Este documento explica cómo calcular el área bajo una curva utilizando la integral definida. Explica que el área entre una curva y y el eje x es la integral de f(x) cuando f(x) es positiva, y la integral negativa de f(x) cuando es negativa. También cubre el cálculo del área entre dos curvas, determinando primero los puntos de corte y luego integrando la función superior menos la inferior en cada tramo. Finalmente, explica cómo calcular el área con respecto a los ejes x e y.

1. Area bajo la curva
UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
´ ´
INGENIERIA INFORMATICA
Documento creado por : Manuel Cuevas y Sergio G´mez
o
Gu´ de C´lculo
ıa a
´
Area bajo la curva
Existen distintas aplicaciones de la integral definida, a continuacion veremos la aplicaci´n
o
al calculo de ´reas de una regi´n plana.
a o
´
1. Area comprendida entre una curva y = f (x) y el eje x
b
• Si f (x) ≥ 0 en [a, b]: S = f (x)dx
a
1 Temuco, June 8, 2010

2. Area bajo la curva
b a
• Si f (x) ≤ 0 en [a, b]: S = − f (x)dx = f (x)dx
a b
• Si f (x) corta al eje x en el punto c ∈ [a, b]:
c b
S = S1 + S2 = f (x)dx − f (x)dx
a c
2 Temuco, June 8, 2010

3. Area bajo la curva
´
2. Area comprendida entre dos curvas y = f (x), y = g(x).
b
• Si f (x) > g(x) en [a, b]: S = (f (x) − g(x)dx)
a
• Si f (x) y g(x) se cortan en el intervalo [a, b]: Se determina el punto (o
puntos) de corte y la funci´n que es mayor en cada trozo. Los puntos de
o
corte se hallan resolviendo el sistema.
y = f (x) : y = g(x)
3 Temuco, June 8, 2010

4. Area bajo la curva
3. Area con respecto a los ejes coordenados
• Area con respecto al eje X
b b
Ax = f (x) − g(x)dx = (f.arriba − f.abajo)dx
a a
• Area con respecto al eje Y
b b
Ay = f (y) − g(y)dy = (f.derecha − f.izquierda)dy
a a
Nota: No importa en que cuadrante se encuentre el ´rea acotada, siempre es
a
la funcio´n de arriba menos la de abajo en terminos de x, de manera an´loga
o a
para y, siempre la funci´n de la derecha menos la de la izquierda.
o
4 Temuco, June 8, 2010