Gráficos de control 2

Torreón, Coahuila Lunes 29 de julio de 2013
Gráficos de control
Carrera: Procesos Industriales
Grupo: 3 Sección: A
Alumno (a): Javier Alejandro Chávez Ortega
Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz

Introducción
La idea tradicional de inspeccionar el producto final y eliminar las unidades que no
cumplen con las especificaciones una vez terminado el proceso, se reemplaza por
una estrategia más económica de prevención antes y durante del proceso
industrial con el fin de lograr que precisamente estos productos lleguen
al consumidor sin defectos.
Así las variaciones de calidad producidas antes y durante el proceso pueden ser
detectadas y corregidas gracias al empleo masivo de Gráficas de Control.
Según este nuevo enfoque, existen dos tipos de variabilidad. El primer tipo es una
variabilidad aleatoria debido a "causas al azar" o también conocida como "causas
comunes". El segundo tipo de variabilidad, en cambio, representa un cambio real
en el proceso atribuible a "causas especiales", las cuales, por lo menos
teóricamente, pueden ser identificadas y eliminadas.
Los gráficos de control ayudan en la detección de modelos no naturales de
variación en los datos que resultan de procesos repetitivos y dan criterios para
detectar una falta de control estadístico. Un proceso se encuentra bajo control
estadístico cuando la variabilidad se debe sólo a "causas comunes".
Los gráficos de control de Shewart son básicamente de dos tipos; gráficos de
control por variables y gráficos de control por atributos. Para cada uno de los
gráficos de control, existen dos situaciones diferentes; a) cuando no
existen valores especificados y b) cuando existen valores especificados.
Se denominan "por variables" cuando las medidas pueden adoptar un intervalo
continuo de valores; por ejemplo, la longitud, el peso, la concentración, etc. Se
denomina "por atributos" cuando las medidas adoptadas no son continuas;
ejemplo, tres tornillos defectuosos cada cien, 3 paradas en un mes en la fábrica,
seis personas cada 300, etc.

Gráfico de control para variables
Gráfico x-r
Paso 1: Colectar los datos.
Variables a considerar.
La elección se basa en el propósito de reducir o impedir los rechazos, los costos,
el desperdicio, el reproceso, etc.
Elegir algo que pueda ser medido y expresado en números: dimensiones, dureza,
fragilidad, resistencia, peso, etc.
Elección del tamaño y la frecuencia de la obtención de los datos representativos.
Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los
cuales deben de ser registrados y agrupados de la siguiente manera:
Se toma una muestra (subgrupo) de 2 a 10 piezas consecutivas (Shewhart sugiere
4) sin embargo es muy común utilizar 5 y se anotan los resultados de la medición.
Durante un estudio inicial, los subgrupos pueden ser tomados consecutivamente o
a intervalos cortos para detectar si el proceso puede cambiar o mostrar
inconsistencia en breves periodos de tiempo. Algunos recomiendan que el
intervalo sea de ½ a 2 hrs., ya que más frecuentemente puede representar
demasiado tiempo invertido, y si es menos frecuente pueden perderse eventos
importantes que sean poco usuales.
Elección de cuantos subgrupos tomar.
Mientras menor sea el número de subgrupos que tomemos, más pronto tendremos
una idea para actuar, pero menor será la seguridad de que esta base sea
confiable. Es conveniente tener al menos 25 subgrupos; la experiencia indica que
las primeras muestras pueden no ser representativas de lo que se mide
posteriormente.
Paso 2: Calcular el promedio y Ri para cada subgrupo

Paso 3: Calcular el promedio de rangos y el promedio de promedios.
Paso 4: Calcular los límites de control.
Los límites de control son calculados para determinar la variación de cada
subgrupo, están basados en el tamaño de los subgrupos y se calculan de la
siguiente forma:
Paso 5: Trazar la gráfica de control.
Una carta de control -R nos presenta dos gráficos en una hoja, la grafica superior
es la de las medias y la grafica inferior es la de rangos R.
En el eje de las “x” se representa el número de subgrupos (se anotan los números
cardinales que representan las muestras sucesivas).
En el eje de las “y” se representan los valores de las medias ó rangos según
corresponda a la gráfica que estemos trazando.
Para la gráfica para las medias
La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLx, línea
central CLx y límite de control superior UCLx. La línea central es el promedio de
promedios y los dos límites de control son fijados más o menos a tres
desviaciones estándar.

Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz
según se establezca, cada punto corresponde a un valor .
Para la gráfica de Rangos
La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLRm, línea
central CLRm y límite de control superior UCLRm. La línea central es el promedio
de los rangos y los dos límites de control son fijados más o menos a tres
según se establezca, cada punto corresponde a un valor Ri.

Gráfico de control para variables
Gráfico x-s
El procedimiento para realizar las cartas de control - s es similar al de las cartas de
-R la diferencia consiste en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho
más sensible para detectar cambios en la media o en la variabilidad del proceso.
La grafica monitorea el promedio del proceso para vigilar tendencias y la grafica s
monitorea la variación en forma de desviación estándar.
Paso 1: Colectar los datos
En este paso se siguen las mismas consideraciones que en la construcción de los
gráficos, solo que aquí el tamaño de muestra n es recomendable que sea mayor a
9.
Paso 2: Calcular el promedio y la desviación estándar (si) para cada subgrupo.
Paso 3: Calcular la desviación estándar promedio y el promedio de promedios.
Paso 4: Calcular los límites de control.

Una carta de control -s nos presenta dos gráficos en una hoja, la grafica superior
es la de las medias y la grafica inferior es la de las desviaciones estándar.
En el eje de las “y” se representan los valores de las medias ó desviaciones
estándar según corresponda a la gráfica que estemos trazando.
Para la gráfica para las medias
promedios y los dos límites de control son fijados más o menos a tres
según se establezca, cada punto corresponde a un valor .
Para la gráfica de desviaciones estándar
La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLs, línea
central CLs y límite de control superior UCLs. La línea central es el promedio de
los rangos y los dos límites de control son fijados más o menos a tres
según se establezca, cada punto corresponde a un valor si.

Gráfico de control x-rm
En muchas situaciones el tamaño de la muestra para monitorear el proceso es
n=1; es decir la muestra consta de una unidad individual. Algunos ejemplos de
estas situaciones son:
Las mediciones repetidas del proceso difieren únicamente por el error de
laboratorio o de análisis, como en muchos procesos químicos. En otras palabras
cuando la característica a medir es relativamente homogénea.
El principal objetivo de este tipo de grafico es estimar la variabilidad debida a
causas especiales cuando se presentan lecturas individuales que constituyen
tendencias.
Procedimiento para la construcción del gráfico.
Paso 1: Colectar los datos
Paso 2: Calcular el promedio de los datos.
Paso 3: Calcular los rangos móviles.
Paso 4: Calcular el promedio de los rangos móviles.

Paso 5: Calcular los límites de control
La gráfica superior es la de observaciones individuales y la grafica inferior es la de
rangos móviles Rm.
En el eje de las “y” se representan los valores individuales ó rangos móviles según
corresponda a la gráfica que estemos trazando.
Para la gráfica de valores individuales
las mediciones individuales y los dos límites de control son fijados más o menos a
tres desviaciones estándar.
según se establezca, cada punto corresponde a un valor Xi .
Para la gráfica de Rangos móviles
La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLRm, línea
central CLRm y límite de control superior UCLRm. La línea central es el promedio
de los rangos móviles y los dos límites de control son fijados más o menos a tres
según se establezca, cada punto corresponde a un valor Rmi . (Nota: solo
tomamos desde el valor del segundo lote o tanda ya que el primero no genera
rango móvil).

Gráfico de control para atributos
Gráfico “p” o fracción disconforme con tamaño de muestra igual y variable. Gráfico
“np” o unidades defectuosas. Gráficos estandarizados. Gráfico “c” o número de
defectos. Gráfico “u” o número promedio de defectos. Gráficos estandarizados.
Otros gráficos de control de número de defectos.
Cuando no es fácil medir un producto o una parte, o cuando la calidad se puede
obtener como un atributo conforme o no con unas especificaciones de calidad, se
puede usar una gráfica de control de características. Estas técnicas analizan tanto
las características buenas como malas, sin hacer referencia al grado. Entonces, se
acepta o se rechaza contando cuántas unidades tienen o no el defecto, o
comprobando el número de tales eventos que ocurren en la unidad, grupo o área,
y comparando con el criterio de aceptación establecido. Se acepta o rechaza la
pieza o el lote sin asociar un valor concreto. El atributo a controlar se suele elegir
de forma que sea fácilmente observable y por tanto económico de controlar.
Antes de seguir conviene definir los términos siguientes:
a) Defecto: cualquier característica individual que no esté de acuerdo con los
requisitos de calidad establecidos.
b) Defectuoso: cualquier unidad que tiene uno o más defectos.
Los tipos de gráficos de control por atributos que se estudian son:
i) Gráfico p o de fracción de unidades defectuosas.
ii) Gráfico np o de número de unidades defectuosas por muestra.
iii) Gráfico c o de número de defectos por muestra.
iv) Gráfico U o de número de defectos por unidad. GRÁFICO p
Es frecuente que la magnitud observada y utilizada como variable de control sea
una proporción. Una proporción p que se estima por medio de la proporción
muestral, obtenida con una muestra de tamaño n
Tiene un valor esperado o medio que es
precisamente p y una desviación típica .

Se puede observar que dichos límites dependen del tamaño de la muestra
utilizada. Así pues, si todas las muestras son del mismo tamaño entonces los
límites de control serán fijos, pero si los tamaños muestrales varían, resulta que
dichos límites son variables. Para paliar esta situación se suele tomar una de
estas cuatro soluciones:
1. Poner un valor de n igual a un promedio de los tamaños de muestra
utilizados; este promedio suele ser la media aritmética (sustituyendo n por
la media de los tamaños de muestra ni). La solución así adoptada suele dar
buenos resultados siempre que los
2. tamaños muestrales no sean muy dispares entre sí.
Así, los límites de control son:
Utilizar una gráfica estandarizada, para lo cual se representan las magnitudes Zi
dadas por, donde ni es el tamaño de muestra utilizado en el período de tiempo
pésimo, la proporción estimada en dicho período de tiempo y la proporción en
condiciones de estabilidad. En este caso los límites de control para los valores de
Zise establecen en ±3.

3. Usar el gráfico con límites individualizados donde cada observación tendrá
unos límites distintos dados por:
Se tiene que , donde el numerador representa la suma de todas las disconformes
o defectuosos.
4. Regla del 40%. Hacemos los límites de control del apartado 1, salvo para
las observaciones que no cumplen la regla del 40%; esto es, se calcula el
intervalo = (m1, m2). Calcularemos los límites individuales cuando ni – m2 >
0 o ni – m1 < 0.
Gráfico np
En ocasiones resulta más cómodo representar directamente la cantidad de
unidades defectuosas en la muestra en vez de su proporción, en este caso el
gráfico de control correspondiente se denomina np puesto que en ordenadas se
representa esa magnitud. Este tipo de gráfico resulta cómodo cuando el tamaño
de muestra es constante. El número de unidades defectuosas en la muestra sigue
una distribución teórica binomial de parámetros n y p, cuya media es np y su
varianza es npq.
Gráfico c
En el control por número de defectos, utilizando un gráfico c, lo que se contabiliza
es el total de defectos en la muestra. Se supone para los mismos una distribución
de Poisson. Tiene una media y varianza iguales

Gráfico u
En este tipo de gráficos se representa la cantidad de defectos por unidad de
medida. La hipótesis de trabajo es que el número de defectos tiene una
distribución de Poisson. La línea central y los límites de control vienen dados por:
Al igual que para los gráficos p, si los límites de control son variables se puede
construir el gráfico U de manera similar a la mencionada anteriormente, por
cualesquiera de las 4 opciones

Gráfico de sumas acumuladas
Los gráficos de control que hemos visto hasta ahora se conocen como gráficos de
Shewhart. Un punto débil de los gráficos de Shewhart es que solo se utiliza la
información contenida en la última muestra representada e ignora la información
dada por el conjunto de muestras. Es cierto que la incorporación de límites de
atención y el estudio de pautas trata de mejorar la sensibilidad del gráfico
Shewhart utilizando más el conjunto de la información pero a costa de complicar
algo el gráfico reduciendo la sencillez de la Interpretación
El gráfico de sumas acumuladas (CUSUM) se presenta como una alternativa al
grafico de Shewhart. Incorpora directamente toda la información representando las
sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales respecto de un
valor objetivo. Por ejemplo, supongamos que se toman muestras de tamaño igual
o mayor que 1, siendo la media muestral de la muestra i.
Si suponemos que o es el objetivo para la media del proceso, el gráfico de sumas
acumuladas se formará representando la cantidad respecto al
número de orden (m) de la muestra.
Por combinar la información de varias muestras, los gráficos de sumas
acumuladas son más efectivos que los gráficos de Shewhart para detectar
pequeños cambios. Son particularmente eficaces cuando el tamaño de muestra es
n = 1 y, por consiguiente, adecuados para su utilización cuando la tecnología
permite inspeccionar y medir cada unidad producida usando a la vez un
microordenador en el puesto de trabajo.
Si el proceso se mantiene bajo control en el objetivo o , la suma acumulable
variará aleatoriamente respecto del valor cero. Sin embargo, si la
media asciende a 1 > o se apreciará una tendencia ascendente en la suma
acumulada Sm. Por el contrario, si la media se desplaza a 2 < o se apreciara una
tendencia decreciente en Sm. Por consiguiente, una tendencia determinada
(positiva o negativa) se considerará como una evidencia de que la media del
proceso se ha desplazado debido a la presencia de alguna causa asignable que
hay que investigar y eliminar.
Existen dos criterios para establecer formalmente que el proceso está fuera de
control. Uno de ellos es un procedimiento gráfico: La máscara V propuesta por
Barnhard en 1959 y otro es un procedimiento numérico muy adecuado para
establecer en conjunción con un microordenador. Aquí veremos este segundo
procedimiento.
En cada toma de muestra hay que calcular los 2 valores siguientes :

donde:
es la media muestral en la toma i-ésima.
o es el valor objetivo (media centrada)
F es un parámetro de la carta de control que normalmente vale o/2 siendo o el
cambio que queremos detectar con prontitud.
, siendo normalmente f = 0,5 ya que queremos detectar
normalmente cambios del orden de (n es el tamaño muestral).Como veremos más
adelante, F se puede seleccionar también en algún juego de cartas ARL.
Cuando algún valor Si ó Ti cumple que Si > H ó Ti < -H (H elegido de acuerdo a la curva
ARL que nos interese siendo h normalmente 5) el proceso se considera fuera
de control. Si Si se hace negativo o se pone a 0, de igual forma si Ti se hace positivo o se
pone a 0.
Una vez corregido el proceso los contadores Si y Ti se pondrían a 0.
Las curvas ARL de los gráficos CUSUM, se calculan a partir de los parámetros del grafico,
h y f (y del tamaño de la muestra, que está implícito en el desplazamiento) utilizando
cadenas de Markov.
En la tabla 2.3 se dan valores de h y f más comunes en función del desplazamiento de la
media a detectar y sus curvas ARL.
Ejemplo CUSUM
Consideremos el peso de cartuchos de certa fabricación sigue siendo una distribución
Normal (ver ejemplo anterior) de media 1,3917 y desviación típica 0,005. Valores que
resultaban cuando el proceso estaba bajo control.
Si utilizamos las muestras de tamaño 5 del ejemplo anterior y queremos detectar
desplazamientos de la medía del orden de , elejimos h =
5 y f = 0,5 con lo que obtenemos

F = 0,5 x 0,0022 = 0,0011 ; H = 5 x 0,0022 = 0,01
En el sexto subgrupo Ti <-0,01 por lo tanto es un punto fuera de control y
deberíamos corregir el proceso.
Para controlar la variabilidad dentro de las muestras se pueden utilizar los gráficos
de Shewart del recorrido o de la desviación típica, en conjunción con el CUSUM
de medias.
No obstante también es posible diseñar una carta de control CUSUM
específicamente por los gráficos de recorridos o de desviaciones típicas. La forma
de realizarlos es muy similar al CUSUM de medias. Los parámetros h y f con sus
curvas ARL del CUSUM para recorridos o desviaciones típicas están recogidos en
la norma británica BS 5703.
TABLA 2.3
Valores de h y f recomendados para detectar un desplazamiento de la media de
magnitud (*)

Capacidad del proceso
Capacidad de análisis determina si un proceso se entregará un producto que
cumpla con las especificaciones de los clientes (USL / LSL) y lo bien que se centra
entre los límites de especificación.
No Capaz Capaz No es capaz de centrado y capaz
Cp <1, Cpk <1 Cp>= 1, Cpk>= 1
El QI Macros histograma macro y plantillas calcular varias estadísticas de
análisis de capacidad de proceso. A continuación se describen las descripciones y
fórmulas para estos indicadores.
Cp y Cpk métricas de capacidad de proceso Cp mide qué tan bien los datos se
ajusta a los límites de especificación (USL, LSL) Cpk mide cómo centrada en los
datos está entre los límites de especificaciones.
Un valor de Cpk de 1,33 se considera que es en 4-Sigma. Use Cp cuando se
tiene una muestra, no a la población, y está probando la capacidad potencial de un
proceso para satisfacer las necesidades del cliente. Cp y Cpk uso Sigma
estimador.
Sigma estimador de Fórmula
d2 es una constante en función del tamaño del subgrupo
c4 es una constante basada en subgrupos tamaño RBAR = Promedio (Ri)
(Promedio de los rangos en las muestras) SBAR = Σ (σi) / n
Cp, Cpk Fórmula
(Cpk> 1,33 es deseable)
Cr Fórmula
El Coeficiente de Capacidad (Cr) indica qué proporción de la tolerancia está
ocupada por los datos.
Cr = 1/Cp Cp = 1.33 ~ Cr = 0,75 (datos de ajuste del 75% de tolerancia)

Cpm Fórmula
Cpm = (USL-LSL) / (6 √ (Sigma2 + (Xbarra-Arco) 2))
(Cpm se puede utilizar cuando se tiene un valor objetivo.)
Las especificaciones de un solo lado o límites de especificaciones
unilaterales
Uso de la CPU (USL) o CPL (LSL) para Cpk.
Pp, Ppk Process Performance Metrics
Utilice Pp cuando se tiene la población total y está probando el rendimiento de un
sistema para satisfacer las necesidades del cliente. Pp, Ppk usar la desviación
estándar.
Pp, Ppk fórmulas
(PPK> 1,33 es deseable)
σ = STDEV (Xi)
Cp, Cpk vs Pp, Ppk
Use Cp, Cpk cuando se tiene una muestra y está probando la capacidad potencial
de un proceso para satisfacer las necesidades del cliente.
Utilice Pp, Ppk cuando se tiene la población total y está probando el rendimiento
de un proceso para satisfacer las necesidades del cliente.
Por ejemplo, si se prueba una muestra de 10 widgets de un lote de 100 aparatos:
Use Cp, Cpk para evaluar la capacidad del proceso a corto plazo.
Utilice Pp, Ppk para evaluar la capacidad del proceso a largo plazo.
Cuando Cp> 1.5 * Pp o Cpk> 1.5 * Ppk, el proceso es, probablemente, fuera de
control y no se puede determinar la capacidad. Estabilizar el proceso y vuelva a
realizar el estudio de capacidad.

Proceso de Sigma
Proceso de sigma (también referido como el nivel sigma) es una medida de la
capacidad del proceso: cuanto mayor es el proceso de Sigma, el más capaz es el
proceso. Un proceso Six Sigma tiene un corto proceso de sigma de 6, y un largo
plazoproceso sigma de 4,5 (ver por qué no 4.5 sigma? ). La tasa de defectos
teórico para un Six Sigma proceso es de 3,4 defectos por millón (DPM).
En pocas palabras, el proceso de sigma indica el número de desviaciones
estándar ("sigmas") puede caber dentro de la brecha entre el promedio del
proceso y el límite de especificación más cercana:
Tenga en cuenta que el ejemplo anterior muestra un histograma para un
particular, CTQ , por lo que el proceso de sigma de 4,5 se aplica a la CTQ
específico que está siendo estudiado. Si una tasa global de defecto a largo plazo
está disponible para todos los defectos, es posible indicar el proceso de Sigma
para todo el proceso (todo CTQs y sus defectos asociados) mediante la
localización de la tasa de defectos en la Tabla de conversión de Sigma y la
búsqueda de la correspondiente sigma- nivel. Normalmente, sin embargo, un
proyecto Six Sigma será lo suficientemente estrecha para centrarse en uno o dos
de CTQ, que será evaluado por separado para sus niveles sigma de proceso.
En los casos en que existen límites de especificación inferior y superior tanto y el
proceso no es capaz de cualquier lado de la distribución, el proceso de sigma
puede ser calculado mediante la adición de los teóricos DPM niveles en cada lado
de la distribución (utilizando la Tabla de conversión Sigma) y luego encontrar el
correspondiente proceso de Sigma para el nivel combinado de DPM.
Una medida más común de la capacidad del proceso es C pk , que es igual al
proceso de sigma dividido por 3. Así que un proceso de Six Sigma tiene una
C pk de 2,0.
¿Cuáles son los niveles de defectos asociados con diferentes niveles sigma de
proceso?
Una tabla de conversión Sigma ofrece las tasas teóricas de defectos asociados
con diferentes niveles de sigma. La tabla de conversión supone que los datos
subyacente es continua y normalmente distribuido, como en el histograma
anteriormente.

Los datos a largo plazo frente a corto plazo
Observe que el cuadro anterior incluye columnas para los niveles sigma de
proceso a largo plazo y corto plazo, dependiendo de qué tan extensa nuestro
conjunto de datos de la muestra es. Utilice la columna a corto plazo si los datos
han sido recogidos durante un período de tiempo limitado, y la columna a largo
plazo si los datos son extensos y probablemente incluye todas las fuentes de
variación que pueden influir en el CTQ en el largo plazo.

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