Este documento presenta una introducción a la lógica y los conjuntos. Explica conceptos clave como razonamiento, lógica, proposiciones, términos esenciales y operadores lógicos. También describe el logicismo, la doctrina que sostiene que las matemáticas pueden reducirse a la lógica, y los intentos de Gottlob Frege y Bertrand Russell por completar este proyecto a través de sus obras.
Este documento describe diferentes tipos de proposiciones compuestas en lógica: conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. La conjunción es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas, mientras que la disyunción es verdadera si al menos una proposición es verdadera. La implicación es falsa solo si la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa. Dos proposiciones son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad.
El documento define la informática como el estudio de los procedimientos para manipular, almacenar, procesar y transmitir información de forma automática. Explica que la información son datos organizados que constituyen un mensaje, y que la lógica y la electrónica son isomorfas, lo que permite representar circuitos eléctricos mediante funciones lógicas como la conjunción y la disyunción. Finalmente, establece el isomorfismo entre proposiciones lógicas y el estado de interruptores y focos en circuitos eléctricos
El documento presenta conceptos sobre lógica y proposiciones condicionales. Define hipótesis y conclusión, y explica cinco tipos de proposiciones condicionales (condicional, bicondicional, conversa, inversa y contrareciproca). Incluye ejemplos para ilustrar cada tipo y ejercicios de repaso.
Función par impar creciente y decrecienteMagiserio
El documento repite la frase "FUNCIÓN PAR IMPAR CRECIENTE Y DECRECIENTE" doce veces, lo que indica que trata sobre funciones pares e impares crecientes y decrecientes.
Este documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Define proposiciones lógicas y conectivos lógicos como la negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional. Explica las tablas de verdad de proposiciones simples y compuestas, y define tautologías, contradicciones y contingencias.
Este documento presenta los conceptos básicos de límites de funciones. Explica siete tipos de límites (tipos 1 al 7), incluyendo cómo evaluar y resolver cada tipo. También cubre propiedades algebraicas de límites, límites en el infinito, límites laterales, límites trigonométricos y el teorema del emparedado. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos de cada tipo de límite.
El documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica que la lógica estudia la forma del pensamiento racional y no su contenido. También describe cómo Aristóteles desarrolló métodos sistemáticos para analizar argumentos y estableció procedimientos para determinar la verdad de proposiciones compuestas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de la lógica en filosofía, matemáticas, computación y la vida diaria.
Logica para la toma de decisiones unidad ibetouabc1919
Este documento presenta la introducción a un curso de lógica para la toma de decisiones. Explica que el propósito del curso es desarrollar el pensamiento lógico de los estudiantes para que puedan tomar mejores decisiones. La unidad 1 se enfoca en conceptos básicos de lógica como razonamientos, premisas, conclusiones, deducción e inducción. También describe los elementos del conocimiento como sujeto, objeto, representación y operación.
Este documento describe diferentes tipos de proposiciones compuestas en lógica: conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. La conjunción es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas, mientras que la disyunción es verdadera si al menos una proposición es verdadera. La implicación es falsa solo si la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa. Dos proposiciones son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad.
El documento define la informática como el estudio de los procedimientos para manipular, almacenar, procesar y transmitir información de forma automática. Explica que la información son datos organizados que constituyen un mensaje, y que la lógica y la electrónica son isomorfas, lo que permite representar circuitos eléctricos mediante funciones lógicas como la conjunción y la disyunción. Finalmente, establece el isomorfismo entre proposiciones lógicas y el estado de interruptores y focos en circuitos eléctricos
El documento presenta conceptos sobre lógica y proposiciones condicionales. Define hipótesis y conclusión, y explica cinco tipos de proposiciones condicionales (condicional, bicondicional, conversa, inversa y contrareciproca). Incluye ejemplos para ilustrar cada tipo y ejercicios de repaso.
Función par impar creciente y decrecienteMagiserio
El documento repite la frase "FUNCIÓN PAR IMPAR CRECIENTE Y DECRECIENTE" doce veces, lo que indica que trata sobre funciones pares e impares crecientes y decrecientes.
Este documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Define proposiciones lógicas y conectivos lógicos como la negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional. Explica las tablas de verdad de proposiciones simples y compuestas, y define tautologías, contradicciones y contingencias.
Este documento presenta los conceptos básicos de límites de funciones. Explica siete tipos de límites (tipos 1 al 7), incluyendo cómo evaluar y resolver cada tipo. También cubre propiedades algebraicas de límites, límites en el infinito, límites laterales, límites trigonométricos y el teorema del emparedado. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos de cada tipo de límite.
El documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica que la lógica estudia la forma del pensamiento racional y no su contenido. También describe cómo Aristóteles desarrolló métodos sistemáticos para analizar argumentos y estableció procedimientos para determinar la verdad de proposiciones compuestas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de la lógica en filosofía, matemáticas, computación y la vida diaria.
Logica para la toma de decisiones unidad ibetouabc1919
Este documento presenta la introducción a un curso de lógica para la toma de decisiones. Explica que el propósito del curso es desarrollar el pensamiento lógico de los estudiantes para que puedan tomar mejores decisiones. La unidad 1 se enfoca en conceptos básicos de lógica como razonamientos, premisas, conclusiones, deducción e inducción. También describe los elementos del conocimiento como sujeto, objeto, representación y operación.
Este documento presenta los elementos básicos de la lógica proposicional, incluyendo proposiciones, conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional. Explica las tablas de verdad de estos conectivos y conceptos como tautologías, contradicciones y contingencias. También introduce reglas lógicas como el modus ponens, modus tollens y modus tollendo ponens.
Este documento presenta un resumen de la asignatura de Matemática Aplicada a la Medicina. Incluye temas como lógica y conjuntos, análisis combinatorio, sistemas de números reales, relaciones y funciones, logaritmos y exponenciales, límites y derivadas e integrales. También explica conceptos de lógica proposicional como enunciados abiertos y proposiciones, y conectivos lógicos como conjunción, disyunción y negación. Por último, introduce los cuantificadores universal y existencial
El documento presenta diferentes conceptos lógicos como proposiciones atómicas y compuestas, conectores lógicos como la conjunción, disyunción, negación, implicación y equivalencia lógica, y tablas de verdad. Explica que las proposiciones atómicas son las más simples y se representan con letras, mientras que las compuestas se forman a partir de proposiciones más simples usando conectores lógicos. También define cada conector lógico y muestra su representación y lectura en tablas
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo equivalencias lógicas, leyes lógicas, simplificación y ejercicios. Define conceptos como tautologías, principios lógicos como identidad y tercio excluido, y leyes como doble negación, de Morgan y distribución. Explica cómo usar las leyes de equivalencia para simplificar proposiciones y resolver ejercicios lógicos.
Este documento resume la lógica proposicional, incluyendo proposiciones, conectores lógicos como conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, tablas de verdad y circuitos lógicos. Explica que la lógica proposicional estudia las relaciones entre proposiciones mediante conectores lógicos y trata de determinar la verdad o falsedad de proposiciones.
Este documento explica el método de reducción al absurdo, donde se demuestra la validez de un argumento al mostrar que negar la conclusión lleva a una contradicción. Se presentan dos proposiciones y un teorema sobre este método, y se incluye un ejemplo de su aplicación para probar la validez de un argumento asumiendo la negación de la conclusión y derivando una contradicción.
Este documento trata sobre la caída libre y el tiro vertical. Explica que en caída libre, todos los objetos caen a la misma velocidad debido a la gravedad, independientemente de su masa o tamaño. También describe las ecuaciones para calcular la velocidad, altura y tiempo involucrados en la caída libre y el tiro vertical. Finalmente, presenta varios problemas resueltos como ejemplos.
Derivada de una funcion y reglas de derivacionjesusmuggle
La derivada de una función representa la tasa de cambio de la función con respecto a los cambios en la variable independiente. Se define como el límite de la razón del cambio en la función entre el cambio en la variable independiente a medida que este último tiende a cero. El documento explica las reglas básicas para calcular la derivada de funciones como sumas, productos, cocientes, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas.
Este documento describe las propiedades básicas y reglas de la integral indefinida, incluyendo propiedades como la suma, constante múltiple, potenciación y división. También presenta ejemplos de aplicación de estas propiedades y reglas para calcular integrales definidas como la suma, resta y división de funciones integrales.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado y los métodos para resolverlas. Define una ecuación de primer grado y tres métodos para resolverlas: método de ensayo y error, método de suma y producto, y método general. Luego proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios de práctica al final.
El documento explica el concepto de inducción matemática y su principio. El principio de inducción matemática establece que para demostrar que una propiedad P es válida para todos los números naturales, basta con demostrar que P es válida para 1 y que si es válida para un número natural n, también lo es para n+1. El documento incluye dos ejemplos de demostraciones mediante inducción matemática.
El documento define las razones y proporciones, incluyendo las razones aritméticas y geométricas, las proporcionalidades aritméticas y geométricas, la media proporcional, la cuarta proporcional y la tercera proporcional. También explica las propiedades de las series de razones geométricas equivalentes.
Este documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo la demostración directa, la demostración por contrapositiva, y el uso de conectivos lógicos y leyes de álgebra proporcional. La demostración directa usa premisas verdaderas P1, P2, etc. para deducir una conclusión Q a través de implicaciones lógicas. La demostración por contrapositiva toma la negación de la conclusión ~Q para obtener la negación de la hipótesis ~P.
Este documento presenta 20 ejercicios de interpretación de gráficas. Los ejercicios involucran gráficas que representan diferentes situaciones como excursiones, recorridos, consumo de agua, concentración de anestesia y más. Se piden detalles como distancias, tiempos, velocidades, puntos máximos y mínimos, variables, entre otros.
El documento explica los conceptos básicos de la lógica proposicional. Define una proposición como una expresión que puede ser verdadera o falsa. Introduce los conectivos lógicos como la conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. Explica cómo determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas usando estas operaciones lógicas a través de tablas de verdad. Finalmente, da ejemplos para practicar la evaluación de proposiciones compuestas.
Este documento presenta un resumen del curso de Matemática Aplicada a la Medicina impartido en 2010. Incluye contenidos como lógica y conjuntos, análisis combinatorio y probabilidades, sistemas de números reales y relaciones y funciones. También explica conceptos de lógica proposicional como enunciados, proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y cuantificadores.
La factorización consiste en transformar un polinomio en una multiplicación de factores primos. Existen varios métodos de factorización como el factor común, agrupaciones y aspa simple. Factorizar significa descomponer un polinomio en dos o más factores para expresarlo de forma multiplicativa.
El documento explica cómo determinar si una función es creciente, decreciente o constante basado en el signo de su derivada. Una función es creciente si su derivada es positiva, decreciente si su derivada es negativa, y constante si su derivada es cero. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular los puntos críticos y determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente.
Este documento presenta dos reglas de inferencia lógica: Modus Tollens y Modus Ponens. Modus Tollens, también conocido como eliminación de la disyunción, establece que si una de dos afirmaciones debe ser verdadera y se descarta una de ellas, entonces la otra debe ser verdadera. Modus Ponens establece que si una premisa condicional es verdadera y su antecedente también lo es, entonces su consecuente debe ser verdadero. Ejemplos ilustran el uso de ambas reglas.
El documento presenta 5 ejemplos de cómo modelar matemáticamente situaciones reales usando funciones. En cada ejemplo se da un problema geométrico o de volumen con datos numéricos, y se expresa la solución como una función de una variable despejando ecuaciones.
Atributos, clasificacion, conjuntos y patronesanaortizz
Este documento describe conceptos matemáticos fundamentales para la educación temprana como atributos, clasificación, conjuntos y patrones. Define atributos como las características de personas u objetos y la importancia de que los niños puedan distinguirlos. Explica que la clasificación requiere buscar relaciones entre elementos y agruparlos según un atributo común. También define conjuntos como grupos de elementos que comparten uno o más atributos e introduce conceptos como subconjuntos e intersección. Finalmente, señala que la habilidad de identificar patrones
Este capítulo presenta conceptos básicos de lógica y conjuntos. Introduce proposiciones, tablas de verdad, operadores lógicos como negación, conjunción, disyunción y condicional. Explica formas proposicionales, implicación lógica y equivalencia lógica. Luego cubre conjuntos, operaciones entre conjuntos, cuantificadores, relaciones y funciones.
Este documento presenta los elementos básicos de la lógica proposicional, incluyendo proposiciones, conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional. Explica las tablas de verdad de estos conectivos y conceptos como tautologías, contradicciones y contingencias. También introduce reglas lógicas como el modus ponens, modus tollens y modus tollendo ponens.
Este documento presenta un resumen de la asignatura de Matemática Aplicada a la Medicina. Incluye temas como lógica y conjuntos, análisis combinatorio, sistemas de números reales, relaciones y funciones, logaritmos y exponenciales, límites y derivadas e integrales. También explica conceptos de lógica proposicional como enunciados abiertos y proposiciones, y conectivos lógicos como conjunción, disyunción y negación. Por último, introduce los cuantificadores universal y existencial
El documento presenta diferentes conceptos lógicos como proposiciones atómicas y compuestas, conectores lógicos como la conjunción, disyunción, negación, implicación y equivalencia lógica, y tablas de verdad. Explica que las proposiciones atómicas son las más simples y se representan con letras, mientras que las compuestas se forman a partir de proposiciones más simples usando conectores lógicos. También define cada conector lógico y muestra su representación y lectura en tablas
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo equivalencias lógicas, leyes lógicas, simplificación y ejercicios. Define conceptos como tautologías, principios lógicos como identidad y tercio excluido, y leyes como doble negación, de Morgan y distribución. Explica cómo usar las leyes de equivalencia para simplificar proposiciones y resolver ejercicios lógicos.
Este documento resume la lógica proposicional, incluyendo proposiciones, conectores lógicos como conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, tablas de verdad y circuitos lógicos. Explica que la lógica proposicional estudia las relaciones entre proposiciones mediante conectores lógicos y trata de determinar la verdad o falsedad de proposiciones.
Este documento explica el método de reducción al absurdo, donde se demuestra la validez de un argumento al mostrar que negar la conclusión lleva a una contradicción. Se presentan dos proposiciones y un teorema sobre este método, y se incluye un ejemplo de su aplicación para probar la validez de un argumento asumiendo la negación de la conclusión y derivando una contradicción.
Este documento trata sobre la caída libre y el tiro vertical. Explica que en caída libre, todos los objetos caen a la misma velocidad debido a la gravedad, independientemente de su masa o tamaño. También describe las ecuaciones para calcular la velocidad, altura y tiempo involucrados en la caída libre y el tiro vertical. Finalmente, presenta varios problemas resueltos como ejemplos.
Derivada de una funcion y reglas de derivacionjesusmuggle
La derivada de una función representa la tasa de cambio de la función con respecto a los cambios en la variable independiente. Se define como el límite de la razón del cambio en la función entre el cambio en la variable independiente a medida que este último tiende a cero. El documento explica las reglas básicas para calcular la derivada de funciones como sumas, productos, cocientes, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas.
Este documento describe las propiedades básicas y reglas de la integral indefinida, incluyendo propiedades como la suma, constante múltiple, potenciación y división. También presenta ejemplos de aplicación de estas propiedades y reglas para calcular integrales definidas como la suma, resta y división de funciones integrales.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado y los métodos para resolverlas. Define una ecuación de primer grado y tres métodos para resolverlas: método de ensayo y error, método de suma y producto, y método general. Luego proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios de práctica al final.
El documento explica el concepto de inducción matemática y su principio. El principio de inducción matemática establece que para demostrar que una propiedad P es válida para todos los números naturales, basta con demostrar que P es válida para 1 y que si es válida para un número natural n, también lo es para n+1. El documento incluye dos ejemplos de demostraciones mediante inducción matemática.
El documento define las razones y proporciones, incluyendo las razones aritméticas y geométricas, las proporcionalidades aritméticas y geométricas, la media proporcional, la cuarta proporcional y la tercera proporcional. También explica las propiedades de las series de razones geométricas equivalentes.
Este documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo la demostración directa, la demostración por contrapositiva, y el uso de conectivos lógicos y leyes de álgebra proporcional. La demostración directa usa premisas verdaderas P1, P2, etc. para deducir una conclusión Q a través de implicaciones lógicas. La demostración por contrapositiva toma la negación de la conclusión ~Q para obtener la negación de la hipótesis ~P.
Este documento presenta 20 ejercicios de interpretación de gráficas. Los ejercicios involucran gráficas que representan diferentes situaciones como excursiones, recorridos, consumo de agua, concentración de anestesia y más. Se piden detalles como distancias, tiempos, velocidades, puntos máximos y mínimos, variables, entre otros.
El documento explica los conceptos básicos de la lógica proposicional. Define una proposición como una expresión que puede ser verdadera o falsa. Introduce los conectivos lógicos como la conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. Explica cómo determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas usando estas operaciones lógicas a través de tablas de verdad. Finalmente, da ejemplos para practicar la evaluación de proposiciones compuestas.
Este documento presenta un resumen del curso de Matemática Aplicada a la Medicina impartido en 2010. Incluye contenidos como lógica y conjuntos, análisis combinatorio y probabilidades, sistemas de números reales y relaciones y funciones. También explica conceptos de lógica proposicional como enunciados, proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y cuantificadores.
La factorización consiste en transformar un polinomio en una multiplicación de factores primos. Existen varios métodos de factorización como el factor común, agrupaciones y aspa simple. Factorizar significa descomponer un polinomio en dos o más factores para expresarlo de forma multiplicativa.
El documento explica cómo determinar si una función es creciente, decreciente o constante basado en el signo de su derivada. Una función es creciente si su derivada es positiva, decreciente si su derivada es negativa, y constante si su derivada es cero. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular los puntos críticos y determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente.
Este documento presenta dos reglas de inferencia lógica: Modus Tollens y Modus Ponens. Modus Tollens, también conocido como eliminación de la disyunción, establece que si una de dos afirmaciones debe ser verdadera y se descarta una de ellas, entonces la otra debe ser verdadera. Modus Ponens establece que si una premisa condicional es verdadera y su antecedente también lo es, entonces su consecuente debe ser verdadero. Ejemplos ilustran el uso de ambas reglas.
El documento presenta 5 ejemplos de cómo modelar matemáticamente situaciones reales usando funciones. En cada ejemplo se da un problema geométrico o de volumen con datos numéricos, y se expresa la solución como una función de una variable despejando ecuaciones.
Atributos, clasificacion, conjuntos y patronesanaortizz
Este documento describe conceptos matemáticos fundamentales para la educación temprana como atributos, clasificación, conjuntos y patrones. Define atributos como las características de personas u objetos y la importancia de que los niños puedan distinguirlos. Explica que la clasificación requiere buscar relaciones entre elementos y agruparlos según un atributo común. También define conjuntos como grupos de elementos que comparten uno o más atributos e introduce conceptos como subconjuntos e intersección. Finalmente, señala que la habilidad de identificar patrones
Este capítulo presenta conceptos básicos de lógica y conjuntos. Introduce proposiciones, tablas de verdad, operadores lógicos como negación, conjunción, disyunción y condicional. Explica formas proposicionales, implicación lógica y equivalencia lógica. Luego cubre conjuntos, operaciones entre conjuntos, cuantificadores, relaciones y funciones.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como conjuntos, subconjuntos, uniones e intersecciones. Los estudiantes aprenden a describir conjuntos mediante extensiones o comprensión y a representarlos en diagramas de Venn. También cubre clasificaciones de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos e intersecantes. El objetivo final es difundir esta teoría por su importancia para estudiar relaciones y simplificar definiciones en otras áreas.
El documento presenta conceptos básicos de conjuntos matemáticos como pertenencia, no pertenencia, conjuntos iguales, conjuntos vacíos, conjuntos disyuntos y el conjunto universal. Explica estos conceptos a través de ejemplos con letras y nombres para mostrar las relaciones entre los elementos de diferentes conjuntos.
La relación entre conjuntos describe cómo los elementos de un conjunto se relacionan con los elementos de otro conjunto. Existen diferentes tipos de relaciones como la relación de inclusión donde un conjunto está contenido en otro, la igualdad donde los conjuntos contienen exactamente los mismos elementos y la relación binaria donde cada elemento de un conjunto se relaciona con cero, uno o varios elementos del otro conjunto.
Este documento presenta el plan de clase para la asignatura de Español y Literatura del grado sexto. El plan contiene tres desempeños que buscan desarrollar la comunicación asertiva y la construcción de textos narrativos como mitos, leyendas y fábulas. Cada desempeño incluye actividades de exploración, interacción teórico-práctica y socialización/evaluación a lo largo de varias semanas. El plan utilizará guías, obras literarias y otros recursos para lograr los objet
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Explica conceptos fundamentales como elementos de un conjunto, relación de pertenencia, determinación de conjuntos, número cardinal, diagramas de Venn-Euler, relaciones entre conjuntos, operaciones entre conjuntos y conjuntos numéricos. También ofrece ejemplos para ilustrar estos conceptos matemáticos básicos.
Este documento define y clasifica las proposiciones lógicas. Explica que una proposición es una expresión lingüística con sentido completo que puede determinar su verdad o falsedad. Distingue entre proposiciones lógicas, como fórmulas científicas y leyes, y no lógicas, como creencias o metáforas. Describe la estructura, propiedades, clases y ejemplos de proposiciones lógicas.
Plan de Aula Matemáticas Sexto- Primer Periodo 2012dianazuluaga1
El documento presenta el plan de aula para la asignatura de Matemáticas y Estadística para sexto grado. Incluye los estándares, competencias, desempeños, metodología, ejes temáticos, recursos, evaluación y plan de mejoramiento para el curso. Los temas a tratar son lógica, teoría de conjuntos, sistemas de numeración, números naturales y operaciones con ellos, así como estadística descriptiva.
Preguntas simulacro lógica de proposicionessigherrera
El documento contiene varios ejercicios lógicos sobre proposiciones, tablas de verdad y matrices principales. Se piden identificar cuáles enunciados son proposiciones, hallar tablas de verdad y resultados de matrices principales para diferentes expresiones lógicas.
Lógica y conjuntos proposiciones y cuantificadoresjazzme
Este documento presenta información sobre proposiciones y cuantificadores. Incluye definiciones de proposiciones singulares, particulares y universales, así como reglas para la traducción del lenguaje natural al simbólico usando cuantificadores existenciales y universales. También cubre temas como reglas de cuantificación, pruebas de validez e invalidez, proposiciones multicuanticadas, y negación de cuantificadores. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos lógic
El documento habla sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos como conjunto universo, subconjuntos, intersección, unión, pertenencia y no pertenencia. Define cada uno de estos conceptos clave y muestra ejemplos para ilustrarlos. También explica formas de representar conjuntos como comprensión, extensión y diagrama de Venn.
Este documento explica los conceptos de proposiciones simples, compuestas y sus valores de verdad. Define una proposición simple como una oración cuya verdad puede determinarse, y proporciona ejemplos. Explica la negación de proposiciones y la tabla de verdad correspondiente. Luego introduce las proposiciones compuestas, definidas por la unión de proposiciones simples mediante conectivos lógicos como "y", "o", "si...entonces", y "si y solo si". Finalmente, explica las tablas de verdad para la conjunc
Este documento presenta un proyecto sobre conjuntos realizado por estudiantes de la Universidad Técnica de Machala. El proyecto define conjuntos de manera sencilla y explicita sus funciones y representaciones. Incluye ejercicios sobre determinación de conjuntos, cardinalidad, tipos de conjuntos, cuantificadores, subconjuntos y relaciones entre conjuntos. El objetivo es ampliar los conocimientos matemáticos de los estudiantes sobre el concepto fundamental de conjuntos.
Este documento presenta varios problemas matemáticos resueltos sobre conjuntos. Incluye expresar conjuntos por comprensión y tabulación, calcular el número de elementos de conjuntos, determinar el conjunto potencia, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. También resuelve un problema sobre la relación de amistad entre 9 personas usando diagramas de Venn.
Este documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Incluye secciones sobre nociones fundamentales, introducción, cálculo proposicional y ejemplos resueltos. Explica conceptos como proposiciones, lenguaje simbólico, tablas de verdad y cómo evaluar el valor de verdad de proposiciones compuestas usando conectivos lógicos como la negación, conjunción y condicional. El objetivo general es enseñar los métodos y principios de la lógica proposicional para distinguir entre
1) El documento trata sobre lógica proposicional y conceptos básicos como proposiciones, enunciados, conectivas lógicas y tablas de verdad.
2) Explica que la lógica estudia la validez de los razonamientos y define conceptos como tautología, contradicción y contingencia.
3) Describe las diferentes conectivas lógicas como conjunción, disyunción, condicional y bicondicional y cómo se representan simbólicamente.
1) La lógica estudia los principios del razonamiento válido y sistematiza las reglas del pensamiento correcto. 2) Un documento introduce conceptos clave como proposición, lenguaje lógico, tablas de verdad y métodos decisorios. 3) La lógica proporciona herramientas para analizar argumentos de manera rigurosa.
Este documento define el cálculo de predicados y proporciona ejemplos. Explica que a diferencia del cálculo de proposiciones, el cálculo de predicados utiliza variables y las expresiones atómicas se forman con elementos más simples. También define los cuantificadores universal y existencial que se usan para indicar que una proposición es cierta para todos los elementos de un conjunto o al menos uno, respectivamente.
El documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y su relación con conceptos matemáticos como conjuntos y números. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. También define conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales, y leyes como la doble negación y de Morgan.
Este documento resume los conceptos básicos de la lógica. Explica que la lógica estudia los principios y razonamientos válidos. Luego describe cuatro tipos de lógica (formal, informal, matemática y simbólica), los criterios para considerar un sistema lógico, y los conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción e implicación. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para comprender estos conceptos.
Este documento introduce el tema de la lógica matemática. Explica que la lógica estudia los métodos de razonamiento y provee reglas para determinar la validez de argumentos. También se usa el razonamiento lógico en matemáticas, ciencias de la computación, ciencias físicas y sociales. Además, define las proposiciones como unidades semánticas que son verdaderas o falsas, y clasifica proposiciones en simples y compuestas.
1) El documento habla sobre el cálculo proposicional y las proposiciones lógicas. 2) Explica que el cálculo proposicional utiliza dos valores, verdadero y falso, y se usa para estudiar expresiones booleanas. 3) También define conceptos como argumentos, premisas, conclusiones, proposiciones lógicas, proposiciones abiertas, y variables proposicionales.
Este documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Explica que las proposiciones son enunciados declarativos que pueden ser verdaderos o falsos, pero no ambos a la vez. Describe cómo las proposiciones atómicas se pueden representar con letras y cómo los conectivos lógicos permiten combinar proposiciones para formar proposiciones moleculares. El documento provee ejemplos de diferentes tipos de proposiciones y conectivos lógicos.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de la Unidad 1 de un curso sobre lógica proposicional. Los objetivos incluyen definir proposiciones, identificar conectivos lógicos, formas proposicionales, leyes del álgebra proposicional, y aplicar métodos de demostración. Explica que una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, y define conectivos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. También cubre formas proposic
Este documento describe los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo las clasificaciones de proposiciones (abiertas, cerradas, simples, compuestas), los conectores lógicos y sus símbolos, y cómo los valores de verdad de una proposición dependen del número de proposiciones simples que la componen.
Este documento presenta información sobre lógica proposicional. Explica que la lógica proposicional estudia proposiciones y cómo se relacionan usando conectivos lógicos. Define proposición, conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción e implicación, y muestra sus tablas de verdad. Además, explica cómo se aplica la lógica en la vida diaria al tomar decisiones y resolver problemas.
Este documento trata sobre lógica y funciones. Explica qué es una proposición, los conectivos lógicos, las tablas de verdad, las tautologías y las contradicciones. También define la lógica, los objetivos de la lógica, la conceptualización, la demostración, las proposiciones, las variables proposicionales, los enunciados abiertos, las clases de proposiciones, los conectivos lógicos como la negación, la conjunción, la disyunción y la condic
La lógica proposicional estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples. Utiliza conectivos lógicos como "y", "o", "si...entonces" para vincular proposiciones simples en proposiciones compuestas. El valor de verdad de estas depende de las reglas de los conectivos, por ejemplo, una conjunción es verdadera solo si ambas proposiciones lo son.
El documento introduce los conceptos básicos de la lógica proposicional. Explica que una proposición es una afirmación sujeta a un valor de verdad, y que las proposiciones se clasifican en atómicas y moleculares. Las proposiciones atómicas son indivisibles, mientras que las moleculares están compuestas por proposiciones atómicas unidas por conectivos lógicos como "y", "o", "si...entonces", y "no". Finalmente, describe los símbolos y tablas de verdad de los principales
El documento introduce los conceptos básicos de la lógica proposicional. Explica que una proposición es una afirmación sujeta a un valor de verdad, y que las proposiciones pueden ser atómicas o moleculares. Las proposiciones moleculares están compuestas por proposiciones atómicas unidas por conectivos lógicos como "y", "o", "si...entonces", y "no". Finalmente, describe los diferentes tipos de conectivos lógicos y sus tablas de verdad.
Este documento introduce conceptos básicos de lógica y conjuntos. Explica que una proposición es una unidad semántica que es verdadera o falsa, y que las proposiciones son los elementos fundamentales de la lógica. Define operadores lógicos como la negación, y explica cómo cambian los valores de verdad de las proposiciones. Finalmente, introduce el concepto de tablas de verdad para mostrar los valores y resultados posibles de operaciones lógicas.
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional. Introduce las nociones de proposición, negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional. Explica cómo representar proposiciones mediante letras y construir tablas de verdad. Además, define equivalencias lógicas y provee ejemplos para ilustrar los conceptos presentados.
El documento presenta una introducción a los conceptos básicos de lógica, incluyendo proposiciones, conectores, tablas de verdad e interpretación. Aborda temas como conceptos de lógica, proposiciones simples y compuestas, conectores como la conjunción y la disyunción, y la negación y valor de verdad de las proposiciones.
querido profesor hay esta el trabajo
me paresio muy interesante el trabajo
me llamo mucho la atención ya me profundice mucho en el tema.
muchas gracias por su atención.
2. Lógica
¿Qué es el Razonamiento?
¿Qué es Lógica?
División de la Lógica
Proposiciones
Términos Esenciales
Proposiciones Simples
Proposiciones Compuestas
3. Es la doctrina que sostiene que la Matemática es en
algún sentido importante reducible a la lógica.
Logicismo
La doctrina logicista tuvo su primer antecedente en
Gottfried Leibniz. Sin embargo, el primer intento
serio y detallado de reducir la matemática a la lógica
tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Richard
Dedekind y Giuseppe Peano articularon los principios
básicos de la matemática, y Gottlob Frege desarrolló
el primer sistema de lógica de predicados.
4. Gottlob Frege dedicó gran parte de su carrera al proyecto
logicista. Sus dos obras principales al respecto se
titularon Conceptografía (1879) y Los fundamentos de la
aritmética (1884). Sin embargo, a principios del siglo
XX, Bertrand Russell descubrió una inconsistencia grave
en los principios de los que Frege había partido, hoy
conocida como la Paradoja de Russell. Esto desanimó a
Frege, quien terminó abandonando el proyecto.
Logicismo
5. Logicismo
Entre 1910 y 1913, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead
publicaron Principia Mathematica, un intento monumental de
reparar los problemas en el sistema de Frege y completar el
proyecto logicista. Sin embargo, el sistema de Principia
Mathematica tuvo sus propios problemas. En particular, dos de
sus axiomas fueron muy cuestionados: por un lado el axioma de
infinitud, que afirma que existe un número infinito de objetos,
fue criticado por parecer más una proposición empírica que una
verdad lógica. Por otro lado, el axioma de reducibilidad, que
resuelve algunas dificultades técnicas del sistema, fue criticado
por ser demasiado ad hoc como para estar filosóficamente
justificado.
6. ¿Qué es el Razonamiento?
Operación mental por la cual a partir de una o
varias premisas se deduce una nueva premisa,
también llamada conclusión.
Premisas:
a) Cristian es mayor que Verónica
b) Verónica nació dos años antes que Silvana.
Conclusión: “Cristian es mayor que Silvana”
7. ¿Qué es la Lógica? 1er intento
La ciencia de las leyes del pensamiento
Pensamiento es “materia” de los psicólogos
No todos los pensamientos son “materia” de la lógica
Todo razonamiento es un pensamiento pero no todo pensamiento es
un razonamiento
Recordar, lamentarse, imaginarlo
Asociación libre – una imagen remplaza a otra sin orden lógico
El sueño
8. ¿Qué es la Lógica? 2do intento
La ciencia del razonamiento
Gracias a un razonamiento se resuelve un problema, a través de un
proceso que extrae conclusiones a partir de premisas
Este proceso es :
Extremadamente complejo
Emotivo
Compuesto de un ciclo de prueba-error
“Iluminado” por momentos de comprensión o intuición
9. ¿Qué es la Lógica? 3er intento
Es el estudio de los métodos y principios que se usan
para distinguir el razonamiento bueno (correcto) del
malo (incorrecto)
¿Un arte o una ciencia?
La práctica llevará al perfeccionamiento
Análisis de las falacias
errores frecuentes del razonamiento
10. ¿Qué es la Lógica?
Es el análisis formal de los razonamientos, es decir
si la conclusión del razonamiento deriva de una
secuencia lógica de las premisas que la
fundamentan.
Premisas:
a) Cristian es mayor que Verónica
b) Verónica nació dos años antes que
Silvana.
Conclusión: “Cristian es mayor que Silvana”
¿La conclusión es Verdadera o Falsa?
11. La Lógica
¿Tiene solución el problema?
¿Se sigue la conclusión de las premisas que se han afirmado o
supuesto?
Si el problema queda resuelto, si las premisas proporcionan las
bases adecuadas para afirmar la verdad de la conclusión,
entonces el razonamiento es correcto. De lo contrario es
incorrecto.
La distinción entre razonamiento correcto e incorrecto es el
problema central con el que trata la lógica
12. División de la Lógica
L
O
G
I
C
A
G
E
N
E
R
A
L
Lógica
Dialéctica
Lógica
Formal
(Lógica Matemática)
Estudia el contenido
Estudia la forma
Lógica Proposicional
13. Proposiciones
Proposición es el contenido de una oración el cual puede
ser verdadero o falso
Difieren de las preguntas, órdenes y exclamaciones
Éstas no pueden ser verdaderas o falsas
Dos oraciones pueden emplearse para afirmar la misma proposición
Juan ama a María
María es amada por Juan
Usamos el término proposición para referirnos al contenido que ambas
oraciones afirman
14. ¿Qué es una Proposición?
Es toda frase con sentido completo y que puede ser valorada
como verdadera o falsa.
Es una afirmación que comunica una idea verdadera o falsa
Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa
Una proposición es una sentencia (oración) correctamente
formada que puede ser verdadera o falsa
Es una sentencia declarativa.
Representa un hecho de la realidad.
Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un
predicado, tiene un valor afirmativo.
Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no
afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.
15. Una proposición puede identificarse a través de una
variable proposicional (letras minúsculas)
Ejemplos: Variables Proposicionales
Letras minúsculas de la “p” a la “z”
– p: Los perros siempre tienen tres patas.
– q: Miriam se casará con Ricardo.
Proposiciones
16. Proposiciones
Una proposición se interpreta en un contexto
El presidente actual es del partido de la U
Dependiendo del momento, esta oración
corresponde a un enunciado verdadero (Juan
Manuel Santos) o a un enunciado falso (Andrés
Pastrana)
Los términos enunciado y proposición no son
exactamente sinónimos
17. 1 + 4 = 5
(Verdad)
La Pampa es una
nación. (Falso)
8 + 23 (no es
proposición)
María (no es
proposición)
Ejemplos
Analiza si son o no
proposiciones
Luís y Marta van de pesca.
Luis llamó a Marta para salir.
El autobús pasa a las seis
Mañana lloverá.
¡siéntate!
¿cuándo sale el autobús?
¿fueron a pescar Luis y Marta
finalmente?
18. Términos esenciales
Inferencia es el proceso por el cual se llega a una
proposición y se afirma sobre ella en base de una o
más proposiciones aceptadas como punto inicial del
proceso
19. Argumento
En correspondencia a cada inferencia existe un
argumento
Un argumento es cualquier conjunto de
proposiciones de las cuales se dice que una se
sigue de las otras, que pretenden apoyar o
fundamentar su verdad
20. Premisa-Conclusión
Un argumento tiene una estructura: premisa-
conclusión
La conclusión de un argumento es la proposición
que se afirma con base en las otras proposiciones
del argumento
Las otras proposiciones afirmadas o supuestas
para aceptar la conclusión son las premisas del
argumento.
21. Hay dos tipos de
proposiciones
Simples o Atómicas: Son aquellas que constan
de sólo una proposición, como las
mencionadas anteriormente:
“La ventana es rectangular”, “el disco es
redondo”, etc.
Compuestas o Moleculares: Son aquellas que
constan de dos o más proposiciones, unidas
mediante las llamadas conectivas lógicas: la
conjunción, la disyunción, la condicional y la
bicondicional:
“La ventana es rectangular y el marco es de
madera”
“Si hoy es lunes entonces mañana es martes”
Clases de proposiciones
22. Proposiciones Atómicas o Simples
Una proposición Simple es una afirmación
conformada por una sola oración gramatical.
Una proposición es simple o atómica si no puede
ser descompuesta en proposiciones más simples.
Las proposiciones simples o atómicas son indicadas
de manera afirmativa.
23. Ejemplos:
r: Un triángulo equilátero es aquel cuyos lados tienen la
misma medida
Es una proposición simple, puesto que está conformada por
una sola oración.
La casa es grande. (es atómica)
La casa no es grande. ( no es atómica)
Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)
Proposiciones Atómicas o Simples
24. Proposiciones Moleculares o Compuestas
Una proposición es compuesta o molecular
si no es atómica, es decir, si puede ser
descompuesta en proposiciones más
simples.
Una proposición compuesta o molecular se
forma al unir proposiciones atómicas
utilizando conectivos lógicos o términos de
enlace.
25. Ejemplos
Vamos en bicicleta o vamos a pie.
No es cierto que Juan llegó temprano
Juan no llegó temprano
Luis es arquitecto y Martín es médico.
La medalla no es de plata y el diploma parece falso.
Matías aprobó pero Lucas no.
Proposiciones Moleculares o Compuestas
26. Son términos funcionales que enlazan las proposiciones
simples para formar proposiciones compuestas.
Monádicos
Diádicos
Negador
Conjuntor
Disyuntor Débil
Disyuntor Fuerte
Implicador
Replicador
Biimplicador
Operadores o Conectivos Lógicos
27. Operadores o Conectivos Lógicos
Los conectivos lógicos o conectores son
palabras que vinculan las ideas expresadas en dos
o más proposiciones simples, para comunicar
algo más complejo. Los conectivos lógicos están
identificados con un símbolo especial y un
nombre que representan la función que cumplen.
30. Negación ~
Definición: Negación de la proposición p es la
proposición –p (no p), cuya tabla de valores de
verdad es:
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de
una proposición se obtiene otra, que es su negación
p
p
p
V F
F V
p
31. Negación
Cambia el valor de verdad de una proposición
simple.
~
Ejemplo:
p: Ricardo juega en el patio
q: Eduardo estudia matemática
Aplicando el operador lógico resulta:
~p: Ricardo no juega en el patio
~q: Es falso que Eduardo estudia matemática
32. La negación de
p: Todo hombre es honesto.
Es:
-p: no todo hombre es honesto.
O bien:
-p: no es cierto que todo hombre es honesto.
-p: hay hombres que no son honestos.
-p: Existen hombres deshonestos.
La cual es V, ya que la primera es falsa
Negación ~
33. Conjunción
Definición: Conjunción de las proposiciones p y q es la
proposición p q, cuya tabla de valores de verdad es:
La tabla que define la operación establece que la
conjunción sólo es verdadera si lo son las dos
proposiciones componentes. En todo otro caso es falsa
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
34. Conjunción
La Conjunción es una operación lógica que usa el conectivo
“Y” para relacionar dos proposiciones simples y construir
una proposición compuesta.
Ejemplo:
p: Ricardo juega en el patio
q: Eduardo estudia matemática
Aplicando el operador lógico resulta:
pq: Ricardo juega en el patio y Eduardo
estudia matemática.
qp: Eduardo estudia matemática mientras
que Ricardo juega en el patio.
35. p: Ocho es un numero par (V)
q: Es divisible entre cuatro (V)
p q :Ocho es un número par y es divisible entre
cuatro (V)
‘’’’’’’’’
r: Colombia es un país de Suramérica (V)
s: Fidel Castro es el Presidente de Colombia (F)
r s : Colombia es un país de Suramérica y Fidel
Castro es su presidente (F)
36. p: Simón Bolívar es el libertador de Estados Unidos (F)
q: Caracas es la capital de Venezuela (V)
p q : Simón Bolívar es el libertador de Estados Unidos
y Caracas es la capital de Venezuela (F)
‘’’’’’’’’
r: Bogotá es la capital de Suráfrica (F)
s: La Tierra es el centro del sistema solar (F)
r s: Bogotá es la capital de Suráfrica y la tierra es el
centro del sistema solar (F)
37. Disyunción
Definición: Disyunción de las proposiciones p y q es la
proposición p q (p o q), cuya tabla de valores de
verdad es:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
38. Disyunción
La Disyunción de dos proposiciones simples se obtiene
usando el conectivo lógico “o”. Si r y s son dos
proposiciones simples la disyunción se escribe r s y se
lee r o s.
La Disyunción O es utilizada en sentido incluyente, ya
que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al
menos una de las proposiciones de V. En el lenguaje
ordinario la palabra O es utilizada en sentido excluyente o
incluyente.
39. Disyunción
La ambigüedad se elimina con la elección del símbolo
adecuado.
En matemática se utiliza la disyunción definida por la
tabla precedente, la cual agota la posibilidad.
La disyunción solo es F en el caso en que las dos
proposiciones componentes sean falsas.
40. Afirma que una de las proposiciones puede ser verdadera.
Ejemplo:
p: Ricardo juega en el patio
q: Eduardo estudia matemática
Aplicando el operador lógico resulta:
p q: Ricardo juega en el patio o Eduardo
estudia matemática.
Disyunción
41. p: Putumayo es un Departamento de Colombia (V)
q: El río Amazonas es el más caudaloso del mundo (V)
p q : Putumayo es un Departamento de Colombia o el
río Amazonas es el más caudaloso del mundo (V)
///////////
r: Gabriel García Márquez es un escritor (V)
s: Shakira no es una cantante colombiana (F)
r s : Gabriel García Márquez es un escritor o Shakira
no es una cantante colombiana (V)
42. p: Camilo Villegas no es un Golfista (F)
q: Edgar Rentería es un beisbolista (V)
p q : Camilo Villegas no es golfista o Edgar Rentería
es un beisbolista (V)
///////////
r: Leonel Messi es un cantante famoso (F)
s: Radamel Falcao es un futbolista peruano (F)
r s : Leonel Messi es un cantante famoso o Radamel
Falcao es un futbolista peruano (F)
43. Implicación
La implicación de dos proposiciones simples se obtiene
utilizando el conectivo lógico si… entonces. La
implicación entre dos proposiciones simples t y k se
escribe t k y se lee si t entonces k.
t k t k
V V V
F V V
V F F
F F V
44. En la implicación t k, t es condición necesaria y
suficiente para que ocurra k, por esta razón, a t se le
denomina antecedente y a k consecuente.
Por ejemplo, sean t y k las proposiciones:
t: Camilo estudia
k: Aprobará el año
Se escribe t k y se lee
Si Camilo estudia, entonces, aprobará el año
45. Implicación
Indica una relación de causa-efecto.
La proposición de la izquierda condiciona a la de la
derecha.
Admite más de un condicionante.
Ejemplo:
p: Eduardo estudia matemática
q: Eduardo juega en el patio
Aplicando el operador lógico resulta:
p→q: Si Eduardo estudia matemática
entonces Eduardo jugará en el patio.
46. Ejemplos de Implicación
Establece el valor de verdad de cada proposición
simple. Luego determina el valor de verdad de cada
implicación.
p: La Tierra está en el sistema solar (V)
r: La Tierra gira alrededor del Sol (V )
q: La Tierra no es un planeta (F)
s: La Tierra es una estrella (F)
p r : Si la Tierra está en el sistema solar, entonces,
la Tierra gira alrededor del sol (V)
47. q s : Si la Tierra no es un planeta, entonces, la
Tierra es una estrella (V)
s p : Si la Tierra es una estrella, entonces, la Tierra
está en el sistema solar (V)
p q : Si la Tierra está en el sistema solar, entonces,
la Tierra no es un planeta (F)
p s: Si la Tierra está en el sistema solar, entonces, la
Tierra es una estrella (F)
r q : Si la Tierra gira alrededor del Sol, entonces, la
Tierra no es un planeta (F)
49. Equivalencia
La Equivalencia entre dos proposiciones simples se
establece utilizando el conectivo lógico “sí y sólo sí”.
Para representar la equivalencia entre dos
proposiciones m y v se escribe m v y se lee m si y
solo sí v.
m v m v
V V V
V F F
F V F
F F V
50. La equivalencia entre dos proposiciones simples
es verdadera cuando ambas son verdaderas, o
cuando ambas son falsas.
Cuando dos proposiciones m y v son
equivalentes, se da a entender que m es
condición necesaria y suficiente para que se
cumpla v, y a su vez, v es condición necesaria y
suficiente para que se cumpla m. Es decir, se
cumple que m v y v m
51. Ejemplo
Sean las proposiciones m y v
m: Los estudiantes ganarán el año escolar
v: Los estudiantes estudian juiciosamente
m v: Los estudiantes ganarán el año
escolar, si y sólo sí, los estudiantes estudian
juiciosamente.
52. Ejemplo
Sean las proposiciones p, q, s y t
p: Cartagena es la capital del departamento de
Bolívar
q: Colombia es un país de Suramérica
s: Bolívar es un Departamento de Colombia
t: Simón Bolívar no es Libertador de Colombia
p q: p t:
p s: q t:
s q:
q p: t p:
s p:
53. Ideas Claves - Proposiciones
Proposición
Frase que es cierta o
falsa.
No ambos
Simple
Formada por un sujeto
o término y un
predicado
Abierta
El término es variable y de él depende el valor de verdad
X es par
Cerrada
El término es constante. Es verdadera o falsa.
2 es par
Compuesta
Formada por 2 o más
proposiciones simples
unidas por un
conectivo lógico
Conjunción
El conectivo es «y», se simboliza . Solo es verdadera cuando
las proposiciones simples que la forman son verdaderas
Disyunción
El conectivo lógico es «o», se simboliza . Sólo es falsa cuando
las proposiciones que la forman son falsas
Implicación
El conectivo lógico es «si… entonces». Se simboliza . Sólo
es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente falso
Equivalencia (Doble Implicación)
El conectivo es «si y sólo si». Se simboliza . Es verdadera si
las proposiciones que la forman tienen igual valor de verdad
54. Conjuntos
Noción de Conjuntos
a. Determinación de Conjuntos
b. Representación gráfica de Conjuntos
c. Clasificación de Conjuntos
Relaciones entre Conjuntos
Operaciones entre Conjuntos
a. Unión entre Conjuntos
b. Intersección entre conjuntos
c. Complemento de un Conjunto
d. Diferencia entre Conjuntos
e. Diferencia Simétrica
55. Introducción
La teoría de conjuntos que conocemos hoy día la
debemos principalmente al matemático alemán
George Cantor (1845-1918). Algunas de las cosas
que él demostró se contrapuso a la teoría aceptada
en su época.
Tuvo un largo debate sobre el concepto del infinito y
trabajó el concepto de cardinalidad de un conjunto.
56. Los conjuntos se aplican en muchas áreas de la
vida diaria ya que la mayor parte de lo que
observamos a nuestro alrededor se compone de
elementos de un conjunto.
Hay conjuntos que son subconjunto de otros, hay
conjuntos que son finitos y otros que son infinitos.
Introducción
57. Noción de Conjuntos
En matemáticas el concepto de conjunto es
considerado primitivo y no se da una definición de
este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe
aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto se puede entender como una colección
o agrupación bien definida de objetos de cualquier
clase. Los objetos que forman un conjunto son
llamados miembros o elementos del conjunto.
59. 59
Un conjunto es una colección de objetos considerada
como un todo.
Los objetos de un conjunto son llamados elementos o
miembros del conjunto.
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier
cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
Un conjunto no posee elementos repetidos.
Noción de Conjuntos
60. ¿Qué entendemos por Conjunto?
Un conjunto es una agrupación o
colección bien definida de objetos,
llamados elementos, con un criterio
que permite identificar cuándo un
objeto determinado pertenece o no
a la agrupación
61. ¿Qué entendemos por Elemento?
Llamaremos elemento, a cada uno de
los objetos que forman parte de un
conjunto, estos elementos tienen
carácter individual, tienen cualidades
que nos permiten diferenciarlos, y cada
uno de ellos es único, no habiendo
elementos duplicados o repetidos
62. Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le
denota o designa mediante letras mayúsculas A,
B, C, ...,sus elementos se separan mediante
punto y coma.
Ejemplo:
El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ...,
x, y, z. se puede escribir así:
L={ a; b; c; ...; x; y; z}
Notación de Teoría de Conjuntos
63. Notación de Teoría de Conjuntos
Los elementos que forman el conjunto se
simbolizan o denotan con letras minúsculas: a, b,
c, d, a menos que dichos elementos sean a su
vez conjuntos.
En teoría de conjuntos no se acostumbra
repetir los elementos por ejemplo:
El conjunto {x; x; x; y; y; z }
simplemente será { x; y; z }.
64. Notación de Teoría de Conjuntos
Ejemplo:
A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=
B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)=
Al número de elementos que tiene un conjunto
Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se
le representa por n(Q).
5
3
65. Determinación de Conjuntos
Cuando se expresa un conjunto es importante
determinarlo de tal forma que se pueda decir si un
elemento le pertenece o no. Hay dos formas de
determinar conjuntos:
Por extensión o forma tabular: Se dice que un
conjunto es determinado por extensión (o
enumeración), cuando se da una lista que
comprende a todos los elementos del conjunto y
sólo a ellos. En un conjunto determinado por
extensión no se repite un mismo elemento. Por
ejemplo: B = { 2, 4, 6, 8 }
66. Determinación de Conjuntos
I) POR EXTENSIÓN (Enumerando sus elementos)
A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y
menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
Ejemplos:
B) El conjunto de números negativos impares
mayores que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
67. Determinación de Conjuntos
Por comprensión o forma constructiva: Se dice
que un conjunto es determinado por comprensión,
cuando se da una propiedad que la cumpla en
todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
Este implica usar la notación siguiente para
determinar un conjunto dado A.
A = { x tal que x es un objeto que verifica una
condición dada }
O en forma más simple:
A = { x / x es un objeto que verifica una condición dada }
El símbolo / se lee «tal que»
68. Determinación de Conjuntos
Ejemplos:
II) POR COMPRENSIÓN (Indicando alguna caracterización de
sus elementos)
se puede entender que el conjunto P esta formado
por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los números dígitos }
Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee
“ P es el conjunto formado por los elementos x tal
que x es un dígito “
69. Representación Gráfica de Conjuntos
Un conjunto se puede representar gráficamente en
un diagrama conocido como Diagrama de Venn; en
el caso e los conjuntos numéricos también se
pueden expresar mediante un diagrama lineal. Por
ejemplo, el conjunto N = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5……}
Diagrama Lineal
70. Diagramas de Venn: Los diagramas de Venn que se deben al
filósofo inglés John Venn (1834-1883). Son esquemas que nos
permiten hacer la representación grafica de los conjuntos
mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos,
rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una
curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado
pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar
(implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son
empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus
operaciones, y constituyen una poderosa herramienta
geométrica, desprovista de validez lógica.
Representación Gráfica de Conjuntos
72. Los conjuntos que se encuentran en el universo, se
representan por líneas curvas cerradas que demarcan
los elementos del conjunto.
2
3 5
4 1
A U
Representación Gráfica de Conjuntos
73. Clasificación de Conjuntos
Los Conjuntos se clasifican según su cantidad de
elementos.
CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL
Es el conjunto que sirve de referencia para otros
conjuntos; contiene a todos los elementos de una
situación particular, generalmente se le representa por
la letra U. Ejemplo:
Si el conjunto P se define como P = {x/x es una vocal},
el conjunto referencial correspondiente es U = {x/x es
una letra del abecedario}
75. Clasificación de Conjuntos
A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A
es el conjunto nulo “
CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que no tiene elementos, también se
le llama conjunto nulo. Generalmente se le
representa con la letra griega que se lee «fi», o con
un par de llaves sin elementos en su interior { }
Ejemplo:
M = { números mayores que 9 y menores que 5 }
76. Clasificación de Conjuntos
CONJUNTO FINITO
Es un conjunto que está formado por un
número determinado de elementos, y por
tanto, que se puede contar.
Ejemplo:
E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 }
77. CONJUNTO INFINITO
Es un conjunto que está formado por un número
indeterminado de elementos, por tanto, no se
puede contar.
Ejemplo:
S = { x / x es un número par }
Clasificación de Conjuntos
78. Relaciones entre Conjuntos
Cuando se habla de conjuntos se puede dar
dos tipos de relaciones: una entre un elemento
y un conjunto, y otra entre conjuntos.
Relación entre un Elemento y un Conjunto
La relación que se establece entre un elemento
y un conjunto se conoce con el nombre de
Relación de Pertenencia.
79. Relación de pertenencia
Para indicar que un elemento pertenece a un
conjunto se usa el símbolo:
Si un elemento no pertenece a un conjunto se
usa el símbolo:
Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}
2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M
5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M
80. 80
Ejemplo
a A (a pertenece a A)
b A (b no pertenece a A)
a
Relación de pertenencia
e
i
b
c
o
u
V
81. Relación entre Conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, entre ellos se pueden
presentar las siguientes relaciones:
INCLUSIÓN
Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y
sólo sí, todo elemento de A es también elemento de
B. Es decir para todo x A x B, se representa
como A B, y se lee A esta incluido en B, A es
subconjunto de B, A esta contenido en B , A es
parte de B.
83. PROPIEDADES
I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. A A
II ) El conjunto vacío se considera incluido en cualquier
conjunto. A
III ) A está incluido en B ( ) equivale a decir que
B incluye a A ( )
A B
B A
IV ) Si A no está incluido en B o A no es subconjunto de
B significa que por lo menos un elemento de A no
pertenece a B. ( )A B
V ) Simbólicamente: A B x A x B
Relación entre Conjuntos - Inclusión
84. Relación entre Conjuntos - Igualdad
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si todos los
elementos de A son elementos de B y todos los
elementos de B son elementos de A. La igualdad entre
dos conjuntos se simboliza A = B y se lee A es igual a B.
Ejemplo:
A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene
en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-
3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B
Simbólicamente : A B (A B) (B A)
85. Ejemplos:
A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 1, 2} entonces A = B
C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} y D = 1, 2, 2, 3, 4, 4} entonces C = D
E = {vocal de la palabra mundo} y F = {u, o } entonces E = F
Relación entre Conjuntos - Igualdad
A = B
A
86. Relación entre Conjuntos - Intersecantes
INTERSECANTES
Dos conjuntos A y B son intersecantes cuando tienen
elementos comunes pero A B y B A. Es decir, A
no está contenido en B y B no está contenido en A.
A B
87. Relación entre Conjuntos - Disyuntos
DISYUNTOS
Dos conjuntos A y B son Disyuntos cuando no tienen
ningún elemento en común.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
A B
1
7
5 3
9
2
4
8
6
Como puedes
observar los conjuntos
A y B no tienen
elementos comunes,
por lo tanto son
CONJUNTOS
DISJUNTOS
88. 88
Operaciones entre Conjuntos
Las operaciones entre conjuntos permiten
combinar dos o más conjuntos para producir
otros conjuntos bajo reglas bien definidas.
Si se tiene el conjunto referencia o universal U, y
los conjuntos A y B, se pueden definir entre ellos
las siguientes operaciones: Unión, Intersección,
Complemento, Diferencia y Diferencia Simétrica.
89. 89
A B = {x / x A x B }
Unión entre Conjuntos
La unión de los
conjuntos A y B es el
conjunto formado por
todos los elementos que
pertenecen tanto al
conjunto A como al
conjunto B. Se denota:
A U B.
92. Propiedades de la Unión entre
Conjuntos
1.A B = B A. La Unión es conmutativa.
2.(A B) C = A (B C). La Unión es
asociativa.
3.A = A , para todo A.
4.A U = U, para todo A.
93. 93
A B = { x / x A x B }
Se define la intersección
de dos conjuntos A y B
al conjunto formado por
los elementos que
pertenecen al conjunto A
y al conjunto B. Se
denota por A B, que
se lee: A intersección B.
Intersección entre Conjuntos
96. Propiedades de la Intersección
entre Conjuntos
1. A B = B A. La Intersección de conjuntos es
conmutativa
2. (A B) C = A (B C). La intersección de
conjuntos es asociativa
3. A (B C) = (A B) (B C). La intersección de
conjuntos es distributiva con respecto a la unión.
4. A (B C) = (A B) (B C). La Unión de
conjuntos es distributiva con respecto a la intersección
5. A = , para todo A
6. A U = A, para todo A
97. Complemento de un Conjunto
Ac = {x / x U x A }
U A
El complemento de un
conjunto A contenido en
un conjunto Universal U
es el conjunto formados
por todos los elementos
que están en el conjunto
U pero no están en el
conjunto A. El
complemento de A se
escribe Ac.
98. Leyes de Morgan
Dados dos conjuntos A y B, se verifican las
siguientes propiedades conocidas como Leyes
de Morgan:
1.(A B)c = Ac Bc
2.(A B)c = Ac Bc
99. 99
B – A = {x / x B x A }
La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen al
conjunto A y que no pertenecen al conjunto B. La
diferencia se denota por: A – B que se lee: A diferencia
B o A menos B.
Diferencia entre Conjuntos
102. Propiedades de la Diferencia
entre Conjuntos
1. Si A B, entonces, A – B =
2. Si B A, entonces, A – B = Bc
A (complemento de
B con respecto a A)
3. A - = A , para todo A
4. A – U =
5. U – A = Ac
103. Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el
conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a la unión de A y B y no pertenecen a la
intersección entre A y B. La diferencia simétrica entre
los conjuntos A y B se simboliza A B.
105. A B (A B) (A B)
A B
Diferencia Simétrica
106. Propiedades de la
Diferencia Simétrica
1. A B = B A. La diferencia simétrica es conmutativa
2. A y B son conjuntos disyuntos, entonces, A B = A B
3. A = A, para todo A
4. A U = U – A = Ac
108. Dados los conjuntos:
A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34}
B = { 2 ;4;6;...;26}
C = { 3; 7;11;15;...;31}
a) Expresar B y C por comprensión
b) Calcular: n(B) + n(A)
c) Hallar: A B , C – A
SOLUCIÓN
109. Expresar la región sombreada en
términos de operaciones entre los
conjuntos A,B y C.
A B
C
A
B
C
SOLUCIÓN
110. Según las preferencias de 420
personas que ven los canales A,B
o C se observa que 180 ven el
canal A ,240 ven el canal B y 150
no ven el canal C, los que ven por
lo menos 2 canales son
230¿cuántos ven los tres canales?
SOLUCIÓN
111. 111
Ejercicios
Dados los conjuntos
A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4}
Calcular
A B =
A B =
A – B =
B – A =
A B C =
A – ( B – C) =
{ 1,2 }
{ 1, 2, 3, 4, 5 }
{ 3 }
{ 4, 5 }
{ 2 }
{ 2, 3 }