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Unidad 2. Transformaciones Lineales, Matrices y Sistemas de ecuaciones
Actividad 1. Sistemas de ecuaciones, transformaciones y matrices
Universidad Abierta y a Distancia de México.
Licenciatura en Matemáticas
Actividad 1. Sistemas de ecuaciones,
transformaciones y matrices.
Nombre: Jorge Alejandro Camacho Hernández
Carrera: Licenciatura en Matemáticas
Materia: Algebra lineal 1
Clave: MT-MALI1-2201-B1-001
Correo: camacho7@nube.unadmexico.mx

UNADM | DCEIT | MAT | MAMT1 2
Estimados alumnos
A través de la actividad 2. Sistemas de ecuaciones, matrices y transformaciones lineales,
Identificaras que las ecuaciones son las partes computacionales para ver las propiedades que
tienen una transformación.
Desarrollo
En esta actividad identificarás como un sistema de ecuaciones pueden verse desde dos
perspectivas que dadas las 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑛 determinan las 𝑦𝑖, . . . , 𝑦𝑛 o dadas las 𝑦𝑖, … , 𝑦𝑛 encuentra
cero, exactamente una o una infinidad de 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑛 que satisfacen la ecuación.
Actividad 1. Sistemas de ecuaciones, matrices y transformaciones lineales.
Participa en el foro argumentando tus respuestas con respecto a las preguntas que se te plantean.
Vamos a considerar de nuevo los tres sistemas de ecuaciones del problema prototípico,
recordando que el primero tiene una solución única, el segundo no tiene solución y el tercero
tiene una infinidad de soluciones.
En esta actividad vamos a explorar la relación que existe entre sistemas de ecuaciones y
transformaciones lineales, i.e., funciones entre dos espacios vectoriales que preservan la
estructura de espacio vectorial y que definiremos en esta unidad.
Las matrices correspondientes a los sistemas de ecuaciones se obtienen copiando solo los
coeficientes de las variables como se ve a continuación:
1. (
11 −3 0
−3 6 −1
0 −1 3
) 2. (
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
) 3. (
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
)
Asociados a los sistemas o, equivalentemente, a las matrices correspondientes podemos asociar
una función que asocia a cada vector de R3
otro vector de R3
que se obtiene multiplicando la
I1 - I3 = 30
3I1 + 5I2 + 2I3 = 55 (2)
4I1 + 7I2 + 3I3 = -25
11I1 - 3I2 = 30
-3I1 + 6I2 - I3 = 5 (1)
- I2 + 3I3 = -25
I1 - I3 = 30
3I1 + 5I2 + 2I3 = 55 (3)
4I1 + 7I2 + 3I3 = 1

matriz por el vector dado. Veremos en esta unidad cómo definir la multiplicación de
matrices, pero para los propósitos de esta actividad usaremos la siguiente definición:














+
+
+
+
+
+
+
+
+
=




























=














x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
y
y
y
m
mn
n
n
m
m
m
m
m
mn
n
n
m
m
n
...
...
..........
..........
..........
..........
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
2
2
1
1
2
2
22
1
12
1
2
21
1
11
2
1
2
1
2
22
12
1
21
11
2
1
que define una función T: Rn
→ Rn
como sigue:
Si X = (x1, x2, … , xm), entonces T(X) = Y = (y1, y2, … , ym), donde
y1 = x1∙a11 + x2∙a21 + … + xm∙am1,
y2 = x1∙a12 + x2∙a22 + … + xm∙am2,
……………………………………
yn = x1∙a1n + x2∙a2n + …+ xm∙amn.
En esta unidad demostraremos que esta función T tiene la propiedad de que:
T(r∙X + r’∙X’) = r∙T(X) + r’∙T(X’).
En particular nota que si r =1 y r’ = -1, entonces T(X – X’) = T(X) – T(X’).
1. Usando la definición anterior, escribe las ecuaciones correspondientes para cada
uno de los sistemas 1, 2, y 3 como una multiplicación matricial.
1) (
30
5
−25
) = (
11 −3 0
−3 6 −1
0 −1 3
) ∗ (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) →
30 = 11𝐼1 − 3𝐼2 + 0𝐼3
5 = −3𝐼1 + 6𝐼2 − 𝐼3
−25 = 0𝐼1 − 𝐼2 + 3𝐼3
2) (
30
55
−25
) = (
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
) ∗ (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) →
30 = 𝐼1 + 0𝐼2 − 𝐼3
55 = 3𝐼1 + 5𝐼2 + 2𝐼3
−25 = 4𝐼1 + 7𝐼2 + 3𝐼3
3) (
30
55
1
) = (
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
) ∗ (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) →
30 = 𝐼1 + 0𝐼2 − 𝐼1
55 = 3𝐼1 + 5𝐼2 + 2𝐼3
1 = 4𝐼1 + 7𝐼2 + 3𝐼3
2. Si T1: R3 → R3, T2: R3 → R3
, T3: R3 → R3 son las funciones correspondientes a los
sistemas, discute como encontrarías todos los vectores X tales que Ti(X) = 0.
1) Para 𝑇1
𝑇1 (
11 −3 0
−3 6 −1
0 −1 3
) = (
0
0
0
)
Por el método de Gauss obtenemos:

(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
0
0
0
) por lo que (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
0
0
0
)
Podemos ver que
𝐼1 = 0
𝐼2 = 0
𝐼3 = 0
Lo que nos dice que el sistema es linealmente independiente, por tanto, tiene una
solución única
2) Para 𝑇2 y 𝑇3
(
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
) (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
0
0
0
)
Resolvemos el sistema por el método de Gauss y obtenemos
(
1 0 −1
0 1 1
0 0 1
) (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
0
0
0
) por lo que (
1 0 −1
0 1 1
0 0 1
) (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
𝐼1 − 𝐼3
𝐼2 + 𝐼3
0
) = (
0
0
0
)
Donde 𝐼1 − 𝐼3 = 0 → 𝐼1 = 𝐼3 y 𝐼2 + 𝐼3 = 0 → 𝐼2 = −𝐼3
Lo que indica múltiples soluciones. Esto aplica a los 𝑇2 y 𝑇3 ya que tiene la misma
matriz de coeficientes.
3. Si T1: R3 → R3, T2: R3 → R3
sistemas, discute dado un vector Y como encontrarías todos los vectores X tales que
Ti(X) = Y
1) Para 𝑇1
𝑇1 (
11 −3 0
−3 6 −1
0 −1 3
) ∗ (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
30
5
−25
)
Usamos la matriz aumentada y resolvemos por el método de Gauss
(
11 −3 0
−3 6 −1
0 −1 3
|
30
5
−25
) → (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
3
1
−8
)

Entonces
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
3
1
−8
)
Por lo tanto 𝐼1 = 3, 𝐼2 = 1 y 𝐼3 = −8
2) Para 𝑇2
(
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
) ∗ (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
30
55
−25
)
(
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
|
30
55
−25
)
Usamos la matriz aumentada y resolvemos por el método de Gauss
(
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
|
30
55
−25
) → (
1 0 −1
0 1 1
0 0 0
|
30
−7
−96
)
Entonces
(
1 0 −1
0 1 1
0 0 1
) (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
30
−7
−96
)
Por lo tanto 0𝐼3 = −96, Lo que dice que el sistema no presenta solución
3) Para 𝑇3
𝑇3 (
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
) ∗ (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
30
55
1
)
Usamos la matriz aumentada y resolver por el método de Gauss
(
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
|
30
55
1
) → (
1 0 −1
0 1 1
0 0 0
|
30
−7
−10
)
Entonces
(
1 0 −1
0 1 1
0 0 0
) (
𝐼1
𝐼2
𝐼3
) = (
30
−7
−10
)
Por lo tanto 0𝐼3 = −10 donde se observa que el sistema no presenta solución
4. ¿Puedes ver una relación entre encontrar todos los vectores X en la pregunta 2 y la
3? Por ejemplo, dado Y, si puedes encontrar X y Z tal que T(Z) = 0 y T(Y) = X,
como encontrarías otro vector X’ tal que T(X’) = Y?

En la pregunta 2 plantemos un sistema homogéneo para saber si el sistema tiene solución
o no con respecto a su forma Ti(X) = 0.
En la pregunta 3 usamos la matriz de términos independientes y para encontrar dichas
soluciones. Aplicando la propiedad T(r∙X + r’∙X’) = r∙T(X) + r’∙T(X’).
Entonces
Cuando 𝑇(𝑍) = 0 y 𝑇(𝑌) = 𝑋
𝑇(𝑍 + 𝑌) = 𝑇(𝑍) + 𝑇(𝑌) = 0 + 𝑋 = 𝑋 → 𝑇(𝑍) + 𝑇(𝑌)
Cuando 𝑇(𝑍) = 0 y 𝑇(𝑋′) = 𝑌
𝑇(𝑍 + 𝑋′) = 𝑇(𝑍) + 𝑇(𝑋′) = 0 + 𝑌 = 𝑌 → 𝑌 = 𝑇(𝑍) + 𝑇(𝑌𝑋′)
5. Si T1: R3 → R3, T2: R3 → R3
sistemas, discute qué significa que las funciones Ti sean inyectivas, suprayectivas o
biyectivas. ¿Cómo se traduce esto en términos de las ecuaciones asociadas?
Una Transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es inyectiva si 𝑇 mapea distintos valores de 𝑉 a
distintos valores en 𝑊.
Se cumple que el 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = 0, es decir que todos los vectores en 𝑉 se mapean mediante
𝑇 a 0 en 𝑊, la matriz de solución 𝑇(𝑣) = 0 ∀ 𝑣 ∈ 𝑉.
Por lo que 𝑇(𝑣1) ≠ (𝑣2) lo que implica que 𝑣1
≠ 𝑣2
.
De acuerdo con la definición de transformación lineal 𝑇: (𝑉) → 𝑊 es sobreyectiva si
rango (𝑇) = 𝑊. Esto significa que ∀ 𝑤 ∈ 𝑊 existe un 𝑣 ∈ 𝑉 tal que 𝑤 = 𝑇(𝑣)
Por otra parte, una función se define como biyectiva si es la vez inyectiva y sobreyectiva,
es decir si existe un 𝑣1 ∈ 𝑉 tal que 𝑤1 = 𝑇(𝑣1) y otro 𝑣2 ∈ 𝑉 tal que 𝑤2 = 𝑇(𝑣2),
cuando 𝑣1 ≠ 𝑣2 entonces 𝑇(𝑣1) ≠ 𝑇(𝑣2).
Aplicando estas definiciones en las transformadas 𝑇1, 𝑇2 y 𝑇3.
Tenemos que para 𝑇1, el 𝑘𝑒𝑟(𝑇1) = 0 por lo que es inyectiva y sabemos que existe al
menos una 𝑥 ∈ 𝑋 ya que el sistema tiene solución, por lo que la transformación es
sobreyectiva y por tanto biyectiva, lo que implica una solución única.

Tenemos que para 𝑇2 y 𝑇3 el 𝑘𝑒𝑟(𝑇2) ≠ 0 y 𝑘𝑒𝑟(𝑇3) ≠ 0 por lo que no es inyectiva y
sabemos que no existe un 𝑥 ∈ 𝑋 ya que el sistema tiene solución, por lo que la
transformación no es sobreyectiva y por tanto no es biyectiva lo que implica que puede
no tener solución.
Bibliografía
• Lay, D. C.; Álgebra lineal y sus aplicaciones (tercera edición); México
(2007), Pearson Educación. Corcobado, J. L. y Marijuán, J. Matemáticas I., en:<
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm>. Williams, G. Kolman, B. y Hill.
(2004). Álgebra
• lineal con aplicaciones. México: Mc Graw Hill. Bernard Kolman, David R.
Hill (2006).
• Álgebra lineal (8a. Edición). México: Pearson Educación.
• Poole, D. (s.f.). Algebra lineal Una introducción Moderna. Tercera Edición.

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