Primera lección de la materia Funciones y relaciones.

1. Funciones y Relaciones
FUNCIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA

2. ¿Qué es una relación?
Definición 1. Una relación, es una forma especifica de correspondencia que hay
entre los elementos de dos conjuntos
Conjuntos de figuras y
números
Conjuntos animales y
características
Conjuntos de números
reales

3. ¿Qué es una relación?
Definición 2. El conjunto de números reales, el cual es representado por ℝ, está conformado por
los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
𝑓(𝑥)
Regla de
correspondencia
𝑥 𝑦
Sean 𝒙 ∈ ℝ y 𝒚 ∈ ℝ, una relación entre conjuntos puede verse como “pequeña máquina”.
Variable
independiente
Variable
dependiente

4. ¿Qué es una relación?
Diagramas de Venn
Sean 𝑥𝜖 2,3,4,5 y𝑦 𝜖 4, 6, 8, 10 , entonces una relación entre los
conjuntos 𝑥 y 𝑦 puede ser representada mediante:

5. ¿Qué es una relación?
Sean 2,3,4,5 𝜖 𝑥 y 4, 6, 8, 10 𝜖 𝑦, entonces una relación entre los
conjuntos 𝑥 y 𝑦 puede ser representada mediante:
Parejas de números
Tabla de valores
Ecuación

6. ¿Qué es una relación?
Plano cartesiano
Sean 2,3,4,5 𝜖 𝑥 y 4, 6, 8, 10 𝜖 𝑦, entonces una relación entre los
conjuntos 𝑥 y 𝑦 puede ser representada mediante:

7. ¿Qué es una Función?
Definición 2. Una función, es una regla especifica de correspondencia que hay
entre los elementos de dos conjuntos , en la cual, cada elemento del primer
conjunto se asigna un único elemento del segundo conjunto.
Definición 3. Una función, es una regla especifica de correspondencia que
asocia los elementos de dos conjuntos
Función No es una Función

8. ¿Qué es una Función?
Función No es una Función
1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,5 , 7,5 , 8,5 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,3 , 5,4 , 5,5 , 6,6 , 6,8 , 7,7
Los elementos del primer conjunto no se repiten Los elementos del primer conjunto si se repiten

9. Prueba de la línea vertical.
No es una Función
1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,5 , 7,5 , 8,5 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,3 , 5,4 , 5,5 , 6,6 , 6,8 , 7,7
La línea trazadas no intersectan
otros puntos de la gráfica
𝑥
𝑦 𝑦
𝑥
La línea trazadas si intersectan
otros puntos de la gráfica
Prueba de la línea vertical.

10. R: Relación
¿Relación o función?

11. R: Relación
¿Relación o función?

12. Realizar actividad de aprendizaje 1 de la página 17 y actividad de aprendizaje 4 de la página 27
Actividad 1
Dimensión 1
Realizar dimensión 1 de la guía de aprendizaje pagina 34 – 36.

13. No
Función
Función
No
Función
Función
Función
No función
Función
Función
No función
Función

14. Función Función Función

15. Graficas de ecuaciones
Definición 4. La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos que son soluciones de
la ecuación.

16. 𝑦 = 3𝑥 − 6
𝑥 𝑦
-1
0
1
2
3
4
-9
-6
-3
0
3
6
𝑦 = 3 −1 − 6 = −9
𝑦 = 3 0 − 6 = −6
𝑦 = 3 1 − 6 = −3
𝑦 = 3 2 − 6 = 0
𝑦 = 3 3 − 6 = 3
𝑦 = 3 4 − 6 = 6
Tabla de valores
Ejemplo: Realiza la gráfica de la relación
Graficas de ecuaciones

17. Graficas de ecuaciones
𝑥 𝑦
-1
0
1
2
3
4
-9
-6
-3
0
3
6
Tabla de valores

18. Graficas de ecuaciones
𝑥 𝑦
-1
0
1
2
3
4
-9
-6
-3
0
3
6
Tabla de valores

19. Actividad 2
Realizar actividad de aprendizaje 3 de la página 25 y 26.

20. Actividad 2
1. Para las siguientes ecuaciones completa la tabla. Usa los puntos de solución resultantes para graficar.
−5
−4
−2
1
2
(−3, −5)
(−2, −4)
(0, −2)
(3,1)
(4,2)
−𝟓
−𝟒

21. x y (x,y)
-3
-2
0
3
6
b) 𝒚 =
𝟐
𝟑
𝒙 + 𝟏
𝒚
𝒙

22. x y (x,y)
-3 -1 (-3,-1)
-2 -0.333 (-2,-0.33)
0 1 (0,1)
3 3 (3,3)
6 5 (6,5)
b) 𝒚 =
𝟐
𝟑
𝒙 + 𝟏
𝒚
𝒙

23. x y (x,y)
-3
-1
0
2
3
𝒚
𝒙
c) 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑

24. x y (x,y)
-3 12 (-3,12)
-1 4 (-1,4)
0 3 (0,3)
2 7 (2,7)
3 12 (3,12)
c) 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑
𝒚
𝒙

25. x y (x, y)
0
1
2
5
8
10
d) 𝒚 = 𝟏 + 𝒙
𝒚
𝒙

26. x y (x, y)
0 1 (0, 1)
1 2 (8, 3.83)
2 2.41 (5, 3.24)
5 3.24 (2, 2.41)
8 3.83 (1, 2)
10 4.16 (10, 4.16)
d) 𝒚 = 𝟏 + 𝒙
𝒚
𝒙

27. Dominio y rango de una función.
Definición 5. El dominio de una función es
el conjunto de valores de la variable
independiente si se verifica que el valor de
la variable dependiente es un número real.

28. Dominio y rango de una función.
Definición 6. El rango de una función es el
conjunto de valores de la variable
dependiente correspondiente a todos los
valores de la variable independiente.

29. Dominio y rango de una función.
Definición 7. Un intervalo es un conjunto
de todos los números comprendidos en
una porción continua del eje real o recta
numérica, delimitada por todos sus
elementos.

30. Dominio y rango de una función.
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 < 𝑏, entonces existen diferentes tipos de intervalos en una recta
numérica:
Intervalo abierto
Tipo Notación Desigualdad Gráfica
(𝒂, 𝒃) 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 (
𝒂
(
𝒃
Los valores de 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ NO están
incluidos dentro de los valores de 𝑥 ∈ ℝ.
𝒙
𝟎

31. Dominio y rango de una función.
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 < 𝑏, entonces existen diferentes tipos de intervalos en una recta
numérica:
Intervalo cerrado
Tipo Notación Desigualdad Gráfica
[𝒂, 𝒃] 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 [
𝒂
[
𝒃
𝒙
Los valores de 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ SI están incluidos
dentro de los valores de 𝑥 ∈ ℝ.
𝟎

32. Dominio y rango de una función.
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 < 𝑏, entonces existen diferentes tipos de intervalos en una recta
numérica:
Intervalo semiabierto
Tipo Notación Desigualdad Gráfica
(𝒂, 𝒃] 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃 (
𝒂
[
𝒃
𝒙
El valor de 𝒂 ∈ ℝ NO está incluido, pero el valor
de 𝒃 ∈ ℝ SI está incluido dentro de los valores de
𝒙 ∈ ℝ.
𝟎

33. Dominio y rango de una función.
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 < 𝑏, entonces existen diferentes tipos de intervalos en una recta
numérica:
Intervalo semiabierto
Tipo Notación Desigualdad Gráfica
[𝒂, 𝒃) 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃 [
𝒂
(
𝒃
𝒙
El valor de 𝒃 ∈ ℝ NO está incluido, pero el valor
de 𝒂 ∈ ℝ SI está incluido dentro de los valores de
𝒙 ∈ ℝ.
𝟎

34. Dominio y rango de una función.
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 < 𝑏, entonces existen diferentes tipos de intervalos en una recta
numérica:
Intervalo infinito
abierto
Tipo Notación Desigualdad Gráfica
(𝒂, ∞) 𝒂 < 𝒙 (
𝒂 ∞
𝒙
El valor de 𝒂 ∈ ℝ e ∞ ∈ ℝ NO están incluidos
dentro de los valores de 𝒙 ∈ ℝ.
𝟎

35. Dominio y rango de una función.
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 < 𝑏, entonces existen diferentes tipos de intervalos en una recta
numérica:
Intervalo infinito
abierto
Tipo Notación Desigualdad Gráfica
(−∞, 𝒃) 𝒙 < 𝒃
𝒃
(
−∞
𝒙
El valor de 𝒃 ∈ ℝ e ∞ ∈ ℝ NO están incluidos
dentro de los valores de 𝒙 ∈ ℝ.
𝟎

36. Dominio y rango de una función.
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 < 𝑏, entonces existen diferentes tipos de intervalos en una recta
numérica:
Intervalo infinito
semiabierto
Tipo Notación Desigualdad Gráfica
[𝒂, ∞) 𝒂 ≤ 𝒙 [
𝒂 ∞
𝒙
El valor de ∞ ∈ ℝ NO está incluido dentro de los
valores de 𝒙 ∈ ℝ, pero el valor de 𝒂 ∈ ℝ SI.
𝟎

37. Dominio y rango de una función.
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 < 𝑏, entonces existen diferentes tipos de intervalos en una recta
numérica:
Intervalo infinito
semiabierto
Tipo Notación Desigualdad Gráfica
(∞, 𝒃] 𝒙 ≤ 𝒃
𝒃
[
−∞
𝒙
𝟎
El valor de ∞ ∈ ℝ NO está incluido dentro de los
valores de 𝒙 ∈ ℝ, pero el valor de 𝒃 ∈ ℝ SI.

38. Realizar actividad de aprendizaje 2 de la página 22.
Actividad 3

39. Actividad 3
𝒙 ≤ −𝟐
𝟏 ≤ 𝒙
−𝟏 < 𝒙 ≤ 𝟐
−𝟑 < 𝒙 < 𝟏
(−∞, −𝟐]
[𝟏, ∞)
(−𝟏, 𝟐]
(−𝟑, 𝟏)
Desigualdad Intervalo

40. −𝟏𝟐 < 𝒙 < 𝟎
𝟒 ≤ 𝒙
𝟎
(
−𝟏𝟐
)
𝒙
𝟒 < 𝒙 ≤ 𝟗
𝟎
]
𝟒 𝟗
(
𝟗 < 𝒙 < 𝟐𝟏
𝟎
)
𝟐𝟏
𝟗
(
𝒙 < −𝟓
𝟎
)
−𝟓 𝟗
−∞ 𝟎
[
𝟒 ∞
−𝟏𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔
𝟎
]
−𝟏𝟎 𝟔
[

41. ¿Cómo determinar el dominio de una función?
Dominio y rango de una función.
Encontrando los valores de la variable independiente 𝑥
para los cuales la variable dependiente 𝑦 está definida
dentro del conjunto de los números reales.
¿Cómo determinar el rango de una función?
Se determinan evaluando la función para diferentes
valores de la variable independiente. Son los valores
resultantes.

42. Dominio y rango de una función.
Notación:
Dominio es denotado por 𝐷 = 𝑥/"𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑"
∈ : Elemento de, por ejemplo 𝑥 ∈ ℝ
donde:
≠ : diferente de, por ejemplo 𝑥 ≠ 0
∪ : unión, para unir dos intervalos, por ejemplo −∞, 0 ∪ 0, ∞
Rango es denotado por 𝑅 = 𝑦/"𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑"

43. Dominio y rango de una función.
Ejemplo 1: Determine el dominio y rango de la siguiente función
x y
Paso 1. Identificar los valores de 𝑥
−𝟔
−𝟒
−𝟐
𝟎
𝟐
𝟒

44. Dominio y rango de una función.
Ejemplo 1: Determine el dominio y rango de la siguiente función
Paso 2. Determinar el intervalo y dominio
x y
−𝟔
−𝟒
−𝟐
𝟎
𝟐
𝟒
𝑥 ≤ 4
−6 <
intervalo
(−6, 4]
Dominio
𝐷 = 𝑥/−6 < 𝑥 ≤ 4
𝑜
𝑜
𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ (−6, 4]

45. Dominio y rango de una función.
Ejemplo 1: Determine el dominio y rango de la siguiente función
x y
Paso 3. Identificar los valores de y
−𝟔
−𝟒
−𝟐
𝟎
𝟐
𝟒
−𝟏𝟓
−𝟖
𝟎
𝟔
𝟖
𝟐𝟎

46. Dominio y rango de una función.
Ejemplo 1: Determine el dominio y rango de la siguiente función
Paso 4. Determinar el intervalo y rango
𝑦 ≤ 20
−15 <
intervalo
(−15, 20]
Rango
𝑅 = 𝑦/−15 < 𝑦 ≤ 20
𝑜
𝑜
𝑅 = 𝑦/𝑦 ∈ (−15, 20]
x y
−𝟔
−𝟒
−𝟐
𝟎
𝟐
𝟒
−𝟏𝟓
−𝟖
𝟎
𝟔
𝟖
𝟐𝟎

47. Dominio y rango de una función.
Ejemplo 2: Determine el dominio y rango de la ecuación 𝒚 =
𝟏
𝒙
Paso 1: Evaluar
valores de 𝑥 en el
intervalo (−∞, 0) Paso 2: Evaluar
valores de 𝑥 en 0
x y
0 ND
𝑦 no existe
𝑥 ≠ 0
-0.99 -1.01
-0.1 -10
-0.01 -100
-0.001 -1000
x y
-10 -0.1
-5 -0.2
-4 -0.25
-3 -0.3
-2 -0.5
-1 -1

48. Dominio y rango de una función.
Paso 3: Evaluar
valores de 𝑥 en el
intervalo (0, ∞)
x y
1 1.00
2 0.50
3 0.33
4 0.25
5 0.20
10 0.10
Paso 4: Definir dominio
𝐷 = 𝑥/𝑥 ≠ 0
𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
𝑜
x y
0.001
0.01
0.1
0.99
1
2
3 0.33
4 0.25
5 0.20
10 0.10
1000
100
10
1.01
1
0.5

49. Dominio y rango de una función.
Paso 5: Graficar.
x y
1 1.00
2 0.50
3 0.33
4 0.25
5 0.20
10 0.10
x y
-10 -0.1
-5 -0.2
-4 -0.25
-3 -0.3
-2 -0.5
-1 -1
𝑥 ∈ (−∞, 0) 𝑥 = 0
𝑥 ∈ (0, ∞)
x y
x y
-10 -0.1
-5 -0.2
-4 -0.25
-3 -0.3
-2 -0.5
-1 -1
x y
1 1.00
2 0.50
3 0.33
4 0.25
5 0.20
10 0.10
0.001 1000
-0.001 -1000
-1000 -0.001
1000 0.001
𝑥
𝑦
0 ND

50. Dominio y rango de una función.
𝑅 = 𝑦/𝑦 ≠ 0
𝑅 = 𝑦/𝑦 ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
Paso 6: Definir rango
𝑜
𝑥
𝑦

51. Dominio y rango de una función.
Ejemplo 3: Determine el dominio y rango de la ecuación 𝒚 = 𝟐 − 𝒙
Paso 1: Evaluar
valores de 𝑥 en el
intervalo (−∞, 0)
x y
-10 ND
-5 ND
-4 ND
-3 ND
-2 ND
-1 ND
Paso 2: Evaluar
valores de 𝑥 en 0
x y
0 2
𝑦 no existe
𝑥 > 0

52. Dominio y rango de una función.
Paso 3: Evaluar
valores de 𝑥 en el
intervalo (0, ∞)
x y
1 1
2 0.59
3 0.27
4 0.00
5 -0.24
10 -1.16
Paso 4: Definir dominio
𝐷 = 𝑥/𝑥 ≥ 0
𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ [0, ∞)
𝑜

53. Dominio y rango de una función.
Paso 5: Graficar
𝑥 ∈ (−∞, 0) 𝑥 = 0
𝑥 ∈ (0, ∞)
x y
0 2
x y
-10 ND
-5 ND
-4 ND
-3 ND
-2 ND
-1 ND
x y
1 1
2 0.59
3 0.27
4 0.00
5 -0.24
10 -1.16
x y
1 1
2 0.59
3 0.27
4 0.00
5 -0.24
10 -1.16
1000 -29.62
10000 -98
𝒚 = 𝟐 − 𝒙

54. Dominio y rango de una función.
𝑅 = 𝑦/𝑦 ≤ 2
𝑅 = 𝑦/𝑦 ∈ (−∞, 2]
Paso 6: Definir rango
𝑜
𝒚 = 𝟐 − 𝒙

55. Dominio y rango de una función.
Alternativa
Intervalo en 𝑥
𝑥 ≥ 0
𝒚 = 𝟐 − 𝒙

56. Dominio y rango de una función.
Alternativa
Intervalo en 𝑥
𝑥 ≥ 0
𝒚 = 𝟐 − 𝒙
Dominio
D= 𝑥/𝑥 ≥ 0

57. Dominio y rango de una función.
Alternativa
Intervalo en 𝑥
𝑥 ≥ 0
𝒚 = 𝟐 − 𝒙
Dominio
D= 𝑥/𝑥 ≥ 0
Intervalo en 𝑦
𝑦 ≤ 2

58. Dominio y rango de una función.
Alternativa
Intervalo en 𝑥
𝑥 ≥ 0
𝒚 = 𝟐 − 𝒙
Dominio
D= 𝑥/𝑥 ≥ 0
Intervalo en 𝑦
𝑦 ≤ 2 R= 𝑦/𝑦 ≤ 2
Rango

59. Dominio y rango de una función.
Ejemplo 4: Determine el dominio y rango de la ecuación 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐
Paso 1: Evaluar
valores de 𝑥 en el
intervalo (−∞, 0)
x y
-1 2
-2 8
-3 18
-4 32
-5 50
-10 200
Paso 2: Evaluar
valores de 𝑥 en 0
x y
0 0

60. Dominio y rango de una función.
Paso 3: Evaluar
valores de 𝑥 en el
intervalo (0, ∞)
x y
1 2
2 8
3 18
4 32
5 50
10 200
Paso 4: Definir dominio
𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ ℝ
𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ (−∞, ∞)
𝑜

61. Dominio y rango de una función.
Paso 5: Graficar
𝑥 ∈ (−∞, 0) 𝑥 = 0
𝑥 ∈ (0, ∞)
x y
0 0
x y
1 2
2 8
3 18
4 32
5 50
10 200
x y
-1 2
-2 8
-3 18
-4 32
-5 50
-10 200
-10000 𝟐𝐱𝟏𝟎𝟖 10000 𝟐𝐱𝟏𝟎𝟖
𝑥
𝑦

62. Dominio y rango de una función.
𝑅 = 𝑦/𝑦 ≥ 0
𝑅 = 𝑦/𝑦 ∈ [0, ∞)
Paso 6: Definir rango
𝑜
𝑥
𝑦

63. Realizar actividad de aprendizaje 5 de la página 31 a 33.
Actividad 4

64. Intervalo en 𝑥
𝑥 ≤ 4

65. Intervalo en 𝑥
𝑥 ≤ 4
Dominio
D= 𝑥/−6 < 𝑥 ≤ 4
−6 <

66. Intervalo en 𝑦
𝑦 ≤ 20

67. Intervalo en 𝑦
R= 𝑦/−15 < 𝑦 ≤ 20
Rango
−15 < 𝑦 ≤ 20

73. 𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ ℝ
𝑅 = 𝑦/𝑦 ∈ ℝ
𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ ℝ
𝑅 = 𝑦/𝑦 ≥ 1
𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ ℝ
𝑅 = 𝑦/𝑦 ∈ ℝ
𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
𝑅 = 𝑦/𝑦 ∈ (−∞, 1) ∪ (1, ∞)
𝐷 = 𝑥/𝑥 ≥ 0
𝑅 = 𝑦/𝑦 ≥ 1
𝐷 = 𝑥/𝑥 ≠ 4
𝑅 = 𝑦/𝑦 ≠ 1
𝐷 = 𝑥/𝑥 ∈ ℝ
𝑅 = 𝑦/𝑦 ∈ ℝ
𝐷 = 𝑥/𝑥 ≥ 0
𝑅 = 𝑦/𝑦 ≤ 2

74. 𝑥 ∈ (−∞, 4)
x y
-10 0.5
-5 0.22
-4 0.12
-3 0
-2 -0.16
-1 -0.4
-0 -0.75
1 -1.33
2 -2.5
3 -6
x y
4 ND
5 8
10 2.16
12 1.87
14 1.7
19 1.4
25 1.3
30 1.26
35 1.22
40 1.19
4 ND 45 1.17
𝑥 ∈ (4, ∞)
3.99 -699
-1000 -0.99 4.01 701
1000 1.007
𝑦 ∈ (−∞, 1) 𝑥 ∈ (1, ∞)

75. 𝑥 ∈ (−∞, 0)
x Y
-10 1.5
-6 1.83
-5 2
-4 2.25
-3 2.66
-2 3.5
-1 6
0 ND
x y
0 ND
1 -4
2 -1.5
3 -0.66
4 -0.25
5 0
6 0.16
10 0.5
𝑥 ∈ (0, ∞)
𝑦 ∈ (−∞, 1) 𝑦 ∈ (1, ∞)
-0.001 5001
--1000 1.005 0.001 -4999
1000 0.9950