El documento introduce los árboles como un tipo particular de grafo conexo sin ciclos. Explica que los árboles son útiles en informática para algoritmos de búsqueda y compresión de datos. También se usan para modelar problemas como redes de comunicación. Luego define formalmente los árboles y presenta conceptos clave como raíz, nodos internos, hojas, altura y subárboles.

1. Sección 9.1
Introducción a los Árboles
Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen
Esteban Andrés Díaz Mina

2. Introducción
Un grafo conexo que no contiene ciclos se llama árbol.
Los arboles son particularmente útiles en informática,
pues son usados en un amplio espectro de algoritmos.
Por ejemplo, los arboles se usan para construir
algoritmos eficientes que localizan elementos en una
lista. También pueden usarse en algoritmos, como los
códigos de Huffman, que construyen códigos
compresores eficientes, ahorrando costos en la
transmisión de los datos y en su posterior
almacenamiento.

3. Introducción
Los arboles se pueden emplear para estudiar juegos
como las damas y el ajedrez y pueden ayudar a
determinar estrategias ganadoras para cada uno de
estos juegos.

4. Introducción
Los procedimientos para construir arboles que
contengan todos los vértices de un grafo, incluye la
búsqueda en profundidad y la búsqueda en anchura
que son estrategias usadas para explorar
sistemáticamente los vértices de un grafo.
Recorrer los vértices haciendo una búsqueda en
profundidad, es la base de la búsqueda sistemática
de soluciones a una variedad de problemas, tales
como determinar el modo de colocar ocho reinas en
un tablero de ajedrez de modo que dos cualquiera
no se amenacen.

5. Introducción
 Podemos modelar muchos problemas asignando
pesos a las aristas de un árbol.
 Por ejemplo, utilizando arboles ponderados
podemos desarrollar algoritmos para construir
redes que contengan el conjunto menos costoso de
líneas de comunicación entre distintos nodos de la
red.

6. Introducción
 Ahora nos centraremos en un tipo particular de
grafo denominado árbol, llamado así porque tales
grafos se asemejan a los árboles.
 Por ejemplo, los árboles genealógicos son grafos que
representan relaciones de parentesco. Los árboles
genealógicos utilizan los vértices para representar a
los miembros de una familia y las aristas para
representar las relaciones entre padres e hijos.

7. Árbol Genealógico – Familia Bernulli
El árbol genealógico de la familia de matemáticos
suizos Bernulli se muestra la siguiente figura.

8. Definición 1
 Un árbol es un grafo no dirigido, conexo y que no
tiene circuitos.
 Por definición, los arboles no tienen aristas
múltiples y no tienen ciclos, es decir son grafos
simples conectados, sin circuitos.
 Teorema 1. Un grafo no dirigido es un árbol si y
sólo si existe un camino simple único entre cada
par de vértices.

9. Arboles y Grafos que no son Arboles

10. Definición 2
Arboles con raíz
 Un árbol con raíz es un árbol en el que uno de sus
vértices ha sido designado como la raíz y todas las
aristas están orientadas de modo que se alejan de
la raíz.

11. Terminología de Arboles
 La terminología para los arboles tiene origen en la
botánica y la genealogía. En un árbol con raíz se
habla de padre, hijos, hermanos, ancestros y
descendentes.
El padre de v es el único
vértice u tal que hay una
arista dirigida de u a v.
Se dice igualmente que v
es el hijo de u.
Los vértices con el mismo
padre son llamados hermanos.

12. Terminología de Árboles
 Los ancestros de cualquier vértice diferente a la
raíz son los vértices en el camino desde la raíz
hasta él (incluyendo la raíz, pero excluyéndolo a él).
 Los descendientes de un vértice son todos aquellos
que tienen a v como su ancestro.
 Un vértice es llamado una hoja si no tiene hijos.
 Los vértices que tienen hijos son llamados vértices
internos.

13. Terminología de Árboles
 Si a es un vértice en un árbol, el subárbol con a
como la raíz es el subgrafo del árbol que consiste de
a y sus descendentes y todas las aristas que
inciden con esos descendentes.

14. Definición 3
 Un árbol con raíz es un árbol m-ario, si cada vértice
interno tiene a lo sumo m hijos. Es un árbol m-ario
completo, si cada nodo interno tiene exactamente m
hijos. Un árbol m-ario con m=2 se denomina árbol
binario.

15. Árboles m-arios
 Un árbol ordenado con raíz es un árbol con raíz en
el que los hijos de cada vértice interno están
ordenados. Los arboles ordenados con raíz se
dibujan de forma que los hijos de cada nodo interno
se colocan ordenados de izquierda a derecha. Por el
otro lado, la representación gráfica de un árbol con
raíz induce un orden entre los hijos de cada vértice
(leyendo los hijos de la izquierda a la derecha).

16. Árboles binarios Ordenados
 En un árbol binario ordenado, si un vértice tiene
dos hijos, el primer hijo es llamado hijo izquierdo y
el segundo hijo es llamado el hijo derecho.
 El árbol con raíz del hijo izquierdo del vértice es
llamado subárbol izquierdo de este vértice y el árbol
con raíz del hijo derecho de un vértice es llamado
subárbol derecho del vértice.

17. Árboles como Modelo
 Los árboles son usados como modelos en
diversas áreas tales como ciencia de la
computación, química, geología, botánica y
psicología.
 A continuación describiremos una variedad de
tales modelos basados en arboles.

18. Sistema de Archivos de Computador
 Los archivos en la memoria de un computador
puede ser organizado en directorios.
 Un directorio puede contener archivos y
subdirectorios.
 El directorio raíz contiene la información del
sistema de archivos completo. Entonces, un
sistema de archivos puede ser representado por un
árbol etiquetado donde la raíz representa el
directorio raíz, los vértices internos representan
subdirectorios y las hojas representan archivos
simples o directorios vacíos.

19. Sistema de Archivos de Linux

20. Propiedades de los Árboles
 Con frecuencia se requiere de propiedades que
relacionen el número de aristas y vértices en
diferentes tipos de árboles.
 Teorema 2. Un árbol con n vértices tiene n-1
aristas.
 Teorema 3. Un árbol m-ario completo con i vértices
internos contiene n=mi+1 vértices.

21. Propiedades de los Árboles

22. Propiedades de los Árboles
 El nivel de un vértice v en un árbol con raíz es la
longitud del camino único desde la raíz a ese vértice
(donde el nivel de la raíz es 0). La altura de un árbol
con raíz es el nivel máximo.
 Un árbol con raíz m-ario de altura h es balanceado
si todas las hojas están en nivel h o h-1.
 Teorema 5. Un árbol m-ario de altura h tiene, a lo
sumo mh hojas.

23. Problemas Propuestos
Problemas Sección 9.1
2 4 6 8 17 18 20