Este documento presenta información sobre funciones y sus gráficas. Introduce conceptos como el plano cartesiano, líneas rectas, pendientes, formas de ecuaciones de líneas rectas, funciones, dominios y rangos de funciones, y gráficas de funciones como funciones lineales, racionales y definidas por partes. Incluye ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos.

1. FUNCIONES Y SUS
GRÁFICAS

2. PLANO CARTESIANO
2
Dos rectas numéricas perpendiculares a las cuales se les llamaran
ejes, al eje horizontal eje x y al vertical eje y, un punto en el
plano se representa como P(x,y).

3. LINEA RECTA
3
Al calcular el impuesto al ingreso o impuesto sobre la renta, a las empresas
comerciales se les permite por ley depreciar ciertos activos como edificios,
máquinas, muebles, automóviles, etc., a lo largo de un lapso de tiempo. La
depreciación lineal o método de línea recta, a menudo se utiliza para este
propósito. La gráfica de la línea recta mostrada en la figura 5 describe el valor
en libros V de un servidor web que tiene un valor inicial de $10,000 y que está
siendo depreciado linealmente a lo largo de 5 años con un valor de
recuperación de $3,000. Observe que sólo la parte continua de la línea recta
es de interés en este caso.

4. Pendiente de una línea recta
4

5. Pendiente de una línea recta
5

6. Forma Punto Pendiente
6
La ecuación (2) se conoce como forma punto-pendiente de una ecuación de una
recta porque utiliza un punto dado (x1, y1) sobre una recta y la pendiente m de
ésta.

7. Forma pendiente-ordenada al origen
7
Una línea recta L que no es horizontal ni vertical corta el eje x y el eje y en, por
ejemplo, los puntos (a, 0) y (0, b), respectivamente. Los números a y b se llaman
intersección con x y ordenada al origen o intersección con y, respectivamente,
de L. Ahora sea L una recta con pendiente m e intersección con y b. Utilizando la
ecuación (2), la forma punto-pendiente de una recta, con el punto dado por (0,
b) y la pendiente m se obtiene

8. Ecuación Lineal
8

9. FUNCIONES
9
A un fabricante le gustaría conocer la relación que la utilidad de la empresa
mantiene con su nivel de producción; a un biólogo le gustaría conocer cómo
cambia el tamaño de la población de un cierto cultivo en el tiempo; a un
psicólogo le gustaría conocer la relación entre el tiempo de aprendizaje de
un individuo y la longitud de una lista de vocabulario, y a un químico le
gustaría conocer cómo se relaciona la velocidad inicial de una reacción
química con la cantidad de sustrato empleada.
En cada caso nos interesa la misma pregunta. ¿Cómo depende una cantidad
de otra? La relación entre dos cantidades se describe convenientemente en
matemáticas utilizando el concepto de función.

10. FUNCIÓN
10
El conjunto A se llama dominio de la función. Se acostumbra denotar una
función con una letra del alfabeto, tal como la letra f. Si x es un elemento
en el dominio de una función f, entonces el elemento y en B con el que f se
asocia se escribe f(x) (leído “f de x”) y se llama valor de f en x. El conjunto
que comprende todos los valores asumidos por y = f(x) cuando x adopta
todos los valores posibles en su dominio se llama rango de la
función f.

11. FUNCIÓN
11
Pensemos en una función f como una máquina. El dominio es el conjunto de
insumos (materia prima) de la máquina, la regla describe cómo se procesará
el insumo, y el valor o los valores de la función son los resultados de la
máquina (rango).

12. FUNCIÓN
EJEMPLO
12

13. DETERMINACIÓN DEL DOMINIO DE UNA
FUNCIÓN
13
Suponga que se nos da la función y = f(x).* Entonces, la variable x se llama
variable independiente. La variable y, cuyo valor depende de x, se llama
variable dependiente. Para determinar el dominio de una función,
tenemos que determinar qué restricciones, si las hay, se tienen que
imponer en la variable independiente x. En muchas aplicaciones prácticas,
la naturaleza del problema dicta el dominio de una función,
EJEMPLO DE APLICACIÓN 3 Empaque Se tiene que hacer una caja
abierta con un trozo de cartón rectangular de 16 pulgadas de largo por 10 de
ancho, recortando cuadrados idénticos (de x por x pulgadas) de cada esquina
y plegando las pestañas resultantes (figura 25). Encuentre una expresión que dé el
volumen V de la caja en función de x. ¿Cuál es el dominio de la función?

14. EJEMPLO DE APLICACIÓN
14
Empaque Se tiene que hacer una caja abierta con un trozo de cartón
rectangular de 16 pulgadas de largo por 10 de ancho, recortando cuadrados
idénticos (de x por x pulgadas) de cada esquina y plegando las pestañas
resultantes (figura 25). Encuentre una expresión que dé el volumen V de la
caja en función de x. ¿Cuál es el dominio de la función?

15. SOLUCIÓN
15

16. EJERCICIOS
16
Determine el dominio de cada función.

17. GRÁFICAS DE FUNCIONES
17

18. GRÁFICAS DE FUNCIONES
18
La figura 26 muestra la gráfica
de una función f. Observe que
la coordenada y del punto (x,
y) en la gráfica de f da la
altura de dicho punto (la
distancia sobre el eje x, si f(x)
es positiva. Si f(x) es negativa,
entonces -f(x) da la
profundidad del punto (x, y)
(la distancia por debajo del
eje x). También, observe que
el dominio de f es un conjunto
de números reales situados
sobre el eje x, mientras que el
rango de f queda sobre el eje
y.

19. GRÁFICAS DE FUNCIONES
EJERCICIO
19
La gráfica de una función f se muestra
en la figura 27.
a. ¿Cuál es el valor de f(3)? ¿El valor
de f(5)?
b. ¿Cuál es la altura o profundidad del
punto (3, f(3)) con respecto al eje x?
¿Del punto (5, f(5)) con respecto al
eje x?
c. ¿Cuál es el dominio de f ? ¿El rango
de f ?

20. FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES
20
Una función definida por más de una regla se llama función definida por partes.
Trace la gráfica de la
función f definida por

21. GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES
PASOS
21
1. Encuentre las asíntotas de la función racional, si las hay.
2. Dibuje las asíntotas como rectas punteadas.
3. Encuentre la intercepción en x y la intercepción en y de la función racional, si
las hay.
4. Encuentre los valores de y para varios valores diferentes de x .
5. Grafique los puntos y dibuje una curva lisa que conecte los puntos. Asegúrese
que la gráfica no cruce las asíntotas verticales.

22. EJEMPLO
22
Grafique la función racional y =
4𝑥+1
2𝑥+1
La asíntota vertical de una función racional es el valor de x donde el
denominador de la función es cero. Iguale el denominador a cero y
encuentre el valor de x .
2𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −
1
2

23. ASINTOTA VERTICAL
23

24. GRÁFICA
24
Esta función tiene la intercepción en x en (-1/4, 0) y la intercepción
en y en (0, 1). Encuentre más puntos en la función y grafique la
función.

25. MUCHAS GRACIAS