
                            x − d2
                             2
                                            d       −d           4d2

       En general podemos concluir que la ecuación de la forma x2 − d2 tendrá como raíces
    a d y −d y su discriminate será 4(d2 ).
2.2. Gráficas de la ecuación x2 − d2                                                                                                  6


2.2. Gráficas de la ecuación x2 − d2
                                 6                                                        6
                                 5                                                        5
                                 4           y   x2   1                                   4                y        x2       4
                                 3                                                        3
                                 2                                                        2
                                 1                                                        1

         6   5   4   3   2   1       1   2   3   4    5    6      6   5   4   3   2   1       1   2   3        4         5       6
                                 1                                                        1
                                 2                                                        2
                                 3                                                        3
                                 4                                                        4
                                 5                                                        5
                                 6                                                        6


      La gráfica de la función x2 − 1                           La gráfica de la función x2 − 4

                                 6                                                        6
                                 5                                                        5
                                 4               y    x2   9                              4       y   x2       16
                                 3                                                        3
                                 2                                                        2
                                 1                                                        1

         6   5   4   3   2   1       1   2   3   4    5    6      6   5   4   3   2   1       1   2   3        4         5       6
                                 1                                                        1
                                 2                                                        2
                                 3                                                        3
                                 4                                                        4
                                 5                                                        5
                                 6                                                        6


      La gráfica de la función x2 − 9                           La gráfica de la función x2 − 16



   Ejercicios propuestos:

  1. Encontrar las raíces, el discriminante, y la gráfica de las siguientes ecuaciones:
       a)    x2
       b)    x2 − 36
       c)    x2 − 49
       d)    x2 − 64
       e)    x2 − 81
       f)    x2 − 100
  2. ¿Qué sucede con las ecuaciones de la forma −x2 + d2 ?. Hacer el mismo análisis
     y comprobar que tienen las mismas raíces d, −d, el discriminante es mismo 4d2 .
     Pero la gráfica ahora abre hacia abajo.
La ecuación (mx)2 − d2
                                                                               3
       La ecuación de la forma (mx)2 − d2 es una diferencia de cuadrados, por lo que se aplica
       la fórmula (mx)2 − d2 = (mx + d)(mx − d).



Ejem. 1 4x2 − 1, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados
        como sigue: 4x2 − 1 = (2x + 1)(2x − 1). Entonces las raíces son los números que
        hacen la siguiente igualdad (2x + 1)(2x − 1) = 0 verdadera. Se deduce que las
                                          1                         1
        raíces son (2x + 1) = 0 ⇒ x1 = − , (2x − 1) = 0 ⇒ x2 = , ya que al sustituir
                                          2                         2
        (2x1 + 1)(2x − 1) = 0 y (2x + 1)(2x2 − 1) = 0 se cumplen las igualdades.
          a) Las raíces de la ecuación son:
                                                          1
                                              x1 = −
                                                          2
                                                      1
                                              x2 =
                                                      2

          b) El discriminate de la ecuación es:
                                       ∆ = 02 − (4)(4)(−1)
                                         = 16


Ejem. 2 4x2 − 4, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados
        también: 4x2 − 4 = (2x + 2)(2x − 2). Entonces las raíces son los números que
        hacen la siguiente igualdad (2x + 2)(2x − 2) = 0 verdadera. Se deduce que las
        raíces son (2x + 2) = 0 ⇒ x1 = −1 , (2x − 1) = 0 ⇒ x2 = 1, ya que al sustituir
        (2x1 + 1)(2x − 1) = 0 y (2x + 1)(2x2 − 1) = 0 se cumplen las igualdades.
3. La ecuación (mx)2 − d2                                                         8


           a) Las raíces de la ecuación son:
                                               x1 = −1
                                               x2 = 1


           b) El discriminate de la ecuación es:
                                        ∆ = 02 − (4)(4)(−4)
                                          = 64


Ejem. 3 4x2 − 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados
        también: 4x2 − 4 = (2x + 3)(2x − 3). Entonces las raíces son los números que
        hacen la siguiente igualdad (2x + 3)(2x − 3) = 0 verdadera. Se deduce que las
                                          3                         3
        raíces son (2x + 3) = 0 ⇒ x1 = − , (2x − 1) = 0 ⇒ x2 = , ya que al sustituir
                                          2                         2
        (2x1 + 1)(2x − 1) = 0 y (2x + 1)(2x2 − 1) = 0 se cumplen las igualdades.
           a) Las raíces de la ecuación son:
                                                          3
                                               x1 = −
                                                          2
                                                      3
                                               x2 =
                                                      2

           b) El discriminate de la ecuación es:
                                        ∆ = 02 − (4)(4)(−9)
                                          = 144


Ejem. 4 9x2 − 1, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados
        como sigue: 9x2 − 1 = (3x + 1)(3x − 1). Entonces las raíces son los números que
        hacen la siguiente igualdad (3x + 1)(3x − 1) = 0 verdadera. Se deduce que las
                                          1                         1
        raíces son (3x + 1) = 0 ⇒ x1 = − , (3x − 1) = 0 ⇒ x2 = , ya que al sustituir
                                          3                         3
        (3x1 + 1)(3x − 1) = 0 y (3x + 1)(3x2 − 1) = 0 se cumplen las igualdades.
           a) Las raíces de la ecuación son:
                                                          1
                                               x1 = −
                                                          3
                                                      1
                                               x2 =
                                                      3
3. La ecuación (mx)2 − d2                                                         9


           b) El discriminate de la ecuación es:

                                        ∆ = 02 − (4)(9)(−1)
                                          = 36


Ejem. 5 9x2 − 4, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados
        como sigue: 9x2 − 4 = (3x + 2)(3x − 2). Entonces las raíces son los números que
        hacen la siguiente igualdad (3x + 2)(3x − 2) = 0 verdadera. Se deduce que las
                                          2                         2
        raíces son (3x + 2) = 0 ⇒ x1 = − , (3x − 2) = 0 ⇒ x2 = , ya que al sustituir
                                          3                         3
        (3x1 + 2)(3x − 2) = 0 y (3x + 2)(3x2 − 2) = 0 se cumplen las igualdades.
           a) Las raíces de la ecuación son:
                                                          2
                                               x1 = −
                                                          3
                                                      2
                                               x2 =
                                                      3

           b) El discriminate de la ecuación es:
                                        ∆ = 02 − (4)(9)(−4)
                                          = 144


Ejem. 6 9x2 − 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados
        como sigue: 9x2 − 9 = (3x + 9)(3x − 9). Entonces las raíces son los números que
        hacen la siguiente igualdad (3x + 3)(3x − 3) = 0 verdadera. Se deduce que las
        raíces son (3x + 3) = 0 ⇒ x1 = −1 , (3x − 3) = 0 ⇒ x2 = 1, ya que al sustituir
        (3x1 + 3)(3x − 3) = 0 y (3x + 3)(3x2 − 3) = 0 se cumplen las igualdades.
           a) Las raíces de la ecuación son:

                                               x1 = −1
                                               x2 = 1


           b) El discriminate de la ecuación es:

                                        ∆ = 02 − (4)(9)(−9)
                                          = 324
3.1. Resúmen de la ecuación (mx)2 − d2                                                10


3.1. Resúmen de la ecuación (mx)2 − d2
   Para el caso especial de las parábolas de la forma (mx)2 − d2 de acuerdo a los ejemp-
los anteriores podemos resumir lo siguiente, de hecho las raíces se derivan de la factor-
ización (mx + d)(mx − d) y el discriminante del cálculo (−4)(m2 )(−d2 ) = 4m2 d2 .

                       Ecuación          Raíz 1   Raíz 2   Discriminante
                                           1           1
                      (2x)2 − 1                    −            16
                                           2           2
                      (2x)2 − 4            1       −1           64
                                           3           3
                      (2x)2 − 9                    −           144
                                           2           2
                                           1           1
                      (3x)2 − 1                    −            36
                                           3           3
                                           2           2
                      (3x)2 − 4                    −           144
                                           3           3
                      (3x)2 − 9            1       −1          324
                          .
                          .                .
                                           .         .
                                                     .          .
                                                                .
                          .                .         .          .
                                           d           d
                     (mx)2 − d2                    −          4m2 d2
                                          m          m
3.2. Gráficas de la ecuación (mx)2 − d2                                                                                                                            11


3.2. Gráficas de la ecuación (mx)2 − d2
                              6                                                         6                                                         6
                              5                                                         5                                                         5
                              4       y   4 x2     1                                    4       y   4 x2     4                                    4           y   4 x2   9
                              3                                                         3                                                         3
                              2                                                         2                                                         2
                              1                                                         1                                                         1

      6   5   4   3   2   1       1   2    3      4     5   6   6   5   4   3   2   1       1   2    3      4     5   6   6   5   4   3   2   1       1   2   3    4     5   6
                              1                                                         1                                                         1
                              2                                                         2                                                         2
                              3                                                         3                                                         3
                              4                                                         4                                                         4
                              5                                                         5                                                         5
                              6                                                         6                                                         6



      La gráfica de la función                                   La gráfica de la función                                   La gráfica de la función
             4x2 − 1                                                   4x2 − 4                                                   4x2 − 9

                              6                                                         6                                                         6
                              5                                                         5                                                         5
                              4           y      9 x2   1                               4           y      9 x2   4                               4           y   9 x2   9
                              3                                                         3                                                         3
                              2                                                         2                                                         2
                              1                                                         1                                                         1

      6   5   4   3   2   1       1   2    3      4     5   6   6   5   4   3   2   1       1   2    3      4     5   6   6   5   4   3   2   1       1   2   3    4     5   6
                              1                                                         1                                                         1
                              2                                                         2                                                         2
                              3                                                         3                                                         3
                              4                                                         4                                                         4
                              5                                                         5                                                         5
                              6                                                         6                                                         6



      La gráfica de la función                                   La gráfica de la función                                   La gráfica de la función
             9x2 − 1                                                   9x2 − 4                                                   9x2 − 9


   Ejercicios propuestos:


  1. Encontrar las raíces, el discriminante, y la gráfica de las siguientes ecuaciones:
                 4
          a) 4x2 −
                 9
                  9
      b) 9x2 −
                 16
                   4
      c) 16x2 −
                   25
  2. ¿Qué sucede con las ecuaciones de la forma −(mx)2 +d2 ?. Hacer el mismo análisis
                                                   d  d
     y comprobar que tienen las mismas raíces , − , el discriminante es mismo
                                                   m m
     4m2 d2 . Pero la gráfica ahora abre hacia abajo.
La ecuación ax2 + bx
                                                                              4
       La ecuación de la forma ax2 + bx por la factorización x(ax + b), siempre tiene la raíz
                                  b
       el cero y la otra raíz es − .
                                  a

Ejem. 1 x2 + x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x2 + x = x(x + 1). Entonces
        las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad x(x + 1) = 0 verdadera.
        Se deduce que las raíces son x1 = 0 , x2 = −1.
          a) Las raíces de la ecuación son:

                                              x1 = 0
                                              x2 = −1


          b) El discriminate de la ecuación es:

                                                  ∆ = 12
                                                    = 1


Ejem. 2 x2 + 2x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x2 + 2x = x(x + 2). Se
        deduce que las raíces son x1 = 0 , x2 = −2.
          a) Las raíces de la ecuación son:

                                              x1 = 0
                                              x2 = −2
4.1. Resúmen de la ecuación ax2 + bx                                              13


           b) El discriminate de la ecuación es:

                                                    ∆ = 22
                                                      = 4


Ejem. 3 3x2 + 2x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: 3x2 + 2x = x(3x + 2). Se
                                                  2
        deduce que las raíces son x1 = 0 , x2 = − .
                                                  3
         a) Las raíces de la ecuación son:

                                                    x1 = 0
                                                             2
                                                    x2 = −
                                                             3

           b) El discriminate de la ecuación es:
                                                    ∆ = 22
                                                      = 4



    4.1. Resúmen de la ecuación ax2 + bx
       Para el caso especial de las parábolas de la forma ax2 + bx, siempre tiene la raíz
                             b
    cero, y la otra raíz es − que se deriva de la factorización ax2 + bx = x(ax + b) y el
                             a
    discriminante es b2 .
                           Ecuación        Raíz 1   Raíz 2   Discriminante
                            x2 + x           0       −1            1
                           x2 + 2x           0       −2            4
                                                        2
                           3x2 + 2x          0       −            4
                                                        3
                                .
                                .            .
                                             .        .
                                                      .            .
                                                                   .
                                .            .        .            .
                                                         b
                           ax2 + bx          0       −            b2
                                                         a
4.2. Gráficas de la ecuación ax2 + bx                                                                                                                         14


4.2. Gráficas de la ecuación ax2 + bx
                              6                                                    6                                                     6
                              5                                                    5                                                     5
                              4           y   x2   x                               4           y   x2   2x                               4           y       3 x2   2x
                              3                                                    3                                                     3
                              2                                                    2                                                     2
                              1                                                    1                                                     1

      6   5   4   3   2   1       1   2   3   4    5   6   6   5   4   3   2   1       1   2   3   4    5    6   6   5   4   3   2   1       1   2       3    4     5    6
                              1                                                    1                                                     1
                              2                                                    2                                                     2
                              3                                                    3                                                     3
                              4                                                    4                                                     4
                              5                                                    5                                                     5
                              6                                                    6                                                     6



      La gráfica de la función                              La gráfica de la función                               La gráfica de la función
              x2 + x                                              x2 + 2x                                               3x2 + 2x
Trinomios cuadrados perfectos
                                                                             5
       Una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto si es
       posible factorizarlo como el cuadrado de una suma, es decir si ax2 +bx+c = (mx+n)2 .
       Desarrollando el binomio (mx + n)2 = (mx)2 + √ √ + n2 , entonces la ecuación
                                                           2mxn
       cuadrática es un trinomio cuadrado perfecto si b = 2 c a.
      Si a = 1, entonces la expresión x2 + bx + c será un trinomio cuadrado perfecto si
         √                            √
    b = 2 c, y (x2 + bx + c) = (x ± c)2 . El signo se elige de acuerdo al signo de b.

       Ejemplos:


Ejem. 1 Sea x2 + 4x + 4, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto si
             √                   √
        b = 2 c, como c = 4 y 4 = 2.
        Ya que b = 2 · 2, sí es un TCP, y x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 .

Ejem. 2 Sea x2 + 6x + 9, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto si
             √                   √
        b = 2 c, como c = 9 y 9 = 3.
        Ya que b = 2 · 3, sí es un TCP, y x2 + 3x + 9 = (x + 3)2 .

Ejem. 3 Sea x2 + 8x + 16, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto si
             √                     √
        b = 2 c, como c = 16 y 16 = 4.
        Ya que b = 2 · 4, sí es un TCP, y x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 .

Ejem. 4 Sea x2 + 10x + 25, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto
                √                   √
        si b = 2 c, como c = 25 y 25 = 5.
        Ya que b = 2 · 5, sí es un TCP, y x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 .

Ejem. 5 Sea x2 + 12x + 36, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto
                √                   √
        si b = 2 c, como c = 36 y 36 = 6.
        Ya que b = 2 · 6, sí es un TCP, y x2 + 12x + 36 = (x + 6)2 .
5.1. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos                                                                                                                                                                                                                              16



Ejem. 6 Sea x2 − 10x + 25, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto
                √                   √
        si b = 2 c, como c = 25 y 25 = 5.
        Ya que b = 2 · 5, sí es un TCP, y x2 − 10x + 25 = (x − 5)2 .


      Como un TCP siempre se reduce a una expresión (x ± d)2 , entonces las dos raíces
    son siempre iguales y son x0 = ∓d.


    5.1. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos
                                                          6                                                                                                6                                                                                      6
                                                          5                                                                                                5                                                                                      5
                                                          4            y       x2       4x   4                                                             4            y       x2       6x   9                                                   4                y       x2          8x       16
                                                          3                                                                                                3                                                                                      3
                                                          2                                                                                                2                                                                                      2
                                                          1                                                                                                1                                                                                      1

             6       5       4        3       2       1        1   2       3        4    5       6            6       5       4        3       2       1        1   2       3        4    5       6           6       5       4   3   2       1           1       2        3       4        5       6
                                                          1                                                                                                1                                                                                      1
                                                          2                                                                                                2                                                                                      2
                                                          3                                                                                                3                                                                                      3
                                                          4                                                                                                4                                                                                      4
                                                          5                                                                                                5                                                                                      5
                                                          6                                                                                                6                                                                                      6



             La gráfica de la función                                                                          La gráfica de la función                                                                         La gráfica de la función
                  x2 + 4x + 4                                                                                      x2 + 6x + 9                                                                                    4x2 + 8x + 16

                                                                               6                                                                                                6                                             6
                                                                               5                                                                                                5                                             5
                                                                               4                                                                                                4                                             4
                                                                               3                                                                                                3                                             3
                                                                               2                                                                                                2                                             2
                                                                               1                                                                                                1                                             1

        10       9       8       7        6       5        4   3   2       1             1   2       3   10       9       8       7        6       5        4   3   2       1             1   2       3   3       2       1       1       2       3   4       5        6       7        8       9       10
                                                                               1                                                                                                1                                             1
                                                                               2                                                                                                2                                             2
                                                                               3                                                                                                3                                             3
                         y       x2       10 x        25                       4                                          y       x2       12 x        36                       4                                             4                       y       x2       10 x        25
                                                                               5                                                                                                5                                             5
                                                                               6                                                                                                6                                             6



             La gráfica de la función                                                                          La gráfica de la función                                                                         La gráfica de la función
                 x2 + 10x + 25                                                                                    x2 + 12x + 36                                                                                   4x2 − 10x + 25
Completando el Trinomios cuadrados
                                        perfectos
                                                                              6
   En algunos casos se puede encontrar las raíces de una ecuación cuadrática vía un tri-
   nomio cuadrado perfecto (TCP). El completar un binomio a un trinomio cuadrado per-
   fecto se deriva de la siguiente idea: Si (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , y por otro lado tenemos
   a un binomio m2 + nm, entonces decimos que acompletamos el binomio m2 + nm a un
   trinomio cuadrado perfecto sumando y restando un d de tal manera que tenga la forma
   a2 + 2ab + b2 , para esto hacemos m = a, entonces 2b = n, por lo tanto para obtener un
                                              n
   TCP en m2 + nm basta sumar y restar ( )2 , así
                                              2
                                       n        n            n        n
                         m2 + nm + ( )2 − ( )2 = (m + )2 − ( )2
                                       2        2            2         2

  Para encontrar las raíces de la última igualdad se procede como sigue:

                                  n 2    n
                           (m +     ) − ( )2    = 0
                                  2      2
                                         n 2       n
                                    (m + )      = ( )2
                                         2          2
                                          n          n
                                     (m + )     = ±
                                          2          2
                                                     n n
                                           m    = ± −
                                                     2 2

   De donde las raíces son m0 = 0 y m1 = −n, en el caso de tener una expresión del
tipo m2 + nm + d, entonces se separa el binomio m2 + nm, y al final se considera a d
para obtener las raíces como se hace en los ejemplos 2,3 y 4 siguientes.
6. Completando el Trinomios cuadrados perfectos                                                                                    18


  Ejemplos:




   Ejemplo 1 La ecuación x2 + 2x puede resolverse también
  acompletando el cuadrado de la siguiente manera:                                      6
                                         2                                              5
     1. Completando el cuadrado x + 2x + 1 − 1
                                 2                                                      4               y    x2       2x
     2. Factorizando (x + 1) − 1
                                                                                        3
     3. Igualando a cero (x + 1)2 − 1 = 0                                               2
     4. despejando a x:                                                                 1

                    (x + 1)2 − 1         =   0              7   6   5   4   3   2   1       1   2       3        4    5        6
                                                                                        1
                                     2
                          (x + 1)        =   1                                          2
                            x+1          =   ±1                                         3
                                     x   =   ±1 − 1                                     4
                                                                                        5
                                                                                        6
        Por lo tanto las raíces son: x0 = 0, y x1 = −2.




   Ejemplo 2 La ecuación x2 + 4x + 3 se resuelve acomple-
  tando el cuadrado de la siguiente manera:                                             6

     1. Completando el cuadrado (x2 + 4x + 4) − 4 + 3                                   5

                                 2                                                      4           y       x2       4x    3
     2. Factorizando (x + 2) − 1
                                                                                        3
     3. Igualando a cero (x + 2)2 − 1 = 0                                               2
     4. despejando a x:                                                                 1

                             2
                    (x + 2) − 1          =   0              7   6   5   4   3   2   1       1   2       3        4    5        6
                                                                                        1
                                     2
                          (x + 2)        =   1                                          2
                            x+2          =   ±1                                         3
                                     x   =   ±1 − 2                                     4
                                                                                        5
                                                                                        6
        Por lo tanto las raíces son: x0 = −1, y x1 = −3.
6. Completando el Trinomios cuadrados perfectos                                                          19


   Ejemplo 3 La ecuación x2 +6x−7 puede resolverse acom-
  pletando el cuadrado de la siguiente manera:
     1. Completando el cuadrado (x2 + 6x + 9) − 9 − 7
     2. Factorizando (x + 3)2 − 10                                                  6
                                                                                    5
     3. Igualando a cero (x + 3)2 − 16 = 0                                          4    y   x2   6x     7
     4. despejando a x:                                                             3
                                                                                    2
                   (x + 3)2 − 16     =   0                                          1
                                 2
                          (x + 3)    =   16                  10 9 8 7 6 5 4 3 2 1       1 2 3 4 5 6
                                                                                    1
                            x+3      =   ±4                                         2
                                                                                    3
                                x    =   ±4 − 3
                                                                                    4
                                                                                    5
                                                                                    6
        Por lo tanto las raíces son: x0 = 1, y x1 = −7.




   Ejemplo 4 La ecuación x2 + 10x + 9 se resuelve acomple-
  tando el cuadrado de la siguiente manera:
     1. Completando el cuadrado (x2 + 10x + 25) − 25 + 9
     2. Factorizando (x + 5)2 − 16                                                  6
                                 2                                                  5
     3. Igualando a cero (x + 5) − 16 = 0                                           4    y   x2   10 x   9
     4. despejando a x:                                                             3
                                                                                    2
                   (x + 5)2 − 16     =   0                                          1

                          (x + 5)2   =   16                  10 9 8 7 6 5 4 3 2 1       1 2 3 4 5 6
                                                                                    1
                            x+5      =   ±4                                         2
                                                                                    3
                                x    =   ±4 − 5
                                                                                    4
                                                                                    5
                                                                                    6
        Por lo tanto las raíces son: x0 = −1, y x1 = −9.
La fórmula general
                                                                              7
      Existe una fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación de segundo
   grado ax2 + bx + c, esta fórmula puede aplicarse siempre a los casos anteriores. Las
   raíces de una ecuación cuadrática son
                                                    √
                                             −b ± b2 − 4ac
                                      x0,1 =
                                                     2a
                2
       y ∆ = b − 4ac, se llama discriminante de la ecuación.
      A partir del discriminate, podemos clasificar a las parábolas de la siguiente manera:

Caso 1 Si ∆ > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales diferentes. La gráfica de la
       parábola atraviesa el eje x en dos puntos diferentes.
Caso 2 Si ∆ = 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales iguales. La gráfica de la
       parábola toca un solo punto del eje x.
Caso 1 Si ∆ < 0, entonces la ecuación tiene dos raíces complejas (imaginarias) diferentes.
       La gráfica de la parábola no atraviesa el eje x.
7. La fórmula general                                                                                                                                         21


  Ejemplos:


                                                                                                        6
   Ejemplo 1 La ecuación x2 + x − 2 puede resolverse por la                                             5
  fórmula general de la siguiente manera:                                                               4                   y        x2       x       2
                                             2
      1. Calculado el discriminate ∆ = b − 4ac = 1 −       2                                            3

         4(1)(−2) = 1 + 8 = 9                                                                           2
                                                                                                        1
      2. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones reales
         diferentes.                                            8   7   6   5   4   3       2       1           1       2       3        4        5       6
                      √                                                                                 1
               −b + 9        −1 + 3                                                                     2
      3. x0 =             =          =1
                   2a           2                                                                       3
                      √
               −b − 9        −1 − 3                                                                     4
      4. x1 =             =          = −2
                   2a           2                                                                       5
                                                                                                        6
      5. Las raíces son: x0 = 1, y x1 = −2.




                                                                                                    9
   Ejemplo 2 La ecuación x2 − 2x + 5 puede resolverse por                                           8
  la fórmula general de la siguiente manera:                                                        7
      1. Calculado el discriminate ∆ = b2 − 4ac = (−2)2 −                                           6
         4(1)(5) = 4 − 20 = −16                                                                     5
                                                                                                    4                   y           x2       2x       5
      2. Por lo tanto la ecuación no tiene soluciones reales.
                                                                                                    3
      3. La gráfica de la ecuación no pasa por el eje x.
                                                                                                    2
                                                                                                    1

                                                                7   6   5   4   3       2       1           1       2           3        4    5           6
                                                                                                    1
                                                                                                    2
                                                                                                    3
                                                                                                    4




   Ejemplo 3 La ecuación x2 + 6x + 9 puede resolverse por                                           9
                                                                                                    8
  la fórmula general de la siguiente manera:
                                                                                                    7
      1. Calculado el discriminate ∆ = b2 − 4ac = 62 −
                                                                                                    6
         4(1)(9) = 0
                                                                                                    5
      2. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones reales                                       4                   y           x2       6x       9
         iguales.
                                                                                                    3
               −b      −6
      3. x0 =      =       = −3                                                                     2
                2a      2                                                                           1
               −b      −6
      4. x1 =      =       = −3
                2a      2                                       7   6   5   4   3       2       1           1       2           3        4    5           6
                                                                                                    1

      5. Las raíces son: x0 = −3, y x1 = −3.                                                        2
                                                                                                    3
                                                                                                    4

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Ecuacion cuadratica

  • 1. Ecuaciones de segundo grado www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008
  • 2. Contenido 1. La ecuación cuadrática 2 2. La ecuación x2 − d2 3 2.1. Resúmen de la ecuación x2 − d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Gráficas de la ecuación x2 − d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. La ecuación (mx)2 − d2 7 3.1. Resúmen de la ecuación (mx)2 − d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2. Gráficas de la ecuación (mx)2 − d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4. La ecuación ax2 + bx 12 4.1. Resúmen de la ecuación ax2 + bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2. Gráficas de la ecuación ax2 + bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. Trinomios cuadrados perfectos 15 5.1. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6. Completando el Trinomios cuadrados perfectos 17 7. La fórmula general 20
  • 3. La ecuación cuadrática 1 Definición 1 La ecuación de la forma ax2 + bx + c se llama ecuación cuadrática. La cantidad ∆ = b2 − 4ac se llama el discriminante de la ecuación La ecuación ax2 + bx + c, se suele llamar también ecuación de segundo grado o ecuación parabólica, ya que la gráfica que describe es una parábola. Definición 2 Un número x0 tal que al sustituirlo en la ecuación es cero ax2 +bx0 +c = 0 0 se llama raíz o cero de la ecuación cuadrática Estudiaremos aquí diferentes forma de ecuaciones de segundo grado, tratando de en- contrar sus raíces y su discriminante. Las formas de ecuaciones que estudiaremos son: 1. x2 − d2 2. (mx)2 − d2 3. ax2 + bx 4. Trinomios cuadrados perfectos. 5. Completar el trinomio cuadrado perfecto. 6. La forma general.
  • 4. La ecuación x2 − d2 2 La ecuación de la forma (mx)2 − d2 es una diferencia de cuadrados, por lo que se aplica la fórmula (mx)2 − d2 = (mx + d)(mx − d). Ejemplos: Ejem. 1 x2 −1, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x2 − 1 = (x + 1)(x − 1). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + 1)(x − 1) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x1 = 1, x2 = −1, ya que al sustituir (x + 1)(x1 − 1) = 0 y (x2 + 1)(x − 1) = 0 se cumplen las igualdades. a) Las raíces de la ecuación son: x1 = 1 x2 = −1 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(1)(−1) = 4 Ejem. 2 x2 −4, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x2 − 4 = (x + 2)(x − 2). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + 2)(x − 2) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x1 = 2, x2 = −2, ya que al sustituir (x + 2)(x1 − 2) = 0 y (x2 + 2)(x − 2) = 0 se cumplen las igualdades.
  • 5. 2. La ecuación x2 − d2 4 a) Las raíces de la ecuación son: x1 = 2 x2 = −2 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(1)(−4) = 16 Ejem. 3 x2 −9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x2 − 9 = (x + 3)(x − 3). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + 3)(x − 3) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x1 = 3, x2 = −3, ya que al sustituir (x + 3)(x1 − 3) = 0 y (x2 + 3)(x − 3) = 0 se cumplen las igualdades. a) Las raíces de la ecuación son: x1 = 3 x2 = −3 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(1)(−9) = 36 Ejem. 4 x2 − 16, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: x2 − 16 = (x + 4)(x − 4). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (x + 4)(x − 4) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x1 = 4, x2 = −4, ya que al sustituir (x + 4)(x1 − 4) = 0 y (x2 + 4)(x − 4) = 0 se cumplen las igualdades. a) Las raíces de la ecuación son: x1 = 4 x2 = −4 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(1)(−16) = 64
  • 6. 2.1. Resúmen de la ecuación x2 − d2 5 Ejem. 5 x2 −25, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x2 −25 = (x+5)(x−5). Se deduce que las raíces son x1 = 5, x2 = −5, ya que al sustituir (x + 5)(x1 − 5) = 0 y (x2 + 5)(x − 5) = 0 se cumplen las igualdades. a) Las raíces de la ecuación son: x1 = 5 x2 = −5 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(1)(−25) = 100 2.1. Resúmen de la ecuación x2 − d2 Para el caso especial de las parábolas de la forma x2 − d2 de acuerdo a los ejemplos anteriores podemos resumir lo siguiente: Ecuación Raíz 1 Raíz 2 Discriminante x2 − 1 1 −1 4 x2 − 4 2 −2 16 x2 − 9 3 −3 36 x2 − 16 4 −4 64 x2 − 25 5 −5 100 . . . . . . . . . . . . x − d2 2 d −d 4d2 En general podemos concluir que la ecuación de la forma x2 − d2 tendrá como raíces a d y −d y su discriminate será 4(d2 ).
  • 7. 2.2. Gráficas de la ecuación x2 − d2 6 2.2. Gráficas de la ecuación x2 − d2 6 6 5 5 4 y x2 1 4 y x2 4 3 3 2 2 1 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 La gráfica de la función x2 − 1 La gráfica de la función x2 − 4 6 6 5 5 4 y x2 9 4 y x2 16 3 3 2 2 1 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 La gráfica de la función x2 − 9 La gráfica de la función x2 − 16 Ejercicios propuestos: 1. Encontrar las raíces, el discriminante, y la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) x2 b) x2 − 36 c) x2 − 49 d) x2 − 64 e) x2 − 81 f) x2 − 100 2. ¿Qué sucede con las ecuaciones de la forma −x2 + d2 ?. Hacer el mismo análisis y comprobar que tienen las mismas raíces d, −d, el discriminante es mismo 4d2 . Pero la gráfica ahora abre hacia abajo.
  • 8. La ecuación (mx)2 − d2 3 La ecuación de la forma (mx)2 − d2 es una diferencia de cuadrados, por lo que se aplica la fórmula (mx)2 − d2 = (mx + d)(mx − d). Ejem. 1 4x2 − 1, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 4x2 − 1 = (2x + 1)(2x − 1). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (2x + 1)(2x − 1) = 0 verdadera. Se deduce que las 1 1 raíces son (2x + 1) = 0 ⇒ x1 = − , (2x − 1) = 0 ⇒ x2 = , ya que al sustituir 2 2 (2x1 + 1)(2x − 1) = 0 y (2x + 1)(2x2 − 1) = 0 se cumplen las igualdades. a) Las raíces de la ecuación son: 1 x1 = − 2 1 x2 = 2 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(4)(−1) = 16 Ejem. 2 4x2 − 4, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados también: 4x2 − 4 = (2x + 2)(2x − 2). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (2x + 2)(2x − 2) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (2x + 2) = 0 ⇒ x1 = −1 , (2x − 1) = 0 ⇒ x2 = 1, ya que al sustituir (2x1 + 1)(2x − 1) = 0 y (2x + 1)(2x2 − 1) = 0 se cumplen las igualdades.
  • 9. 3. La ecuación (mx)2 − d2 8 a) Las raíces de la ecuación son: x1 = −1 x2 = 1 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(4)(−4) = 64 Ejem. 3 4x2 − 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados también: 4x2 − 4 = (2x + 3)(2x − 3). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (2x + 3)(2x − 3) = 0 verdadera. Se deduce que las 3 3 raíces son (2x + 3) = 0 ⇒ x1 = − , (2x − 1) = 0 ⇒ x2 = , ya que al sustituir 2 2 (2x1 + 1)(2x − 1) = 0 y (2x + 1)(2x2 − 1) = 0 se cumplen las igualdades. a) Las raíces de la ecuación son: 3 x1 = − 2 3 x2 = 2 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(4)(−9) = 144 Ejem. 4 9x2 − 1, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 9x2 − 1 = (3x + 1)(3x − 1). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (3x + 1)(3x − 1) = 0 verdadera. Se deduce que las 1 1 raíces son (3x + 1) = 0 ⇒ x1 = − , (3x − 1) = 0 ⇒ x2 = , ya que al sustituir 3 3 (3x1 + 1)(3x − 1) = 0 y (3x + 1)(3x2 − 1) = 0 se cumplen las igualdades. a) Las raíces de la ecuación son: 1 x1 = − 3 1 x2 = 3
  • 10. 3. La ecuación (mx)2 − d2 9 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(9)(−1) = 36 Ejem. 5 9x2 − 4, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 9x2 − 4 = (3x + 2)(3x − 2). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (3x + 2)(3x − 2) = 0 verdadera. Se deduce que las 2 2 raíces son (3x + 2) = 0 ⇒ x1 = − , (3x − 2) = 0 ⇒ x2 = , ya que al sustituir 3 3 (3x1 + 2)(3x − 2) = 0 y (3x + 2)(3x2 − 2) = 0 se cumplen las igualdades. a) Las raíces de la ecuación son: 2 x1 = − 3 2 x2 = 3 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(9)(−4) = 144 Ejem. 6 9x2 − 9, esta ecuación se puede factorizar aplicando la diferencia de cuadrados como sigue: 9x2 − 9 = (3x + 9)(3x − 9). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad (3x + 3)(3x − 3) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son (3x + 3) = 0 ⇒ x1 = −1 , (3x − 3) = 0 ⇒ x2 = 1, ya que al sustituir (3x1 + 3)(3x − 3) = 0 y (3x + 3)(3x2 − 3) = 0 se cumplen las igualdades. a) Las raíces de la ecuación son: x1 = −1 x2 = 1 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 02 − (4)(9)(−9) = 324
  • 11. 3.1. Resúmen de la ecuación (mx)2 − d2 10 3.1. Resúmen de la ecuación (mx)2 − d2 Para el caso especial de las parábolas de la forma (mx)2 − d2 de acuerdo a los ejemp- los anteriores podemos resumir lo siguiente, de hecho las raíces se derivan de la factor- ización (mx + d)(mx − d) y el discriminante del cálculo (−4)(m2 )(−d2 ) = 4m2 d2 . Ecuación Raíz 1 Raíz 2 Discriminante 1 1 (2x)2 − 1 − 16 2 2 (2x)2 − 4 1 −1 64 3 3 (2x)2 − 9 − 144 2 2 1 1 (3x)2 − 1 − 36 3 3 2 2 (3x)2 − 4 − 144 3 3 (3x)2 − 9 1 −1 324 . . . . . . . . . . . . d d (mx)2 − d2 − 4m2 d2 m m
  • 12. 3.2. Gráficas de la ecuación (mx)2 − d2 11 3.2. Gráficas de la ecuación (mx)2 − d2 6 6 6 5 5 5 4 y 4 x2 1 4 y 4 x2 4 4 y 4 x2 9 3 3 3 2 2 2 1 1 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 La gráfica de la función La gráfica de la función La gráfica de la función 4x2 − 1 4x2 − 4 4x2 − 9 6 6 6 5 5 5 4 y 9 x2 1 4 y 9 x2 4 4 y 9 x2 9 3 3 3 2 2 2 1 1 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 La gráfica de la función La gráfica de la función La gráfica de la función 9x2 − 1 9x2 − 4 9x2 − 9 Ejercicios propuestos: 1. Encontrar las raíces, el discriminante, y la gráfica de las siguientes ecuaciones: 4 a) 4x2 − 9 9 b) 9x2 − 16 4 c) 16x2 − 25 2. ¿Qué sucede con las ecuaciones de la forma −(mx)2 +d2 ?. Hacer el mismo análisis d d y comprobar que tienen las mismas raíces , − , el discriminante es mismo m m 4m2 d2 . Pero la gráfica ahora abre hacia abajo.
  • 13. La ecuación ax2 + bx 4 La ecuación de la forma ax2 + bx por la factorización x(ax + b), siempre tiene la raíz b el cero y la otra raíz es − . a Ejem. 1 x2 + x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x2 + x = x(x + 1). Entonces las raíces son los números que hacen la siguiente igualdad x(x + 1) = 0 verdadera. Se deduce que las raíces son x1 = 0 , x2 = −1. a) Las raíces de la ecuación son: x1 = 0 x2 = −1 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 12 = 1 Ejem. 2 x2 + 2x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: x2 + 2x = x(x + 2). Se deduce que las raíces son x1 = 0 , x2 = −2. a) Las raíces de la ecuación son: x1 = 0 x2 = −2
  • 14. 4.1. Resúmen de la ecuación ax2 + bx 13 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 22 = 4 Ejem. 3 3x2 + 2x, esta ecuación se puede factorizar como sigue: 3x2 + 2x = x(3x + 2). Se 2 deduce que las raíces son x1 = 0 , x2 = − . 3 a) Las raíces de la ecuación son: x1 = 0 2 x2 = − 3 b) El discriminate de la ecuación es: ∆ = 22 = 4 4.1. Resúmen de la ecuación ax2 + bx Para el caso especial de las parábolas de la forma ax2 + bx, siempre tiene la raíz b cero, y la otra raíz es − que se deriva de la factorización ax2 + bx = x(ax + b) y el a discriminante es b2 . Ecuación Raíz 1 Raíz 2 Discriminante x2 + x 0 −1 1 x2 + 2x 0 −2 4 2 3x2 + 2x 0 − 4 3 . . . . . . . . . . . . b ax2 + bx 0 − b2 a
  • 15. 4.2. Gráficas de la ecuación ax2 + bx 14 4.2. Gráficas de la ecuación ax2 + bx 6 6 6 5 5 5 4 y x2 x 4 y x2 2x 4 y 3 x2 2x 3 3 3 2 2 2 1 1 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 La gráfica de la función La gráfica de la función La gráfica de la función x2 + x x2 + 2x 3x2 + 2x
  • 16. Trinomios cuadrados perfectos 5 Una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto si es posible factorizarlo como el cuadrado de una suma, es decir si ax2 +bx+c = (mx+n)2 . Desarrollando el binomio (mx + n)2 = (mx)2 + √ √ + n2 , entonces la ecuación 2mxn cuadrática es un trinomio cuadrado perfecto si b = 2 c a. Si a = 1, entonces la expresión x2 + bx + c será un trinomio cuadrado perfecto si √ √ b = 2 c, y (x2 + bx + c) = (x ± c)2 . El signo se elige de acuerdo al signo de b. Ejemplos: Ejem. 1 Sea x2 + 4x + 4, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto si √ √ b = 2 c, como c = 4 y 4 = 2. Ya que b = 2 · 2, sí es un TCP, y x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 . Ejem. 2 Sea x2 + 6x + 9, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto si √ √ b = 2 c, como c = 9 y 9 = 3. Ya que b = 2 · 3, sí es un TCP, y x2 + 3x + 9 = (x + 3)2 . Ejem. 3 Sea x2 + 8x + 16, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto si √ √ b = 2 c, como c = 16 y 16 = 4. Ya que b = 2 · 4, sí es un TCP, y x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 . Ejem. 4 Sea x2 + 10x + 25, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto √ √ si b = 2 c, como c = 25 y 25 = 5. Ya que b = 2 · 5, sí es un TCP, y x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 . Ejem. 5 Sea x2 + 12x + 36, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto √ √ si b = 2 c, como c = 36 y 36 = 6. Ya que b = 2 · 6, sí es un TCP, y x2 + 12x + 36 = (x + 6)2 .
  • 17. 5.1. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos 16 Ejem. 6 Sea x2 − 10x + 25, en este caso a = 1, entonces será trinomio cuadrado perfecto √ √ si b = 2 c, como c = 25 y 25 = 5. Ya que b = 2 · 5, sí es un TCP, y x2 − 10x + 25 = (x − 5)2 . Como un TCP siempre se reduce a una expresión (x ± d)2 , entonces las dos raíces son siempre iguales y son x0 = ∓d. 5.1. Gráficas de trinomios cuadrados perfectos 6 6 6 5 5 5 4 y x2 4x 4 4 y x2 6x 9 4 y x2 8x 16 3 3 3 2 2 2 1 1 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 La gráfica de la función La gráfica de la función La gráfica de la función x2 + 4x + 4 x2 + 6x + 9 4x2 + 8x + 16 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 2 2 3 3 3 y x2 10 x 25 4 y x2 12 x 36 4 4 y x2 10 x 25 5 5 5 6 6 6 La gráfica de la función La gráfica de la función La gráfica de la función x2 + 10x + 25 x2 + 12x + 36 4x2 − 10x + 25
  • 18. Completando el Trinomios cuadrados perfectos 6 En algunos casos se puede encontrar las raíces de una ecuación cuadrática vía un tri- nomio cuadrado perfecto (TCP). El completar un binomio a un trinomio cuadrado per- fecto se deriva de la siguiente idea: Si (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , y por otro lado tenemos a un binomio m2 + nm, entonces decimos que acompletamos el binomio m2 + nm a un trinomio cuadrado perfecto sumando y restando un d de tal manera que tenga la forma a2 + 2ab + b2 , para esto hacemos m = a, entonces 2b = n, por lo tanto para obtener un n TCP en m2 + nm basta sumar y restar ( )2 , así 2 n n n n m2 + nm + ( )2 − ( )2 = (m + )2 − ( )2 2 2 2 2 Para encontrar las raíces de la última igualdad se procede como sigue: n 2 n (m + ) − ( )2 = 0 2 2 n 2 n (m + ) = ( )2 2 2 n n (m + ) = ± 2 2 n n m = ± − 2 2 De donde las raíces son m0 = 0 y m1 = −n, en el caso de tener una expresión del tipo m2 + nm + d, entonces se separa el binomio m2 + nm, y al final se considera a d para obtener las raíces como se hace en los ejemplos 2,3 y 4 siguientes.
  • 19. 6. Completando el Trinomios cuadrados perfectos 18 Ejemplos: Ejemplo 1 La ecuación x2 + 2x puede resolverse también acompletando el cuadrado de la siguiente manera: 6 2 5 1. Completando el cuadrado x + 2x + 1 − 1 2 4 y x2 2x 2. Factorizando (x + 1) − 1 3 3. Igualando a cero (x + 1)2 − 1 = 0 2 4. despejando a x: 1 (x + 1)2 − 1 = 0 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 (x + 1) = 1 2 x+1 = ±1 3 x = ±1 − 1 4 5 6 Por lo tanto las raíces son: x0 = 0, y x1 = −2. Ejemplo 2 La ecuación x2 + 4x + 3 se resuelve acomple- tando el cuadrado de la siguiente manera: 6 1. Completando el cuadrado (x2 + 4x + 4) − 4 + 3 5 2 4 y x2 4x 3 2. Factorizando (x + 2) − 1 3 3. Igualando a cero (x + 2)2 − 1 = 0 2 4. despejando a x: 1 2 (x + 2) − 1 = 0 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 (x + 2) = 1 2 x+2 = ±1 3 x = ±1 − 2 4 5 6 Por lo tanto las raíces son: x0 = −1, y x1 = −3.
  • 20. 6. Completando el Trinomios cuadrados perfectos 19 Ejemplo 3 La ecuación x2 +6x−7 puede resolverse acom- pletando el cuadrado de la siguiente manera: 1. Completando el cuadrado (x2 + 6x + 9) − 9 − 7 2. Factorizando (x + 3)2 − 10 6 5 3. Igualando a cero (x + 3)2 − 16 = 0 4 y x2 6x 7 4. despejando a x: 3 2 (x + 3)2 − 16 = 0 1 2 (x + 3) = 16 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 x+3 = ±4 2 3 x = ±4 − 3 4 5 6 Por lo tanto las raíces son: x0 = 1, y x1 = −7. Ejemplo 4 La ecuación x2 + 10x + 9 se resuelve acomple- tando el cuadrado de la siguiente manera: 1. Completando el cuadrado (x2 + 10x + 25) − 25 + 9 2. Factorizando (x + 5)2 − 16 6 2 5 3. Igualando a cero (x + 5) − 16 = 0 4 y x2 10 x 9 4. despejando a x: 3 2 (x + 5)2 − 16 = 0 1 (x + 5)2 = 16 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 x+5 = ±4 2 3 x = ±4 − 5 4 5 6 Por lo tanto las raíces son: x0 = −1, y x1 = −9.
  • 21. La fórmula general 7 Existe una fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c, esta fórmula puede aplicarse siempre a los casos anteriores. Las raíces de una ecuación cuadrática son √ −b ± b2 − 4ac x0,1 = 2a 2 y ∆ = b − 4ac, se llama discriminante de la ecuación. A partir del discriminate, podemos clasificar a las parábolas de la siguiente manera: Caso 1 Si ∆ > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales diferentes. La gráfica de la parábola atraviesa el eje x en dos puntos diferentes. Caso 2 Si ∆ = 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales iguales. La gráfica de la parábola toca un solo punto del eje x. Caso 1 Si ∆ < 0, entonces la ecuación tiene dos raíces complejas (imaginarias) diferentes. La gráfica de la parábola no atraviesa el eje x.
  • 22. 7. La fórmula general 21 Ejemplos: 6 Ejemplo 1 La ecuación x2 + x − 2 puede resolverse por la 5 fórmula general de la siguiente manera: 4 y x2 x 2 2 1. Calculado el discriminate ∆ = b − 4ac = 1 − 2 3 4(1)(−2) = 1 + 8 = 9 2 1 2. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 √ 1 −b + 9 −1 + 3 2 3. x0 = = =1 2a 2 3 √ −b − 9 −1 − 3 4 4. x1 = = = −2 2a 2 5 6 5. Las raíces son: x0 = 1, y x1 = −2. 9 Ejemplo 2 La ecuación x2 − 2x + 5 puede resolverse por 8 la fórmula general de la siguiente manera: 7 1. Calculado el discriminate ∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 6 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 5 4 y x2 2x 5 2. Por lo tanto la ecuación no tiene soluciones reales. 3 3. La gráfica de la ecuación no pasa por el eje x. 2 1 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 Ejemplo 3 La ecuación x2 + 6x + 9 puede resolverse por 9 8 la fórmula general de la siguiente manera: 7 1. Calculado el discriminate ∆ = b2 − 4ac = 62 − 6 4(1)(9) = 0 5 2. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones reales 4 y x2 6x 9 iguales. 3 −b −6 3. x0 = = = −3 2 2a 2 1 −b −6 4. x1 = = = −3 2a 2 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 5. Las raíces son: x0 = −3, y x1 = −3. 2 3 4