1. El documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, planos, segmentos de recta y sus propiedades. 2. Explica cómo representar y clasificar estos elementos geométricos. 3. Incluye ejercicios prácticos relacionados con cálculos que involucran longitudes de segmentos y ubicación de puntos medios.

1. 1
GEOMETRÍA
I. ELEMENTOS
GEOMÉTRICOS
CONCEPTOS PREVIOS
Si una pelota de fútbol reposa sobre una caja
de cartón tal como se muestra en la figura,
notaremos que el contacto entre la pelota y
la caja es un punto, el cual también forma
parte de una porción de plano que está
limitado por cuatro segmentos de recta.
En el gráfico nos da la idea de punto, recta
y plano, pero aún así se les conoce como
entes matemáticos.
1. PUNTO
La marca de un lápiz que aparece al
presionar éste sobre un papel nos hace
pensar en un punto, pero no podemos
afirmar que tenga dimensiones.
El punto no se puede definir, pero la idea
que tenemos de él ,nos permite construir
figuras que son el objeto de estudio de la
geometría.
¿CÓMO REPRESENTAMOS UN
PUNTO?
Los puntos se pueden designar por letras
mayúsculas y representarse por un trazo, un
circulito o una cruz. Así decimos el punto A,
el punto B, etc.
2. LÍNEA
Se entiende así a la extensión considerada
en una sola dimensión: la longitud.
Corresponde a una serie ilimitada de puntos.
2.1).- CLASIFICACIÓN DE LAS LÍNEAS
Las líneas se clasifican en rectas, curvas,
quebradas y mixtas.
a).- Línea Recta: Es el conjunto de puntos
que siguen una misma dirección. Se
extiende sin límite en los dos sentidos.
Postulados acerca de una línea recta:
a) La línea recta posee dos sentidos.
b) La línea recta se extiende
indefinidamente en ambos sentidos.
c) Dos puntos determinan una recta.
d) Por un punto pasan infinidad de rectas.
¿CÓMO REPRESENTAMOS UNA
LÍNEA RECTA ?
SÍMBOLO: AB
SÍMBOLO: L
b).- Línea Curva: Es aquella línea que
cambia de dirección constantemente. En
otras palabras, la línea curva carece de
segmento por más pequeño que éste sea.
c).- Línea Quebrada: Es aquella línea que
está constituida de dos o más porciones de
rectas que siguen direcciones diferentes,
pero que tienen entre sí un punto en común.
d).- Línea Mixta: Es aquella línea que está
constituida de dos o más segmentos
rectilíneos y de dos o más segmentos
curvilíneos; que tienen, de dos en dos, un
solo punto en común.
3. PLANO
La superficie de una pizarra, del piso, de una
mesa nos da la idea de un plano.
Un plano, es la representación de una
sucesión de restas alineadas en una
extensión ilimitada. Se acostumbra
representarlo por un paralelogramo.
¿CÓMO REPRESENTAMOS UN
PLANO?
* Notación: P
Se lee: “Plano P”
4. RAYO
Un rayo se determina en la línea recta
tomando un punto como origen y uno de los
sentidos.
Gráficamente:
* Notación: OA , donde “O” es el punto de
origen.
5. SEMIRECTA
Es uno de los sentidos de la recta.
Gráficamente:
* Notación: OA, donde “O” no es origen.
6. SEGMENTO DE RECTA
6.1).- DEFINICIÓN
Es la porción de línea recta comprendida
entre dos puntos. Sólo en el segmento de
recta es posible la medida de longitud.
Gráficamente:
A B
* Notación: AB
Significa segmento que inicia en A y
termina en B. La medida o longitud de AB
se representa por AB.
Ejemplo:
Es correcto escribir un dato como el
siguiente: AB = 5 metros.
6.2).- CONGRUENCIA DE SEGMENTOS
Dos segmentos se dicen que son
congruentes; cuando tienen la misma
longitud.
* Notación: AB  CD  Se lee el segmento
AB es congruente con el segmento CD .
A B
L
A B
O A
O A
A B
6m
C D
6m
P

2. 2
GEOMETRÍA
6.3).- PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Se llama punto medio de un segmento al
punto que divide al segmento en dos partes
congruentes.
Ejemplo:
“B” es punto medio de AC.
* Notación: AB = BC
6.4).-OPERACIONES CON SEGMENTOS
Suma : AD = AC + CD
Resta : CD = CE - DE
* OBSERVACIONES:
A).- PUNTOS CONSECUTIVOS
Son puntos que se encuentran en una misma
recta y uno a continuación del otro.
Ejemplo:
* A, B, C, D y E son puntos consecutivos.
B).- PUNTOS COLINEALES
Son puntos que se encuentran en una
misma recta.
Ejemplo:
* A, B, C, D y E son puntos colineales.
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 01
1.Si AC + AB = 32. Calcular BC.
a) 6 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
2. En una recta se toman los puntos
consecutivos A, B y C; AC = 30,
BC = 12.
Hallar AB
A) 16 B) 15 C) 14
D) 18 E) 20
3. Si P y Q son puntos
medios de y .
Hallar MR
F) 12 G) 20 H) 24
I) 26 J) 28
4. Si: PR + PQ = 64.
Hallar QR
K) 14 L) 15 M) 16
N) 18 O) 20
5.- Se tiene los puntos colineales A, B,
C y D, de modo que AC = 10, BD = 15 y
AD = 18. Calcular BC.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
6.-Sobre una recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C y D de
modo que AC=30, BD=37 y AD=50.
Calcular BC.
a) 17 b) 18 c) 20
d) 24 e) 26
7. Sobre una recta se toman los
puntos consecutivos: A, B, C, D y E
además: AE=5BD, AD = 5CD, DE=5,
hallar BC.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 3,5 e) 4
8. Sobre una recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C y D de
modo que AB=BD=3CD, AD=18.
Hallar CD.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9).- Calcula “x”; si: AD = 48.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
10).- Calcula “x”; si: AD = 24.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
11).- En la figura “O” es punto medio de
AB. Calcula “x”.
a) 11 b) 14 c) 15
d) 18 e) 21
12).- En la figura “R” es punto medio de
AB. Calcula “x”.
a) 11 b)14 c) 15
d) 16 e) 17
13).- En la figura “Q” es punto medio de
AB. Calcula “x”.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
14).- Calcula “x”, si: AD = 136.
A B C D E
A B C
A B C D E
A B C D E
x 3x
A C
B
2x
D
x+1 x+3
A C
B
x+2
D
2x 36
A O B
2x+16 48
A R B
80+2x 40+6x
A Q B
P Q R S
6x+8 x+4 x+4

3. 3
GEOMETRÍA
a) 11 b)14 c) 15
d) 18 e) 21
15).- Según el gráfico AD = 89.
Calcula “x”.
a) 11 b) 12 c) 10
d) 13 e) 9
16).- Si AD = 36, calcula “a”.
a) 5 b) 12 c) 4
d) 9 e) 10
17).-Los puntos colineales y
consecutivos A, B, C y D son tales que:
AD = 18, BD = 13 y AC = 12. Calcula
“BC”.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
18).- Sobre una recta se ubican los
puntos consecutivos A, B y C tales que
AB = 10 y BC = 8. Si “M” es punto
medio de AB. Calcula “MC”.
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
19).- Sobre una recta se ubican los
puntos consecutivos “A”, “B” y “C”.Tal
que “M” es punto medio de AC.
Calcula “BM”. Si: BC = AB + 40.
a) 5 b) 8 c) 12
d) 20 e) 30
20).- Se tiene los puntos consecutivos
“A”, “B”, “C” y “D” de tal manera: AB =
CD y
AC + 2CD + BD = 40. Calcula “AD”.
a) 10 b) 15 c) 18
d) 20 e) 25
21).- Sobre una recta se ubican los
puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”.
Si se cumple:
5
CD
3
BC
2
AB


Calcula “CD”, si: AD = 20
a) 12 b) 9 c) 6
d) 10 e) 8
22).- Sobre una recta se ubican los
puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”
tal que: CD = 4AC, si BD – 4AB = 20.
Calcula “BC”.
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 4
23).-En una recta se ubican los puntos
consecutivos “A”, “B” y “C” . Si AB = 22
y BC = 16. Calcula la longitud del
segmento determinado por los puntos
medios de AB y AC.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
24).- “A”, “B” y “C” son puntos
consecutivos de una recta. AC = 28 y
AB = BC + 12. Calcula “BC”.
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 8
25).- Se tiene los puntos colineales y
consecutivos “A”, “B” y “C”. Sabiendo
que: AB = 14, BC = 6 y “M” es punto
medio de AC. Calcula “MB”.
a) 4 b) 6 c) 9
d) 11 e) 18
26).- Los puntos “A”, “B”, “C” y “D” son
colineales y consecutivos, tales que:
AB = 12, CD = 17 y AC + BD = 49.
Calcula “BC”.
a) 6 b) 10 c) 14
d) 18 e) 22
27).- Sobre una línea recta se
consideran los puntos consecutivos A,
B, C y D tal que: AD = 32 y BC = 10.
Calcula la longitud del segmento que
tiene por extremos a los puntos medios
de AB y CD .
a) 21 b) 22 c) 23
d) 24 e) 25
28).-Sobre una línea recta se consideran
los puntos consecutivos A, B, C, D y E
con la siguiente condición: AC + DE +
CE = 44m.
Halla la longitud del segmento AB , si:
AE = 24m y DE = 2AB.
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
29. Se tiene los puntos colineales A, B y
C; AB=6 y AC=10. Siendo “M” punto
medio de BC, calcular AM.
A) 12 B) 10 C) 4
D) 8 E) 9
30. Se tiene los puntos consecutivos y
colineales P, Q, R y S. “R” es punto
medio de QS. Si PR = 20 y QR = 6,
calcular PS.
A) 20 B) 12 C) 26
D) 14 E) 22
31. Se tiene los puntos colineales A, B
y C. AB = 6 y BC = 10. Siendo “P” punto
medio de AC, calcular BP.
A) 1 B) 3 C) 5
D) 4 E) 2
32. Se tiene los puntos colineales A,
B, C y D; AB = 16 y AC = 32. Calcular AP, si
“P” es punto medio de BC.
A) 24 B) 22 C) 16
D) 20 E) 18
33. Se tiene los puntos colineales y
consecutivos A, B y C, donde M es punto
medio de BC y AM = 18, MC = 4.
Calcular AB.
A) 14 B) 18 C) 4
D) 8 E) 10
34. Se tiene los puntos colineales A,
N, I y S. Calcular NI, AN = 4 y NS = 10
además “I” es punto medio de AS.
A) 1 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2
35. Se tiene los puntos colineales A,
B; C y D, siendo “M” punto medio de AB y
“N” punto medio de CD. Si AC = 10 y MN =
12, calcular BD.
A) 16 B) 12 C) 14 D) 10 E) 18
36. Se tiene los puntos colineales A, B, C y
D, AC + BD = 16. Si “M” punto
medio de AB y “N” punto medio de CD,
calcular MN.
A) 7 B) 8 C) 5 D) 9 E) 6
x 3x + 4
A C
B
4x - 3
D
a - b a + b
A C
B
a
D