Este documento presenta una introducción al cálculo vectorial, incluyendo cómo determinar ecuaciones para rectas y planos en el espacio tridimensional. Explica cómo encontrar ecuaciones paramétricas y simétricas para una recta, y la ecuación canónica de un plano. También cubre conceptos como el ángulo entre planos y la distancia entre puntos y planos.

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020

3. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN AL
CÁLCULO VECTORIAL
TEMA: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

4. RECTAS EN EL ESPACIO
PENDIENTE
VECTORES
DETERMINAR LA
ECUACIÓN DE UNA
RECTA

5. RECTAS EN EL ESPACIO
1 1 1, , , ,PQ x x y y z z at bt ct t= − − − = = v
L: Recta en el plano a través del punto P.
v: Vector de dirección.
a, b, c: números de dirección o directores
PQ es múltiplo escalar de v.

6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
1 1 1, , , ,PQ x x y y z z at bt ct t= − − − = = v
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA RECTA EN EL PLANO

7. ECUACIONES SIMÉTRICAS
1 1 1, , , ,PQ x x y y z z at bt ct t= − − − = = v
Si todos los números directores a, b, c son distintos de cero, se puede
eliminar el parámetro t, para obtener las ecuaciones simétricas (cartesianas)
de la recta.
1 1 1x x y y z z
a b c
− − −
= =

8. EJEMPLO 1
Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por el
punto (1, -2, 4) y es paralela a v = <2, 4, -4>
1
1
1
1
2
4
x
y
z
=
= −
=
2
4
4
a
b
c
=
=
= −
1 2
2 4
4 4
x t
y t
z t
= +
= − +
= −
1 2 4
2 4 4
x y z− + −
= =
−
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
ECUACIONES SIMÉTRICAS
COORDENADAS DIRECTORES

9. EJEMPLO 2
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los
puntos P(-2, 1, 0) y Q(1, 3, 5)
1
1
1
2
1
0
x
y
z
= −
=
=
3
2
5
a
b
c
=
=
=
2 3
1 2
5
x t
y t
z t
= − +
= +
=
2 1
3 2 5
x y z+ −
= =
ECUACIONES SIMÉTRICAS
COORDENADASDIRECTORES
( )1 2 ,3 1,5 0 3,2,5 , ,PQ a b c= = − − − − = =v
ECUACIONES PARAMÉTRICAS

10. PLANO EN EL ESPACIO
Se requiere de un punto P en el plano y un
vector normal al plano (distinto de cero)
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
0
, , , , 0
0
PQ
a b c x x y y z z
a x x b y y c z z
 =
 − − − =
− + − + − =
n
P: punto en el plano.
n: vector normal al plano.
El plano conta de todos los puntos Q, para
los cuales el vector PQ es ortogonal a n.

11. ECUACIONES DE UN PLANO EN EL
ESPACIO
ECUACIÓN CANÓNICA O ESTÁNDAR DE UN PLANO EN EL ESPACIO
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UN PLANO EN EL ESPACIO
0ax by cz d+ + + =

12. EJEMPLO 3
Hallar la ecuación general del plano que contiene los puntos (2, 1, 1), (0, 4, 1) y (-
2, 1, 4)
0 2,4 1,1 1 2,3,0
2 2,1 1,4 1 4,0,3
= − − − = −
= − − − − = −
u
v
2 3 0 9 6 12 , ,
4 0 3
a b c= − = + + =
−
i j k
n = u× v i j k
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 0
9 2 6 1 12 1 0
a x x b y y c z z
x y z
− + − + − =
− + − + − =

13. EJEMPLO 3
Hallar la ecuación general del plano que contiene los puntos (2, 1, 1), (0, 4, 1) y (-
2, 1, 4)
( ) ( ) ( )9 2 6 1 12 1 0
9 6 12 36 0
3 2 4 12 0
x y z
x y z
x y z
− + − + − =
+ + − =
+ + − =
FORMA CANÓNICA
FORMA GENERAL
FORMA GENERAL
SIMPLIFICADA

14. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS
Si dos planos se cortan, se puede determinar el
ángulo entre ellos a partir del
ángulo entre sus vectores normales
( )0
2
 
1 2
1 2
Cos

=
n n
n n
Dos planos con vectores normales n1 y n2 son:
Perpendiculares si n1.n2=0
Paralelos si n1 es un múltiplo escalar de n2

15. DISTANCIA ENTRE PUNTOS, PLANOS Y
RECTAS
La distancia D de un punto Q a un plano es la
longitud del segmento de recta más corto que une a
Q con el plano.

16. DISTANCIA ENTRE PUNTOS, PLANOS Y
RECTAS
La distancia del punto Q (x0, y0, z0) al plano dado por
ax + by + cz +d = 0 es.
( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 1
2 2 2
a x x b y y c z z
D
a b c
− + − + −
=
+ +
0 0 0
2 2 2
ax by cz d
D
a b c
+ + +
=
+ +
P(x1, y1, z1) es un punto en el plano
d = -(ax1 + by1 + cz1)

17. DISTANCIA ENTRE PUNTOS, PLANOS Y
RECTAS

18. PREGUNTAS