Este documento explica las funciones logarítmicas y sus propiedades. Analiza las funciones logarítmicas con base a > 1 y 0 < a < 1, y cómo se ven afectadas por coeficientes, desplazamientos horizontales y verticales. La función logarítmica completa tiene la forma y = k . loga(x - b) + c, donde k es el coeficiente, a es la base, b es el desplazamiento horizontal y c es el desplazamiento vertical.

1. Fatela PreuniversitariosFatela Preuniversitarios
FuncionesFunciones
LogarítmicasLogarítmicas
Elaborado por:Elaborado por:
Manuel ArévaloManuel Arévalo

2. La funciónLa función logarítmicalogarítmica
y = logy = logaa xx ⇔⇔ aayy
= x= x
Analizaremos 2 casos:Analizaremos 2 casos:
a > 1a > 1
0 < a < 10 < a < 1

3. Si a > 1 , por ejemplo a = 2Si a > 1 , por ejemplo a = 2
xx yy
1/41/4 -2-2
1/21/2 -1-1
11 00
22 11
44 22
88 33
1616 44
y = logy = log22 xx ⇔⇔ 22yy
= x= x

4. Si 0 < a < 1 , por ejemplo a =Si 0 < a < 1 , por ejemplo a = ½½
xx yy
44 -2-2
22 -1-1
11 00
1/21/2 11
1/41/4 22
1/81/8 33
1/161/16 44
y = logy = log½½ xx ⇔⇔ ((½½)) yy
= x= x

5. Otras funciones con a > 1 (crecientes):Otras funciones con a > 1 (crecientes):
y = logy = log22 xx
y = logy = log33 xx
y = logy = log55 xx

6. Otras funciones con 0 < a < 1 (decrecientes):Otras funciones con 0 < a < 1 (decrecientes):
y = logy = log1/21/2 xx
y = logy = log1/31/3 xx
y = logy = log1/51/5 xx

7. Analizaremos la función y = k . logAnalizaremos la función y = k . logaa xx
Si k = - 1 y a > 1 , por ejemplo: y = - logSi k = - 1 y a > 1 , por ejemplo: y = - log22 xx
y = - logy = - log22 xx
y = logy = log22 xx
xx yy
44 -2-2
22 -1-1
11 00
1/21/2 11
1/41/4 22
1/81/8 33
1/161/16 44
y = - logy = - log22 xx
- y = log- y = log22 xx ⇔⇔ 22 - y- y
= x= x
y = logy = log1/21/2 xx ⇔⇔ ((½½))yy
= x= x
(2(2 -1-1
)) yy
= x= x
Es igual a:Es igual a:
((½½))yy
= x= x

8. En esta misma función y = k . logEn esta misma función y = k . logaa xx
Si k = - 1 y 0 < a < 1 , por ejemplo: y = - logSi k = - 1 y 0 < a < 1 , por ejemplo: y = - log½½ xx
y = - logy = - log½½ xx
- y = log- y = log½½ xx ⇔⇔ ((½½)) - y- y
= x= x
Es igual a:Es igual a:
[([(½½)) -1-1
]] yy
= x= x
xx yy
1/41/4 -2-2
1/21/2 -1-1
11 00
22 11
44 22
88 33
1616 44
y = - logy = - log½½ xx
y = logy = log½½ xx
y = logy = log22 xx ⇔⇔ 22yy
= x= x22yy
= x= x

9. Si | k | > 1 hay expansión de la función:Si | k | > 1 hay expansión de la función:
y = k . logy = k . logaa xx
y = logy = log22 xx
y = - 2 . logy = - 2 . log 22 xx
y = 2 . logy = 2 . log22 xx

10. Si | k | < 1 hay contracción de la función:Si | k | < 1 hay contracción de la función:
y = k . logy = k . logaa xx
y = logy = log22 xx
y = -y = - ½½ . log. log 22 xx
y =y = ½½ . log. log22 xx

11. Si aplicamos desplazamientos horizontales a :Si aplicamos desplazamientos horizontales a :
⇒⇒y = logy = logaa xx y = logy = logaa (x - b)(x - b)
y = logy = log22 xx
y = logy = log 22 (x + 4)(x + 4)
y = logy = log22 (x – 3)(x – 3)
x = 3x = 3
x = 0x = 0
x = - 4x = - 4

12. Si aplicamos desplazamientos verticales a:Si aplicamos desplazamientos verticales a:
⇒⇒y = logy = logaa xx y = logy = logaa x + cx + c
y = logy = log22 xx
y = logy = log22 x + 3x + 3
y = logy = log 22 x - 2x - 2

13. La función logarítmica completa tiene la forma:La función logarítmica completa tiene la forma:
y = k . logy = k . logaa (x – b) + c(x – b) + c
y = - 3/2 . logy = - 3/2 . log33 (x + 2) + 1(x + 2) + 1

14. Fin de la presentaciónFin de la presentación