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C u r s o : Matemática 
Material N° 27 
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 27 
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES 
RAÍCES – FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA 
DEFINICIÓN 1: Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único 
real b , no negativo, tal que bn = a 
DEFINICIÓN 2: Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único 
real b tal que bn = a 
OBSERVACIONES: 
 Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO 
ES REAL. 
 La expresión n ak , con a real no negativo, se puede expresar como una 
potencia de exponente fraccionario. 
 
EJEMPLOS 
1. 16 – 3 125 + 4 81 – 5 -32 = 
A) 14 
B) 6 
C) 4 
D) 2 
E) 0 
2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) equivalentes con (-3)2 ? 
I) 9 
II) 3 
III) -3 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) I, II y III 
n a = b  bn = a con b  0 
n a = b  bn = a con b  lR 
n ak = 
k 
n a 
a2 = a, para todo número real 
a
2 
3. La expresión 
3 4 
 
 
9 -8 + 16 
5 
2 -32 
es igual a 
A) 0 
B) 3 
4 
C) 7 
4 
D) 9 
4 
E) 3 
4. El valor de 
3 3 2 
 es 
(-2) (-5) 
5 5 
-5 
A) -2 
B) - 7 
5 
C) - 3 
5 
D) 7 
5 
E) no está definido 
5. 0,04 + 3 0,064 = 
A) 0,024 
B) 0,24 
C) 0,6 
D) 1 
E) 6 
6. 
25 
5 
4 ( 9) = 
A) 1 
9 
B) 3 
C) 6 
D) 9 
E) 81
n a · nb = n a · b 
3 
PROPIEDADES 
Si n a y n b están definidas en lR, entonces: 
 MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE 
 DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE 
EJEMPLOS 
1. 3 5 3 · 3 5 3 = 
A) 15 
B) 
9 4 25 3 
C) 3 25 3 
D) 3 5 3 
E) 3 75 
2. Si a 
b 
> 0, entonces 
4 
a 
b 
b 
a 
3 
4 
3 
= 
A) 1 
B) a 
b 
C) 
a 4 
b 
  
  
  
D) 1 
ab 
E) 4 a 
b 
n 
n 
n 
a a 
= 
b b 
, b  0
4 
3. 3 + 7 · 7  3 = 
A) -2 
B) 2 
C) 4 
D) 10 
E) 3 + 7 
4. Si a  b y n es impar, entonces el valor de 
n 
n 
 
 
a b 
b a 
es 
A) 
n n 
 
 
a b 
b a 
n n 
B) 0 
C) 1 
D) -1 
E) no está definido. 
5. 
xy y xy x 
x · y 
xy 
xy 
= 
A) xy xy  1 · yx  1 
B) xy xy 
C) 
xy 
x · y 
y x 
D) xy 
xy 
x · y 
y x 
E) xy (x · y)x  1 
6. p p + 2 p p -3 3  3 · 2 = 
A) 3 
B) 3 
8 
· p ( 8) 
  
  
  
C) 3 · p 5 
8 
D) 
-6 
p 6 
E) 3
5 
PROPIEDADES 
Si a  lR+ y m y n  +, entonces: 
 POTENCIA DE UNA RAÍZ 
 RAÍZ DE UNA RAÍZ 
EJEMPLOS 
1. 
3 84 = 
A) 23 
B) 24 
C) 26 
D) 212 
E) 236 
2. 3 64 = 
A) 2 
B) 4 
C) 8 
D) 5 64 
E) 6 8 
3. 
4 5 -2 = 
A) - 9 2 
B) 9 2 
C) - 20 2 
D) 20 2 
E) no es un número real. 
n am = (n a)m 
nma = nma
6 
4. 3 2 9 = 
A) 1 
B) 6 6 
C) 2 
D) 3 6 
E) 2 
5. 10 · 
5 32-2 = 
A) -20 
B) -5 
C) 0,5 
D) 5 
E) 20 
6. 
3 4 3 -2 · -64 = 
A) 
18 7 2 
B) 9 27 
C) 6 32 
D) 2 
E) no está definido. 
7. Si p > 0, entonces 
p 
p 
3 
= 
A) 6 p 
B) 3 1 
p 
C) 3 p 
D) 3 p2 
E) 6 p5
7 
PROPIEDADES 
 AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ 
 PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE 
 FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL 
EJEMPLOS 
1. 
12 38 = 
A) 3 9 
B) 3 81 
C) 4 3 
D) 4 9 
E) 4 27 
2. 4 8 · 2 = 
A) 8 16 
B) 6 16 
C) 4 16 
D) 4 32 
E) 8 
3. 2 · 3 3 = 
A) 3 36 
B) 3 24 
C) 3 18 
D) 3 12 
E) 3 6 
n a = mn am , m  +, a  lR+ 
n a  m b = mn am  bn , a, b  lR+ 
n n n + b a = b  a , b  lR
8 
4. 
6 
4 
4 
6 
= 
A) 
3 
2 2 
3 
  
  
  
B) 
2 
2 3 
3 
  
  
  
C) 
1 - 1 
12 4 2 · 3 
D) 3 
2 
E) 6 
5. 2  8 + 18 = 
A) 4 
B) 8 
C) 18 
D) 24 
E) 28 
6. La expresión 
3 2 3 x · x · x es equivalente a 
A) x3 
B) 
3 4 x 
C) 
3 16 x 
D) 
3 18 x 
E) 
9 16 x 
7. Si x  0, entonces 2 18x2 – 32x2 – 3x 2 = 
A) -x 2 
B) x 2 
C) -2x 2 
D) 2x 2 
E) 3x 2
RACIONALIZACIÓN 
Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción 
equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz. 
9 
CASO 1: Fracciones de la forma a 
b c 
CASO 2: Fracciones de la forma a 
p b + q c 
EJEMPLOS 
1. 6 
5 3 
= 
A) 6 
5 
3 
B) 2 3 
C) 2 
5 
3 
D) 2 
5 
E) - 6 
5 
3 
2. 12 
2 3  3 2 
= 
A) 24 3 + 36 2 
B) 24 3 – 36 2 
C) -4 3 – 6 2 
D) 6 2 – 4 3 
E) 4 3 + 6 2 
3. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la tercera parte de 1 
3 
? 
I) 3 
9 
II) 1 
3 
III) 2 
108 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo I y II 
D) Sólo I y III 
E) I, II y III
10 
4. Para racionalizar la expresión 
a 
b 
n m 
, se debe amplificar por 
A) 
n bm 
B) n b 
C) 
n n m b  
D) 
n m n b  
E) bm 
5. 3 + 2 
3  2 
= 
A) 5 + 6 
B) 5 + 2 6 
C) 5 + 2 6 
5 
D) 5 
E) 1 
5 
6. 
a2 b2 
a b 
 
 
= 
A) (a + b)( a + b ) 
B) (a – b)( a + b ) 
C) (a + b)( a  b ) 
D) (a – b) ( a  b ) 
E) a + b 
7. 
1 
   
     
2 2 3 
1 2 
= 
A) - 6 2 
B) 6 2 
C) 2 
D) 3 2  2 
E) 1
11 
FUNCIÓN RAÍZ 
Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por 
Su representación gráfica es 
OBSERVACIONES: 
 El dominio es: Df = +0 
lR . 
 El recorrido es: Rf = +0 
lR . 
2 f(x) = x 
 La función es creciente. 
 La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento. 
EJEMPLO 
1. El gráfico que mejor representa a la función h(x) = x  2 , es 
A) B) C) 
2 
D) E) 
y 
1 2 3 4 x 
2 
1 
y 
1 2 3 4 x 
1 
y 
1 2 3 4 x 
2 
1 
y 
1 2 3 4 x 
2 
1 
y 
1 2 3 4 x 
2 
1 
f(x) = x 
x f(x) 
0 
0,51 
1,5 
2 
2,5 
3 
3,5 
4 
0 
0,70.. 
1 
1,22.. 
1,41.. 
1,58.. 
1,73.. 
1,87.. 
2 
1 2 3 4 
1 
x 
y
2. ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor al gráfico de f(x) = x + 2? 
A) B) C) 
D) E) 
3. ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el gráfico de la figura 1? 
12 
A) f(x) = x + 3 – 1 
B) g(x) = x  3 + 1 
C) h(x) = 3 + x  1 
D) s(x) = -3 + x + 1 
E) p(x) = -1 + x  3 
RESPUESTAS 
DMTRMA27 
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 
http:/www.pedrodevaldivia.cl/ 
y 
2 x 
y 
x 
2 
-1 
y 
x 
2 
y 
x 
2 
2 x 
y 
-2 
y 
x 
3 
-1 
fig. 1 
Ejemplos 
Págs. 1 2 3 4 5 6 7 
1 y 2 C D C D C B 
3 y 4 E B B D A E 
5 y 6 B A E B D D C 
7 y 8 A D B C B E A 
9 y 10 C C D C B A A 
11 y 12 C C E

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  • 1. C u r s o : Matemática Material N° 27 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 27 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES RAÍCES – FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA DEFINICIÓN 1: Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b , no negativo, tal que bn = a DEFINICIÓN 2: Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b tal que bn = a OBSERVACIONES:  Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL.  La expresión n ak , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario.  EJEMPLOS 1. 16 – 3 125 + 4 81 – 5 -32 = A) 14 B) 6 C) 4 D) 2 E) 0 2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) equivalentes con (-3)2 ? I) 9 II) 3 III) -3 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III n a = b  bn = a con b  0 n a = b  bn = a con b  lR n ak = k n a a2 = a, para todo número real a
  • 2. 2 3. La expresión 3 4   9 -8 + 16 5 2 -32 es igual a A) 0 B) 3 4 C) 7 4 D) 9 4 E) 3 4. El valor de 3 3 2  es (-2) (-5) 5 5 -5 A) -2 B) - 7 5 C) - 3 5 D) 7 5 E) no está definido 5. 0,04 + 3 0,064 = A) 0,024 B) 0,24 C) 0,6 D) 1 E) 6 6. 25 5 4 ( 9) = A) 1 9 B) 3 C) 6 D) 9 E) 81
  • 3. n a · nb = n a · b 3 PROPIEDADES Si n a y n b están definidas en lR, entonces:  MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE  DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE EJEMPLOS 1. 3 5 3 · 3 5 3 = A) 15 B) 9 4 25 3 C) 3 25 3 D) 3 5 3 E) 3 75 2. Si a b > 0, entonces 4 a b b a 3 4 3 = A) 1 B) a b C) a 4 b       D) 1 ab E) 4 a b n n n a a = b b , b  0
  • 4. 4 3. 3 + 7 · 7  3 = A) -2 B) 2 C) 4 D) 10 E) 3 + 7 4. Si a  b y n es impar, entonces el valor de n n   a b b a es A) n n   a b b a n n B) 0 C) 1 D) -1 E) no está definido. 5. xy y xy x x · y xy xy = A) xy xy  1 · yx  1 B) xy xy C) xy x · y y x D) xy xy x · y y x E) xy (x · y)x  1 6. p p + 2 p p -3 3  3 · 2 = A) 3 B) 3 8 · p ( 8)       C) 3 · p 5 8 D) -6 p 6 E) 3
  • 5. 5 PROPIEDADES Si a  lR+ y m y n  +, entonces:  POTENCIA DE UNA RAÍZ  RAÍZ DE UNA RAÍZ EJEMPLOS 1. 3 84 = A) 23 B) 24 C) 26 D) 212 E) 236 2. 3 64 = A) 2 B) 4 C) 8 D) 5 64 E) 6 8 3. 4 5 -2 = A) - 9 2 B) 9 2 C) - 20 2 D) 20 2 E) no es un número real. n am = (n a)m nma = nma
  • 6. 6 4. 3 2 9 = A) 1 B) 6 6 C) 2 D) 3 6 E) 2 5. 10 · 5 32-2 = A) -20 B) -5 C) 0,5 D) 5 E) 20 6. 3 4 3 -2 · -64 = A) 18 7 2 B) 9 27 C) 6 32 D) 2 E) no está definido. 7. Si p > 0, entonces p p 3 = A) 6 p B) 3 1 p C) 3 p D) 3 p2 E) 6 p5
  • 7. 7 PROPIEDADES  AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ  PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE  FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL EJEMPLOS 1. 12 38 = A) 3 9 B) 3 81 C) 4 3 D) 4 9 E) 4 27 2. 4 8 · 2 = A) 8 16 B) 6 16 C) 4 16 D) 4 32 E) 8 3. 2 · 3 3 = A) 3 36 B) 3 24 C) 3 18 D) 3 12 E) 3 6 n a = mn am , m  +, a  lR+ n a  m b = mn am  bn , a, b  lR+ n n n + b a = b  a , b  lR
  • 8. 8 4. 6 4 4 6 = A) 3 2 2 3       B) 2 2 3 3       C) 1 - 1 12 4 2 · 3 D) 3 2 E) 6 5. 2  8 + 18 = A) 4 B) 8 C) 18 D) 24 E) 28 6. La expresión 3 2 3 x · x · x es equivalente a A) x3 B) 3 4 x C) 3 16 x D) 3 18 x E) 9 16 x 7. Si x  0, entonces 2 18x2 – 32x2 – 3x 2 = A) -x 2 B) x 2 C) -2x 2 D) 2x 2 E) 3x 2
  • 9. RACIONALIZACIÓN Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz. 9 CASO 1: Fracciones de la forma a b c CASO 2: Fracciones de la forma a p b + q c EJEMPLOS 1. 6 5 3 = A) 6 5 3 B) 2 3 C) 2 5 3 D) 2 5 E) - 6 5 3 2. 12 2 3  3 2 = A) 24 3 + 36 2 B) 24 3 – 36 2 C) -4 3 – 6 2 D) 6 2 – 4 3 E) 4 3 + 6 2 3. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la tercera parte de 1 3 ? I) 3 9 II) 1 3 III) 2 108 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
  • 10. 10 4. Para racionalizar la expresión a b n m , se debe amplificar por A) n bm B) n b C) n n m b  D) n m n b  E) bm 5. 3 + 2 3  2 = A) 5 + 6 B) 5 + 2 6 C) 5 + 2 6 5 D) 5 E) 1 5 6. a2 b2 a b   = A) (a + b)( a + b ) B) (a – b)( a + b ) C) (a + b)( a  b ) D) (a – b) ( a  b ) E) a + b 7. 1         2 2 3 1 2 = A) - 6 2 B) 6 2 C) 2 D) 3 2  2 E) 1
  • 11. 11 FUNCIÓN RAÍZ Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por Su representación gráfica es OBSERVACIONES:  El dominio es: Df = +0 lR .  El recorrido es: Rf = +0 lR . 2 f(x) = x  La función es creciente.  La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento. EJEMPLO 1. El gráfico que mejor representa a la función h(x) = x  2 , es A) B) C) 2 D) E) y 1 2 3 4 x 2 1 y 1 2 3 4 x 1 y 1 2 3 4 x 2 1 y 1 2 3 4 x 2 1 y 1 2 3 4 x 2 1 f(x) = x x f(x) 0 0,51 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,70.. 1 1,22.. 1,41.. 1,58.. 1,73.. 1,87.. 2 1 2 3 4 1 x y
  • 12. 2. ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor al gráfico de f(x) = x + 2? A) B) C) D) E) 3. ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el gráfico de la figura 1? 12 A) f(x) = x + 3 – 1 B) g(x) = x  3 + 1 C) h(x) = 3 + x  1 D) s(x) = -3 + x + 1 E) p(x) = -1 + x  3 RESPUESTAS DMTRMA27 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http:/www.pedrodevaldivia.cl/ y 2 x y x 2 -1 y x 2 y x 2 2 x y -2 y x 3 -1 fig. 1 Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 1 y 2 C D C D C B 3 y 4 E B B D A E 5 y 6 B A E B D D C 7 y 8 A D B C B E A 9 y 10 C C D C B A A 11 y 12 C C E