Funciones

Función Lineal
Función Cuadrática
Función Trigonométrica
Autoevaluación
Translación y cambio de Pendiente
Actividades
TALLER – FUNCIONES
Translación Horizontal, Vertica, Vertice y Cortes en el Plano

Al finalizar esta tutoría conocerás y comprenderás
el concepto de función matemática junto a sus
diferentes clasificaciones
“No solo se pretende
profundizar en contenidos
de matemáticas, sino
llegar a comprenderlas
como una gimnasia del
espíritu y una preparación
para la filosofía.…”
Determinar las características de una
función y expresarla como medio de análisis
matemático en la cotidianidad.
Aplicar el concepto de función lineal,
cuadrática y trigonométrica.

Podrías unir todos los puntos
con 4 líneas rectas
“sin levantar la mano”:

Las funciones son de mucho valor y utilidad
para resolver problemas en la cotidianidad,
problemas de finanzas, de economía, de
estadística, de ingeniería, de medicina, de
química y física, de astronomía, de geología, y
de cualquier área social donde haya que
relacionar variables.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal
en el caso de la medicina. Ciertas situaciones
requieren del uso de ecuaciones lineales para el
análisis de ciertos fenómenos.
Cuando vas al centro comercial,
constantemente relacionas un conjunto de
determinados objetos o productos
alimenticios, con el costo en pesos; Esto con
el fin de conocer lo que puedes comprar; si
lo llevamos al plano cartesiano, podemos
escribir esta correspondencia en una
ecuación de función "x" como el precio y la
cantidad de producto como "y"

Las funciones se pueden aplicar en muchas
situaciones cotidianas; por ejemplo en economía
los profesionales de esta área se basan en la
linealidad y las leyes de la oferta y la demanda,
que son dos de las relaciones fundamentales en
cualquier análisis económico.
Si un consumidor desea adquirir cualquier
producto, este depende del precio en que el
artículo esté disponible.
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de
mucho interés NO sólo en matemática sino
también en física : La trayectoria de una pelota
lanzada al aire, la trayectoria que describe un río
al caer desde lo alto de una montaña, la forma
que toma una cuerda floja sobre la cual se
desplaza un equilibrista, el recorrido desde el
origen, con respecto al tiempo transcurrido,
cuando una partícula es lanzada con una
velocidad inicial.

En ingeniería civil las funciones pueden ser
aplicadas para resolver problemas tomando
como punto de referencia una ecuación de
segundo grado, en la construcción de
puentes colgantes que se encuentran
suspendidos por medio de cables
amarrados a dos torres. Los biólogos
utilizan las funciones cuadráticas para
estudiar los efectos nutricionales de los
organismos.
En geología como ciencia se
requiere del planteamiento
de funciones logarítmicas
para el cálculo de la
intensidad de un sismo.
¿Sabias que los astrónomos para determinar una
magnitud estelar de una estrella o planeta
utilizan funciones logarítmicas? ciertos cálculos
de carácter logarítmico les permite determinar
la brillantez y la magnitud.

Para iniciar nuestro estudio de funciones, imagina
una máquina que tiene una entrada y una salida.
Por ejemplo en una maquina de energia eólica su
entrada es el aire y su salida es la energia electrica.
En un motor la entrada es el combustible y
la salida estará directamente relacionada
con el movimiento:
Máquina Energía Eólica
Entrada:
El aire
Salida:
Electricidad
Entrada:
Combustible
Salida:
Movimiento
Una función matemática es muy similar. Ya que una función es una expresión matemática que
relaciona una variable independiente (Entrada) con una variable dependiente (Salida). Las
funciones pueden ser analizadas y estudiadas de manera grafica y numérica.

Analicemos la siguiente situacion cotidiana y
generemos una función matemática. Un
deportista analiza su peso y el índice de
masa corporal (IMC) durante 6 meses.
La siguiente tabla relaciona el peso del
deportista en cada mes:
Mes I II III IV V VI
Peso (Kg.) 74 72 69 71 68 70
Tomemos los valores registrados y
generemos una gráfica de Peso con
respecto al tiempo (mensual):
66
70
68
72
74
76
1 2 3 4 5 6
Peso
Meses
Ahora como el índice de masa corporal esta en
función del peso, el deportista puede obtener
su IMC aplicando la siguiente ecuación:
Peso (kg.)
f (IMC) =
Estatura (m)2
Observa que el IMC depende del peso y de la estatura; por lo tanto se
dice que el IMC está en función del peso y de la estatura.
Estatura: 1,65 m

Vamos a obtener el índice de masa corporal de
cada mes a partir del registro de datos de peso:
Peso (Kg.) 74 72 69 71 68 70
Los valores obtenidos del índice de
masa corporal mensualmente son:
23
25
24
26
27
28
1 2 3 4 5 6
IMC
Meses
Peso (kg.)
IMC I =
Estatura (m)2
74
1.65 2
= = 27.1
Peso (kg.)
IMC II =
Estatura (m)2
72
1.65 2
= = 26.4
Peso (kg.)
IMC III =
Estatura (m)2
69
1.65 2
= = 25.3
Peso (kg.)
IMC IV =
Estatura (m)2
71
1.65 2
= = 26
Peso (kg.)
IMC V =
Estatura (m)2
68
1.65 2
= = 24.9
Peso (kg.)
IMC VI =
Estatura (m)2
70
1.65 2
= = 25.7
IMC (Kg/m2) 27.1 26.4 25.3 26 24.9 25.7
Has empezado a construir el concepto de
función. Ya que a partir de una expresión
matemática que relaciona una variable
independiente (Peso) con una variable
dependiente (IMC) generamos las diferentes
graficas de las funciones y desarrollamos su
análisis matemático.

Entonces en esta tutoría trabajaremos con funciónes (f) como una regla que asocia un
objeto x con un valor único y. Entonces a nivel matemático para el ejercicio anterior el índice
de masa corporal para la deportista se representaria como:
Peso (kg.)
IMC I =
Estatura (m)2
X
Y =
Estatura (m)2
donde x es el peso y y es el índice de masa
corporal. Es importante indicar que y se
puede escribir como f(x).
X
f(x) =
Estatura (m)2

En esta tutoría estudiaremos diferentes clases de funciones dentro de las que encontramos:
La función lineal es una
expresión matemática cuya
grafica genera una línea recta
que pasa por alguno de sus ejes
de coordenadas. La función
lineal es de tipo:
La función cuadrática es una
expresión matemática que
relaciona dos varibles, cuya
grafica genera una parabola y
es de tipo
Una función trigonométrica es
una relación angular que buscan
apoyar la geometría de los
triángulos y son de gran
importancia en astronomía,
náutica, telecomunicaciones y en
la representación de fenómenos
periódicos.
y  senxy  mx b
y  x2
 k

La función lineal es del tipo:
y = x
Su gráfica es una línea recta que pasa
por alguno de sus ejes de coordenadas.
Observa que para la función y=x, el
valor que toma x es el mismo de y.
Ubiquemos estos puntos en el plano y
analicemos la función lineal.
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-1
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Y
X
Si a la funcion y = x sumamos o restamos un valor
b de tal forma que obtengamos y = x ± b (b
cualquier valor) se traslada cortando en b.
x -2 -1 0 1 2
y -2 -1 0 1 2
y = xy = x + 3y=x+3. si a x sumamos
3, la grafica de la
función lineal se
traslada hacia la
izquierda 3 unidades y
corta en 3 en el eje y.
y = x - 4. si a x restamos
4, la grafica de la función
lineal se traslada hacia la
derecha 4 unidades y
corta en -4 en el eje y.
y = x - 4

Ya hemos analizado la función
lineal cuando sumamos o
restamos un valor b. Ahora
analicemos que pasa cuando
multiplicamos la variable x por
un valor m, para obtener :
Tal como lo estudiamos en la
tutoría anterior “geometría
analítica” m representa la
pendiente de la recta.
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-1
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Y
X
Para la función y = ¼x, la
relación la pendiente es 4
en x y 1 en y .
y = xy = 2x
Para la función y = x, la
relación la pendiente
es 1 en x y 1 en y .
Para la función y = 2x,
la relación la pendiente
es 1 en x y 2 en y .
y = ¼x
1
1
1
2
4
1
y = mx ± b
f(x) = mx ± b

Para desarrollar la gráfica de una función
lineal, debes igualar a cero la x para
obtener el valor de y; finalmente
igualamos y a cero y obtenemos el valor
de x; de esta manera se hallan dos
puntos, los cuales serán suficientes para
graficar una función lineal. Por ejemplo.
Gráficas la siguiente función lineal:
Convertimos y = 0, y
despejamos x:
y = 2x - 4
y = 2x - 4
0 = 2x - 4
= x+ 4 2
2 = x
Convertimos x = 0, y
despejamos y:
y = 2x - 4
y = 2(0) - 4
y = -4
Los pares ordenados obtenidos son:
(0,-4) y (2,0)
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-1
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Y
X
y = 2x - 4. Esta función
tiene un corte en -4.
y = 2x - 4
Para la función y = 2x - 4, la
relación la pendiente es 2 en x y
4 en y. Es decir:
y = 2x – 4 es igual a y = 4/2x – 4

Grafica la siguiente función lineal obteniendo los cortes en x y y, al igual
que la pendiente. Tienes 1 minuto para desarrollarlo:
y = -3x + 6
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-1
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
X

Convertimos y = 0, y
despejamos x:
y = -3x + 6
y = -3x + 6
0 = -3x + 6
= x-6 -3
2 = x
Convertimos x = 0, y
despejamos y:
y = -3x + 6
y = -3(0) + 6
y = +6
Los pares ordenados obtenidos son:
(0,+6) y (2,0)
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-1
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
X
y = -3x +6. Esta función
tiene un corte en +6.
y = -3x + 6
Para la función y = -3x
+6, la relación la
pendiente es 2 en x y 6
en y.

Una función cuadrática puede
escribirse de la forma y = ax2 + b
x + c; las letras a, b y c pueden
ser números cualesquiera, con la
condición de que a sea distinto
de 0 . Algunos ejemplos de esta
función son:
Vamos a estudiar y = x2 que es la función
base de nuestro análisis.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y +9 +4 +1 0 +1 +4 +9
f(x)= x2
f(x) = 2x2
f(x) = 5x2 + 3 x
f(x) = x2 + 2 x + 6;
Para generar la función y = x2 vamos
a dar valores a x desde -3 hasta +3,
de la siguiente forma:
f(x)= x2
f(-3) = (-3)2 = +9
f(-2) = (-2)2 = +4
f(-1) = (-1)2 = +1
f(+3) = (+3)2 = +9
f(+2) = (+2)2 = +4
f(+1) = (+1)2 = +1
f(0)= 02 = 0

Ubiquemos los puntos en el plano:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y +16 +9 +4 +1 0 +1 +4 +9 +16
8
12
10
14
16
20
-6
-2
-4
6
2
4
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
X
Vértice: Donde la función
cambia de decreciente a
creciente.
Función
Decreciente
Función
Creciente
La función cuadrática
genera una grafica
simétrica con el eje y.

Analisemos dos funciones cuadráticas con
respecto a la original. Comparemos las funciones
g(x) y f(x) como se muestra a continuación:
g(x) = x2 – 4 f(x) = x2
x y
-2
-1
0
1
2
0
-3
-4
-3
0
x y
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
g(x) = x2
– 4
f(x) = x2
- 2
(0.0) 1
(0.-4)
x
y
Cuando sumamos o
restamos una cantidad a la
función y=x2 ± a, esta se
desplaza en el eje “y”
hacia arriba o hacia abajo.
Vértice
Vértice
Translación Vertical

Analisemos dos funciones cuadráticas con
respecto a la original cuando se desplazan en el
eje x. Comparemos las funciones g(x) y f(x) como
se muestra a continuación:
Cuando sumamos o
restamos una cantidad a la
función, y=(x ± a)2, esta se
desplaza en el eje “x” hacia
la derecha o hacia la
izquierda.
g(x) = (x – 4)2 f(x) = x2
x y
2
3
4
5
6
0
-3
-4
-3
0
x y
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4 g(x) = (x2
– 4)2
f(x) = x2
4
(0.0) (4,0)
x
y
x = 4
Translación Horizontal

Para obtener el vértice de una función
cuadrática debes aplicar:
Vertice =
Para obtener los putos de corte de una
función cuadrática con el eje y debemos
dar a x el valor de 0. Para obtener las
intersecciones con el eje x de la función
cuadrática se debe aplicar:
Obtengamos el vertices, y las intersecciones
de los ejes de la siguiente función:
x² - 4x + 3
ax² - bx + c





 
a
acb
a
b
4
4
,
2
2
a
acbb
2
42

Solución:
Teniendo en cuenta que a=1, b=- 4 y c= 3
encontremos el vértice:
Vertice = 




 
)1(4
)3)(1(4)4(
,
)1(2
)4( 2
)1,2(
4
4
,
2
4
4
1216
,
2
)4





 





 
Ahora vamos a obtener las
intersecciones en el eje x:
)1(2
)3)(1(4)4()4( 2

2
24
2
44
2
12164 




Los cortes en x se encuentra ubicados en:
3
2
6
2
24
1 

x 1
2
2
2
24
2 

x

Ubiquemos los puntos obtenidos
en el vértice y en las intersecciones
con el eje x
4
6
5
7
8
9
-3
-1
-2
3
1
2
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Vértice: Donde la función
cambia de decreciente a
creciente.
Vertice =
Corte en el eje x:
x=3
x² - 4x + 3
3
2
6
2
24
1 

x
1
2
2
2
24
2 

x

Grafica la siguiente función, encontrando vértice y los cortes
en el eje x y y. Tienes 1 minuto para desarrollarlo
x² - 2x - 3

8
12
10
14
16
18
-6
-2
-4
6
2
4
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Vertice
Corte en el eje x:
x= -3
x² - 2x + 3
x² - 2x - 3
Teniendo en cuenta que a=1, b=- 2 y c= 3
encontremos el vértice:





 
)1(4
)3)(1(4)2(
,
)1(2
)2( 2
)4,1(
4
16
,
2
2
4
124
,
2
)2





 





 
Ahora vamos a obtener las
intersecciones en el eje x:
)1(2
)3)(1(4)2()2( 2

2
42
2
162
2
1242 




Los cortes en x se encuentra ubicados en:
3
2
6
2
42
1 

x 1
2
2
2
42
2 



x

Alguna ves has escuchado la
función seno, coseno, tangente,
arcotangente, seno hiperbolico etc
… pero … ¿sabes para que sirven, y
que podemos hacer con ellas?.
Para comprender a profundidad las funciones
trigonométricas debemos recordar que un ángulo es la
parte del plano comprendida entre dos rectas.
Las funciones básicas son
seno y coseno. De alli se
desprenden todas las
funciones trignometricas.
ánguloángulo
ángulo
Ahora ubiquemos en el plano
cartesiano un círculo que tiene el
radio igual a 1. A este círculo se le
llama círculo unitario. Se muestra
a continuación:
Ahora imagina que
trazamos una línea
desde el centro
hasta un extremo
La distancia en el
eje x se le llama
coseno.
La distancia en el
eje y se le llama
seno.

Ahora puedes observar a
continuación la distancia que
hay desde un punto del círculo
hasta un eje en el plano. Es decir
puedes observar los valores de
seno y de coseno para cada
posición del punto en la
circunferencia.
A partir de este concepto
basaremos todo el estudio de la
trigonometria, dado que el seno
y coseno nos permiten conocer
la distancia, y características de
los triángulos formados en el eje
y y el eje x.

El análisis de las funciones trigonométricas te dara bases sólidas para el estudio
de la trigonometría. El estudio de las funciones trigonométricas comienza
cuando se quiere plasmar en el plano cartesiano la trayectoria de un punto que
recorre un círculo, tal como se muestra a continuación:
De alli se desprenden las diferentes funciones trigonométricas, las cuales partir de
su aplicación nos pueden ayudar en resolución de triángulos de manera rigurosa.
Esto lo aplicaremos en la siguiente tutoría .
Funcion Seno y Coseno

Angulo 70ª
Halla la distancia de a y b para un círculo unitario. Su radio es 1 m.
Tienes 1 minuto para desarrollarlo
a
b
Angulo 135ªa
b
1m
1m

Angulo 70ª
Seno de 70ª = 0,93
Coseno de 70ª = 0,34
Ahora con la ayuda de la calculadora calculamos el seno y
coseno de los ángulos dados. Y obtenemos;
a
b
Angulo 135ª
Seno de 135ª = 0,707 m
Coseno de 135ª = 0,707 m
a
b
1m
1m

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