Este documento presenta una serie de 36 ejercicios sobre números complejos para ser resueltos. Los ejercicios cubren temas como la representación gráfica de números complejos, operaciones con números complejos, ecuaciones con números complejos, y el uso de las formas trigonométrica, polar y exponencial para trabajar con números complejos. El documento fue preparado por Jonathan Green como guía de discusión para un curso de Álgebra Vectorial y Matrices.

1. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
Universidad Centroamericana
“José Simeón Cañas”
Departamento de Matemática.
Álgebra Vectorial y Matrices.
Catedrático: Ing. Eduardo Escapini.
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
A continuación se presentan una serie de ejercicios para el estudio de los números complejos.
1. Dibujar la representación gráfica de cada uno de los siguientes números
complejos.
a) 3 2z j 
b) 3 2z j 
c) 5 4z j  
d) 1 6z j  
e) 5z j
f) 4z 
g) 3.99 4.76z j 
2. Realizar la operación indicada (suma o diferencia) en cada uno de los
ejercicios.
a) (8 2 ) ( 7 5 )j j   
b) 15 (13 2 )j 
c) ( 1 0 ) (7 6 )j j   
d) (15 7 ) (9 11 )j j  
e) (13 5 ) ( 3 5 )j j   
f) ( 2 2 3 ) ( 2 27 )j j    
g)
3 2 1 1
2 7 8 3
j j
   
      
   

2. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
3. Calcular el producto de los números complejos dados. Representar
geométricamente cada pareja de complejos y su producto para cada uno de
los literales.
a) (9 )(3 5 )j j
b) ( 2 )(7 )j j  
c) (3 2 )(3 2 )j j 
d) (12 )(10 )j j
e) (5 3 )(5 3 )j j 
f)
7
( 3 )(2 )
2
j j 
g)
14 3
( 7 )( 11 )
63 2
j j   
4. Calcular el cociente de los números complejos dados y representar
geométricamente el número complejo encontrado.
a)
2 3
5 2
j
j


b)
3
3 2
j
j
 
 
c)
2
2 5
j
j
 
 
d)
5 3
7 2
j
j
 

e)
5 2
5
j
j

5. Resolver las siguientes ecuaciones igualando las partes reales y las
imaginarias para hallar los valores de “x” y “y”.
a) ( )(3 2 ) 4x yj j j   
b)
7
( )
3 5
j
x yj
j

 

c)
6
( )
7 4
j
x yj
j

 

d) ( )(7 ) 3 9x yj j j   
e) ( )(9 6 ) 6 9x yj j j    

3. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
6. Comprobar que el número complejo dado satisface la ecuación propuesta.
a) 1 1 2z j  ; 2
1 12 5 0z z  
b) 2 4z j  ; 2
2 2(7 3 ) (10 11 ) 0z j z j    
c) 3 6 5z j  ; 2
3 3( 11 8 ) (15 43 ) 0z j z j     
d) 4 2 2z j   ; 2
4 4( 1 4 ) (5 3 ) 0z j z j     
7. Encontrar 3
 donde:
1 3
2 2
j   
8. Determinar dos números complejos tales que su suma sea el número real “a”
y cuya diferencia sea el número imaginario “bj”(b real).
9. Calcular los módulos en cada una de las expresiones siguientes:
a) ( 8 )(4 3 )(1 24 )j j j  
b)
(1 )(4 6 )
( 3 7 )
j j
j
 

c)
(6 8 )(4 3 ) 1
(6 8 ) 4 3
j j
j j
  
 
10. Demostrar que el número complejo:
1 3
7
j
z
j



satisface la ecuación:
3 1
1
1z z
 

.
11. Usar la forma polar para calcular:
a) (4 3 4 )(6 6 3 )j j 
b)
16 16 3
3 3 3
j
j


c) 4(cos(15) (15))(2 2 )jsen j 
d) 3
2
2 3 2 3 1 2
( 1 3 ) cos
3 3 3 3 cos( ) ( )
( 5 3 ) 11cos 11
4 4
j
j jsen
jsen
j jsen
 
 
 
     
       
      
    
     
    
Sugerencia:
3 1
4 3 4 8( ) 8(cos(30) (30))
2 2
j j jsen    

4. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
12. Usar la fórmula de D´Moivre para calcular:
a) 8
(7 7 3 )j
b)
5
3
1
j
j

 
   
13. Demostrar que:
6
1 3
1
2
j 
  
 
14. Probar que si:
2
2
z z , entonces z es real.
15. Escribir el número complejo en su forma polar en cada caso:
a) 1 j
b) 1 3 j
c) 2 j
d) 7 2 j 
e) 3 3 j 
16. Probar que:
a) ( 1 3 )( 3 ) 2 3 2j j j     
b) ( 2 )(2 ) 5j j    
17. Graficar cada uno de los siguientes números complejos:
a) 6(cos(240) (240))jsen
b) 2 2 3 j
c) 3(cos(40) (40))jsen
d) 3 2 j
e)
2 2
cos
3 3
jsen
    
   
   
18. Encontrar los valores de z para los cuales: 5
32z  
19. Calcular todas las raíces cúbicas de: 1 j

5. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
20. Calcular:
a)  
1
3
3 j
b)
1
5
36
18 2
2
j
 
 
 
21. Si 1 2,z z y 3z son números complejos, entonces a través de una sustitución
directa pruebe que:
2
2 2 1 3
1
4
2
z z z z
z
z
  
 satisface que: 2
1 2 3 0z z z z z  
22. Resolver 2 2
(1 ) 16z z 
23. Resuelva:
a) 2
3 6 3 0z jz  
b) 2
4 12 40 0z z j  
24. Probar la fórmula de D´Moivre para exponentes racionales.
25. Sea “a” una constante real y positiva, entonces la ecuación:
1
1
z
a
z



representa:
a) Un círculo si 1a  b) Una recta si 1a 
26. Sean 0 2   y z un número complejo. Demostrar que el triángulo con
vértices 1 (cos( ) ( ))z z jsen   , 2 ( )(cos( ) ( ))z j z jsen    ,
3 (1 )(cos( ) ( ))z z jsen    es un triángulo rectángulo isósceles.
27. ¿Qué puede decir del triángulo con vértices: 1 (3 )cos( ) (1 3 ) ( )z j j sen    
, 2 (4 2 )cos( ) (2 4 ) ( )z j j sen     ,  3 (5 ) cos( ) ( )z j jsen    ?

6. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
28. Sean cos( ) ( )j
e jsen
   y cos( ) ( )j
e jsen
 
  . Demuestre que:
cos( )
2
j j
e e 



 y ( )
2
j j
e e
sen
j
 



 . Estas expresiones se les conoce
como fórmulas de Euler.
29. Haciendo uso de las fórmulas de Euler, demuestre que:
3 1 3
cos ( ) cos(3 ) cos( )
4 4
    .
30. Desarrolle 3
( )sen  linealmente en términos de ( )sen  y (3 )sen  .
31. Demuestre que:
a) 1 2 1 2 1 2cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )sen sen       
b) 1 2 1 2 2 1( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen sen sen       
32. Demuestre que si: (cos( ) ( ))z r jsen   , entonces j
z re
 .
33. Para los ejercicios siguientes, represente los números complejos dados en
forma exponencial.
a) 1 j
b) 7 2 j 
c) 2 j
d) 3 j
e) 1 3 j
f) 3 3 j 
34. Calcular:
a) 3 j
e 
b) 4
j
e

c) 2 j
e 
35. Demuestre que si 0a  , entonces:
 ln( ) ( 2 )
, 0, 1, 2,...
a r k ja
z e k
  
   
36. Calcular: a)  
5
1 3 j y b)
3
(2 2 )j