Este documento presenta conceptos sobre raíces y la función raíz cuadrada. Define las raíces de números enteros pares e impares, y proporciona ejemplos de cálculos con raíces. También cubre propiedades como la multiplicación, división y ampliación del orden de raíces, así como la racionalización de fracciones. Finalmente, introduce la función raíz cuadrada y su representación gráfica.

1. C u r s o : Matemática
Material N° 27
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 27
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
RAÍCES – FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
DEFINICIÓN 1: Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único
real b , no negativo, tal que bn = a
DEFINICIÓN 2: Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único
real b tal que bn = a
OBSERVACIONES:
 Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO
ES REAL.
 La expresión n ak , con a real no negativo, se puede expresar como una
potencia de exponente fraccionario.

EJEMPLOS
1. 16 – 3 125 + 4 81 – 5 -32 =
A) 14
B) 6
C) 4
D) 2
E) 0
2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) equivalentes con (-3)2 ?
I) 9
II) 3
III) -3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
n a = b  bn = a con b  0
n a = b  bn = a con b  lR
n ak =
k
n a
a2 = a, para todo número real
a

2. 2
3. La expresión
3 4


9 -8 + 16
5
2 -32
es igual a
A) 0
B) 3
4
C) 7
4
D) 9
4
E) 3
4. El valor de
3 3 2
 es
(-2) (-5)
5 5
-5
A) -2
B) - 7
5
C) - 3
5
D) 7
5
E) no está definido
5. 0,04 + 3 0,064 =
A) 0,024
B) 0,24
C) 0,6
D) 1
E) 6
6.
25
5
4 ( 9) =
A) 1
9
B) 3
C) 6
D) 9
E) 81

3. n a · nb = n a · b
3
PROPIEDADES
Si n a y n b están definidas en lR, entonces:
 MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
 DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
EJEMPLOS
1. 3 5 3 · 3 5 3 =
A) 15
B)
9 4 25 3
C) 3 25 3
D) 3 5 3
E) 3 75
2. Si a
b
> 0, entonces
4
a
b
b
a
3
4
3
=
A) 1
B) a
b
C)
a 4
b
 
 
 
D) 1
ab
E) 4 a
b
n
n
n
a a
=
b b
, b  0

4. 4
3. 3 + 7 · 7  3 =
A) -2
B) 2
C) 4
D) 10
E) 3 + 7
4. Si a  b y n es impar, entonces el valor de
n
n


a b
b a
es
A)
n n


a b
b a
n n
B) 0
C) 1
D) -1
E) no está definido.
5.
xy y xy x
x · y
xy
xy
=
A) xy xy  1 · yx  1
B) xy xy
C)
xy
x · y
y x
D) xy
xy
x · y
y x
E) xy (x · y)x  1
6. p p + 2 p p -3 3  3 · 2 =
A) 3
B) 3
8
· p ( 8)
 
 
 
C) 3 · p 5
8
D)
-6
p 6
E) 3

5. 5
PROPIEDADES
Si a  lR+ y m y n  +, entonces:
 POTENCIA DE UNA RAÍZ
 RAÍZ DE UNA RAÍZ
EJEMPLOS
1.
3 84 =
A) 23
B) 24
C) 26
D) 212
E) 236
2. 3 64 =
A) 2
B) 4
C) 8
D) 5 64
E) 6 8
3.
4 5 -2 =
A) - 9 2
B) 9 2
C) - 20 2
D) 20 2
E) no es un número real.
n am = (n a)m
nma = nma

6. 6
4. 3 2 9 =
A) 1
B) 6 6
C) 2
D) 3 6
E) 2
5. 10 ·
5 32-2 =
A) -20
B) -5
C) 0,5
D) 5
E) 20
6.
3 4 3 -2 · -64 =
A)
18 7 2
B) 9 27
C) 6 32
D) 2
E) no está definido.
7. Si p > 0, entonces
p
p
3
=
A) 6 p
B) 3 1
p
C) 3 p
D) 3 p2
E) 6 p5

7. 7
PROPIEDADES
 AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ
 PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE
 FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL
EJEMPLOS
1.
12 38 =
A) 3 9
B) 3 81
C) 4 3
D) 4 9
E) 4 27
2. 4 8 · 2 =
A) 8 16
B) 6 16
C) 4 16
D) 4 32
E) 8
3. 2 · 3 3 =
A) 3 36
B) 3 24
C) 3 18
D) 3 12
E) 3 6
n a = mn am , m  +, a  lR+
n a  m b = mn am  bn , a, b  lR+
n n n + b a = b  a , b  lR

8. 8
4.
6
4
4
6
=
A)
3
2 2
3
 
 
 
B)
2
2 3
3
 
 
 
C)
1 - 1
12 4 2 · 3
D) 3
2
E) 6
5. 2  8 + 18 =
A) 4
B) 8
C) 18
D) 24
E) 28
6. La expresión
3 2 3 x · x · x es equivalente a
A) x3
B)
3 4 x
C)
3 16 x
D)
3 18 x
E)
9 16 x
7. Si x  0, entonces 2 18x2 – 32x2 – 3x 2 =
A) -x 2
B) x 2
C) -2x 2
D) 2x 2
E) 3x 2

9. RACIONALIZACIÓN
Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción
equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz.
9
CASO 1: Fracciones de la forma a
b c
CASO 2: Fracciones de la forma a
p b + q c
EJEMPLOS
1. 6
5 3
=
A) 6
5
3
B) 2 3
C) 2
5
3
D) 2
5
E) - 6
5
3
2. 12
2 3  3 2
=
A) 24 3 + 36 2
B) 24 3 – 36 2
C) -4 3 – 6 2
D) 6 2 – 4 3
E) 4 3 + 6 2
3. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la tercera parte de 1
3
?
I) 3
9
II) 1
3
III) 2
108
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

10. 10
4. Para racionalizar la expresión
a
b
n m
, se debe amplificar por
A)
n bm
B) n b
C)
n n m b 
D)
n m n b 
E) bm
5. 3 + 2
3  2
=
A) 5 + 6
B) 5 + 2 6
C) 5 + 2 6
5
D) 5
E) 1
5
6.
a2 b2
a b


=
A) (a + b)( a + b )
B) (a – b)( a + b )
C) (a + b)( a  b )
D) (a – b) ( a  b )
E) a + b
7.
1
  
    
2 2 3
1 2
=
A) - 6 2
B) 6 2
C) 2
D) 3 2  2
E) 1

11. 11
FUNCIÓN RAÍZ
Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por
Su representación gráfica es
OBSERVACIONES:
 El dominio es: Df = +0
lR .
 El recorrido es: Rf = +0
lR .
2 f(x) = x
 La función es creciente.
 La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.
EJEMPLO
1. El gráfico que mejor representa a la función h(x) = x  2 , es
A) B) C)
2
D) E)
y
1 2 3 4 x
2
1
y
1 2 3 4 x
1
y
1 2 3 4 x
2
1
y
1 2 3 4 x
2
1
y
1 2 3 4 x
2
1
f(x) = x
x f(x)
0
0,51
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,70..
1
1,22..
1,41..
1,58..
1,73..
1,87..
2
1 2 3 4
1
x
y

12. 2. ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor al gráfico de f(x) = x + 2?
A) B) C)
D) E)
3. ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el gráfico de la figura 1?
12
A) f(x) = x + 3 – 1
B) g(x) = x  3 + 1
C) h(x) = 3 + x  1
D) s(x) = -3 + x + 1
E) p(x) = -1 + x  3
RESPUESTAS
DMTRMA27
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web
http:/www.pedrodevaldivia.cl/
y
2 x
y
x
2
-1
y
x
2
y
x
2
2 x
y
-2
y
x
3
-1
fig. 1
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6 7
1 y 2 C D C D C B
3 y 4 E B B D A E
5 y 6 B A E B D D C
7 y 8 A D B C B E A
9 y 10 C C D C B A A
11 y 12 C C E