Este documento presenta los conceptos y criterios para analizar funciones utilizando el cálculo diferencial, incluyendo el criterio de la primera y segunda derivada para determinar intervalos de crecimiento/decrecimiento, extremos locales, concavidad y puntos de inflexión. También presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos y su aplicación al análisis de funciones.
Las diapositivas que usted podra observar contiene la fundamentacion de la derivada con la teoria de limites, con la recta tangente. luego se muestran algunos ejemplo y por ultimo las Reglas de derivación ... atentamente el Docente.
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN. .
2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
3.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.
5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS
6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA..
7.- DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES
8.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
9.1.- CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L´HÔPITAL
9.2.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS. OPTIMIZACIÓN
9.3.- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
9.4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
10.- ACTIVIDADES
11.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
Las diapositivas que usted podra observar contiene la fundamentacion de la derivada con la teoria de limites, con la recta tangente. luego se muestran algunos ejemplo y por ultimo las Reglas de derivación ... atentamente el Docente.
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN. .
2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
3.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.
5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS
6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA..
7.- DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES
8.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
9.1.- CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L´HÔPITAL
9.2.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS. OPTIMIZACIÓN
9.3.- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
9.4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
10.- ACTIVIDADES
11.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
Las normas de clase,son pautas establecidas dentro del entorno educativo para regular el comportamiento de los estudiantes y del profesor. Estas normas tienen varios propósitos y beneficios en el contexto de un aula de clase.
Las normas de clase, son pautas establecidas dentro del entorno educativo para regular el comportamiento de los estudiantes y del profesor. Estas normas tienen varios propósitos y beneficios en el contexto de un aula de clase.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
2. APLICACIONES DE LA DERIVADA
Cristian Camilo Penagos Torres
Mag´ıster en Docencia
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana
3. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Sea f una funci´on que es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el
intervalo (a, b)
1.) Si f (x) > 0 ∀x ∈ (a, b), entonces f(x) es creciente en [a, b].
2.) Si f (x) < 0 ∀x ∈ (a, b), entonces f(x) es decreciente en [a, b].
3.) Si f (x) = 0 ∀x ∈ (a, b), entonces f(x) es constante en [a, b].
Figura 1.
Tomada de Zill (2011)
4. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
EJEMPLO
Determine los intervalos sobre los cuales f(x) = x3 − 3x2 − 24x es creciente
y los intervalos sobre los cuales f es decreciente.
f (x) = 3x2 − 6x − 24 = 3(x + 2)(x − 4)
Para determinar cu´ando f (x) > 0 y f (x) < 0, es necesario solucionar
(x + 2)(x − 4) > 0 y (x + 2)(x − 4) < 0 respectivamente.
Una manera de solucionar las desigualdades es averiguar los cambios de
signo de los factores (x + 2)(x − 4) sobre la recta real, limitada por los
puntos cr´ıticos de f (en este caso son x = −2 y x = 4), de esta manera, los
intervalos donde analizaremos cambios de signo de f son:
(−∞, −2]; [−2, 4]; [4, ∞) Ver figura.
As´ı f es creciente en (−∞, −2] ∪ [4, ∞) y decreciente en el intervalo [−2, 4]
5. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
suponga que c es un punto cr´ıtico de una funci´on continua f.
1.) Si f cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un m´aximo local
en c.
2.) Si f cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un m´ınimo local
en c.
3.) Si f no cambia de negativa a positiva o de positiva a negativa, entonces f
no tiene m´aximo o m´ınimo local en c.
Figura 2.
Tomada de Stewart (2012)
6. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
EJEMPLO
Encontrar los extremos relativos de la funci´on f(x) = (x2
− 4)2/3
. Es importante encontrar
los valores cr´ıticos de esta funci´on.
f(x) = (x2
− 4)2/3
=
4x
3(x2 − 4)1/3
Por tanto, f (x) = 0 si x = 0. Adem´as, f (x) no existe en x = +2. De tal modo, los puntos
cr´ıticos son x = −2, x = 0, x = 2.
Intervalo −∞ < x < −2 −2 < x < 0 0 < x < 2 2 < x < ∞
Valor de prueba x = −3 x = −1 x = 1 x = 3
Signo de f (x) f (−3) < 0 f (−1) > 0 f (1) < 0 f (3) > 0
Conclusi´on Decreciente Creciente Decreciente Creciente
Por el criterio de primera derivada: f posee un m´ınimo relativo en x = −2, un m´aximo
relativo en x = 0 y un m´ınimo relativo en x = 2.
7. CONCAVIDAD
CONCAVIDAD DE UNA FUNCI ´ON
La gr´afica de una funci´on diferenciable y = f(x) es
1.) c´oncava hacia arriba en un intervalo I si f es creciente en I.
2.) c´oncava hacia abajo en un intervalo I si f es decreciente en I.
Figura 3.
Tomada de Larson (2010)
La gr´afica de la funci´on es c´oncava hacia abajo en (−∞, 0) y c´oncava hacia
arriba en (0, ∞).
8. CONCAVIDAD
PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA LA CONCAVIDAD
Sea f una funci´on cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto (a, b)
1.) Si f (x) > 0 ∀x ∈ (a, b), entonces la gr´afica de f es c´oncava hacia
arriba.
2.) Si f (x) < 0 ∀x ∈ (a, b), entonces la gr´afica de f es c´oncava hacia
abajo.
PUNTOS DE INFLEXI ´ON
Un punto c en la curva f recibe el
nombre de punto de inflexi´on si f es
continua ah´ı y la curva cambia de
c´oncava hacia arriba a c´oncava hacia
abajo o viceversa.
Figura 4.
Tomada de Stewart (2012)
9. CONCAVIDAD
Si (c, f(c)) es un punto de inflexi´on de la gr´afica de f, entonces f (c) = 0 o
f no existe en x = c.
EJEMPLO
Sea f(x) = 6
x2+3
. Determine los intervalos abiertos donde la funci´on es c´oncava hacia arriba
y/o hacia abajo.
f(x) =
6
x2 + 3
f(x) = 6(x2
+ 3)−1
f (x) = (−6)(x2
+ 3)−2
(2x)
=
−12x
(x2 + 3)2
f (x) =
(x2
+ 3)2
(−12) − (−12x)(2)(x2
+ 3)(2x)
(x2 + 3)4
=
36(x2
− 1)
(x2 + 3)3
10. CONCAVIDAD
Como f (x) = 0 cuando x = +1 y f se define en todos los reales, se debe
probar f en los intervalos
Intervalo ∞ < x < −1 −1 < x < 1 1 < x < ∞
Valor de prueba x = −2 x = 0 x = 2
Signo de f (x) f (−2) > 0 f (0) < 0 f (2) > 0
Conclusi´on C. Arriba C. Abajo C. Arriba
11. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS LOCALES
Suponga que f es continua en un intervalo abierto que contiene a c.
1.) Si f (c) = 0 y f (c) < 0, entonces, f tiene un m´aximo local en x = c.
2.) Si f (c) = 0 y f (c) > 0, entonces, f tiene un m´ınimo local en x = c.
3.) Si f (c) = 0 y f (c) = 0, entonces, la prueba falla. La funci´on f puede
tener un m´ınimo o un m´aximo local en x = c pero el criterio no lo podr´a
decidir.
Figura 5.
Tomada de Thomas (2010)
12. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
EJEMPLO
Encontrar los extremos locales de la funci´on f(x) = −3x5
+ 5x3
. Para ello, es necesario
encontrar los puntos cr´ıticos de f.
f(x) = −3x5
+ 5x3
f (x) = −15x4
+ 15x2
= 15x2
(1 − x2
)
Los puntos cr´ıticos de f son x = 0, x = 1, x = −1. Seg´un el criterio de la segunda derivada,
se tiene
Punto (−1, −2) (1, 2) (0, 0)
Signo de f (x) f (−1) > 0 f (1) < 0 f(0) = 0
Conclusi´on M´aximo relativo M´ınimo Relativo Falla la prueba
13. AN ´ALISIS DE FUNCIONES
PROCEDIMIENTO PARA EL AN ´ALISIS DE FUNCIONES
1. Dominio.
2. Intersecci´on con los ejes coordenados.
3. Sim´etrias.
4. As´ıntotas.
5. Intervalos donde la funci´on es creciente o decreciente.
6. Puntos cr´ıticos. Valores m´ınimo y m´aximo locales
7. Concavidad y puntos de inflexi´on.
8. Trace la curva
14. AN ´ALISIS DE FUNCIONES
REFERENCIAS
Stewart, J. (2012). C´alculo de una variable, trascendentes tempranas.
M´exico: Cengage Learning.
Thomas, G. (2010). C´alculo de una variable. M´exico: Pearson.
Larson, R. (2010). C´alculo 1 de una variable. M´exico: McGraw-Hill.
Zill, D. (2011). Matem´aticas 1, C´alculo Diferencial. M´exico:
McGraw-Hill.