Este documento describe los conceptos básicos de los vectores. Existen dos tipos de cantidades físicas: escalares y vectoriales. Las cantidades escalares solo tienen magnitud, mientras que las cantidades vectoriales tienen magnitud y dirección. El documento explica cómo representar vectores gráficamente y mediante coordenadas, y describe operaciones como la suma y multiplicación de vectores.
En la presentación se define torque o momento de fuerza, se hacen observaciones sobre sus propiedades y se define la segunda condición de equilibrio: Equilibrio de Rotación.
En la presentación se define torque o momento de fuerza, se hacen observaciones sobre sus propiedades y se define la segunda condición de equilibrio: Equilibrio de Rotación.
Álgebra Vectorial
1. Vectores en el plano y en el espacio
1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones.
1.2. Vector dirigido
1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio.
1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de números reales.
1.5. Definición de vector de posición
1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de números reales.
2 Operaciones con vectores
2.1. Igualdad de vectores
2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones
2.3. Sustracción de vectores
2.4. Multiplicación por un escalar
2.5. Propiedades de las operaciones
2.6. Vector nulo y vector unitario
2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de dos vectores
3. Producto escalar de dos vectores
3.1. Vectores unitarios i, j, k
3.2. Forma trinómica de un vector
3.3. Definición de producto escalar
3.4 Ortogonal
3.5. Angulo entre dos vectores
3.6. Definición de componente vectorial y proyección de componente escalar de un vector sobre otro
3.7. Cosenos directores
4. Producto vectorial de dos vectores
4.1. Interpretación geométrica y propiedades
4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades
4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de un paralelogramo
4.4. Definición de producto mixto
4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.
5. Uso de software matemático como instrumento verificador de resultados y herramienta de visualización en conceptos.
Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se representa como (formado mediante el producto cartesiano).
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2. CANTIDADES FÍSICAS.
¿Qué es una cantidad Física?
Es aquella que está definida por un número que la mide y una
unidad de medición.
¿Cuántos tipos de cantidades Físicas
existen?
Cantidad escalares (o escalares)
Existen dos tipos de
cantidades físicas
Cantidades vectoriales ( o vectores)
Ing. Marcos Guerrero 2
3. CANTIDADES ESCALARES.
¿Qué es una cantidad escalar?:
Es una cantidad física que posee un número que las mide y una unidad de medición.
número + unidad
mide medición
Ejemplos:
La masa 20 kg
La distancia 45 m
El volumen 15 m3
El tiempo 2 s
La rapidez 30 m.s-1
Ing. Marcos Guerrero 3
4. CANTIDADES VECTORIALES.
¿Qué es una cantidad vectorial?:
Es una cantidad física que a más de tener un número que las mide y una
unidad de medición, posee dirección.
número + unidad + dirección
Ejemplos: magnitud o módulo o norma
El desplazamiento 6m, en el eje x (+)
La velocidad 25m.s-1, Sur
La aceleración 5m.s-2, 180°
Fuerza 6,0N, Noreste
Campo eléctrico 200 N.C-1, 45.0° SE
Ing. Marcos Guerrero 4
6. Indique, ¿cuál de las siguientes alternativas no es una
cantidad vectorial?
A. Velocidad
B. Desplazamiento
C. Posición
D. Rapidez
E. Pienso que existen más de uno que no son cantidades
vectoriales.
Ing. Marcos Guerrero 6
7. Indique, ¿cuál de las siguientes alternatrivas es una cantidad
vectorial?
A. Masa
B. Temperatura
C. Aceleración
D. Tiempo
E. Pienso que mas de uno es una cantidad vectorial
Ing. Marcos Guerrero 7
8. ¿Cuáles de los siguientes alternativas tiene solo cantidades
vectoriales?
A. Fuerza, volumen, altura, velocidad, edad.
B. Densidad, aceleración, crecimiento de una persona.
C. Temperatura, luz, campo eléctrico, sonido.
D. Las manecillas del reloj, área, distancia recorrida.
E. Al menos una de las alternativas anteriores contiene por lo
menos una cantidad vectorial.
Ing. Marcos Guerrero 8
9. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
DE UN VECTOR
Magnitud o módulo o norma
(tamaño del vector según la cantidad física)
• Flecha
Dirección
• Ángulo
Línea de referencia( se la utiliza para
Punto de aplicación medir un ángulo)
(donde nace el vector)
Ing. Marcos Guerrero 9
10. Adicionalmente, todo vector posee una línea imaginaria llamada
línea de acción.
¿Qué está permitido hacer con el vector con respecto a la línea
de acción?
Ing. Marcos Guerrero 10
11. RESPUESTA:
Todo vector se lo puede mover sobre la línea de acción o paralela a la línea de
acción y no se altera su magnitud y dirección
Ing. Marcos Guerrero 11
12. SIMBOLOGÍA.
Vector. Otra nomenclatura de vector
B
a A
AB
Magnitud, módulo o norma. A
a A La magnitud de un vector es
SIEMPRE MAYOR O IGUAL A
a A CERO NUNCA NEGATIVA.
Ing. Marcos Guerrero 12
13. Existen 3 maneras de representar un vector:
Representación de un vector en coordenadas polares
F 5N 30O o b 20m 60o
Representación de un vector en coordenadas rectangulares (también llamado
coordenadas cartesianas)
(3m,5m)
Representación de un vector en coordenadas cardinales
5m40o NE
Ing. Marcos Guerrero 13
14. Explique ¿cómo se determina por lo general la dirección
de un vector cuando se trabaja en coordenadas polares?
El eje x(+) es la línea de referencia.
El ángulo se lo puede leer a favor del
movimiento de las manecillas del
reloj (ángulo negativo) y en contra
del movimiento de las manecillas del
reloj (ángulo positivo).
Ing. Marcos Guerrero 14
17. Plano de orientación vectorial.
N
NO=O del N NE=E del N
N del O N del E
O E
S del O S del E
SO=O del S SE=E del S
S
Ing. Marcos Guerrero 17
18. Explique ¿cómo se determina la dirección de un vector
cuando se trabaja con coordenadas cardinales?
La línea de referencia se la puede
tomar ya sea con respecto al eje
vertical o con respecto al eje
horizontal
Ing. Marcos Guerrero 18
19. USANDO ESCALAS PARA
DIBUJAR UN VECTOR.
Para dibujar un vector necesita una regla y un graduador.
Ing. Marcos Guerrero 19
20. MULTIPLICACIÓN DE UN
ESCALAR POR UN VECTOR.
Vector = escalar x vector
a
b ka
Primero suponemos que k es un número sin unidades para poder comparar
los vectores
y
.
b a
Con respecto a k puede haber 7 casos:
k 1 k 0 k 1
k 1 1 k 0 0 k 1 k 1
k
-1 0 1
Ing. Marcos Guerrero 20
21. CASO 1: k 1
Si tomamos k=-2, entonces b 2a .
a
b
Conclusión:
b a
Los vectores a y b tienen direcciones opuestas (contrarias).
Ing. Marcos Guerrero 21
22. CASO 2: k 1
Si tomamos k=-1, entonces b a .
a b
Conclusión:
b a
Los vectores a y b tienen direcciones opuestas.
Vector negativo.
Un vector es negativo si tiene la misma magnitud y
dirección a opuesta a otro vector.
Ing. Marcos Guerrero 22
23. CASO 3: 1 k 0
1 ; entonces 1
Si tomamos k b a.
2 2
a
b
Conclusión:
b a
Los vectores a y b tienen direcciones opuestas.
Ing. Marcos Guerrero 23
24. CASO 4: k 0
Si tomamos k=0, entonces b 0 .
a
b
Conclusión:
b a
Vector cero o vector nulo.
Un vector que tiene una magnitud de cero e infinita direcciones.
Se lo representa con un punto, en donde se encuentra su punto de
aplicación y la flecha.
Ing. Marcos Guerrero 24
25. CASO 5: 0 k 1
1 ; entonces 1
Si tomamos k b a .
2 2
a
b
Conclusión:
b a
Los vectores a y b tienen la misma dirección.
Ing. Marcos Guerrero 25
26. CASO 6: k 1
Si tomamos k 1 ; entonces b a .
a b
Conclusión:
b a
Los vectores a y b tienen la misma dirección.
Vectores iguales.
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la
misma dirección.
Ing. Marcos Guerrero 26
27. CASO 7: k 1
Si tomamos k 2 ; entonces b 2a .
a
b
Conclusión:
b a
Los vectores a y b tienen la misma dirección.
Animación
Ing. Marcos Guerrero 27
28. CONCLUSIÓN.
Cuando el escalar es negativo los vectores ay b
tienen direcciones
opuestas. En cambio, cuando el escalar es positivo los vectores a y b
tienen la misma dirección
¿Qué ocurre si el escalar k tiene
unidades, se podrá comparar las
magnitudes de los vectores a y b ?
No se pueden comparar porque ambos vectores son diferentes cantidades
físicas.
Ambos vectores tienen la
Ejemplo:
W mg misma dirección pero
representan cantidades
físicas diferentes.
Peso (N) Masa (kg) Aceleración de la gravedad (m/s2)
Ing. Marcos Guerrero 28
29. OPERACIONES ENTRE
VECTORES.
Suma y resta entre vectores:
los vectores deben ser de la
misma cantidad física.
Producto punto o producto escalar:
escalar vector vector
Multiplicación: los
vectores pueden ser
de igual o de
diferentes cantidades
físicas. Producto cruz o producto vectorial:
vector vector vector
Ing. Marcos Guerrero 29
30. SUMA Y RESTA ENTRE
VECTORES
Ing. Marcos Guerrero 30
31. MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN
DE PROBLEMAS EN LOS QUE SE
INVOLUCRA LA SUMA Y RESTA
ENTRE VECTORES.
Ing. Marcos Guerrero 31
32. Método del paralelogramo.
Métodos gráficos Método del triángulo.
Método del polígono cerrado.
Método del paralelogramo.
Pitágoras y funciones trigonométricas básicas.
Métodos analíticos
Ley seno y ley del coseno.
Método de las componentes. 32
Ing. Marcos Guerrero
34. MÉTODO DEL
PARALELOGRAMO.
Se lo utiliza cuando se tiene suma o resta entre 2 vectores.
El método para suma de 2 vectores consiste en:
•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.
•Trazar paralelas a los 2 vectores formando un paralelogramo.
•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la
unión de los 2 vectores y termina en la intersección de las 2
paralelas .
Ing. Marcos Guerrero 34
35.
Ejercicio 1: Sean los vectores A y Bque se muestran a continuación
en la siguiente gráfica. Dibujar el vector resultante.
A
B
Solución:
Cuando se pide la resultante de 2 o más vectores, se asume que es la suma
de todos los vectores que están en el gráfico.
Ing. Marcos Guerrero 35
36.
R A B
A
B
Ejercicio 2: Sean los vectores A y B del ejercicio 1. Dibujar el
vector R A B
.
Solución:
Primero disfrazamos la resta de suma, es decir
R A ( B).
Segundo graficamos el vector B .
B B
Ing. Marcos Guerrero 36
37.
R A ( B)
A
B
Ejercicio 3: Sean losvectores A y B
del ejercicio 1. Dibujar el
Solución:
vector R B A.
Primero disfrazamos la resta de suma, es decir R B ( A) .
Segundo graficamos el vector A.
A A
Ing. Marcos Guerrero 37
38.
B
A
R B A
Comparando los gráficos de los ejercicios 2 y 3 podemos decir que la
resta de vectores no es conmutativa. Conclusión:
B
R A ( B) A B B A
A A
R B A A B B A
B
Propiedad anticonmutativa de la resta: A B B A .
Ing. Marcos Guerrero 38
41. MÉTODO DEL
TRIÁNGULO.
Se lo utiliza cuando se tiene resta entre 2 vectores.
El método consiste en:
•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.
•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la
flecha del segundo vector de la operación y termina en la
flecha del primer vector de la operación.
Ing. Marcos Guerrero 41
42.
Ejercicio 1: Sean los vectores A y B que semuestran a
continuación. Dibujar el vector R A B .
A
B
Solución:
R A B R A B
A
B
Primer vector de la Segundo vector de
operación la operación
Ing. Marcos Guerrero 42
43.
Ejercicio 2: Sean los vectoresA y B que semuestran a
continuación. Dibujar el vector R B A .
A
B
Solución:
R B A R B A
A
B
Primer vector de la Segundo vector de
operación la operación
Ing. Marcos Guerrero 43
44. Comparando los gráficos de los ejercicios 1 y 2 podemos decir que la
resta de vectores no es conmutativa.
R A B
R B A
A
A
B
B
Comparando con el método del paralelogramo.
B
R A ( B)
A A
R B A
B Ing. Marcos Guerrero 44
47. MÉTODO DEL POLÍGONO
CERRADO.
Se lo utiliza cuando se tiene 2 o más vectores.
Se lo utiliza en las operaciones de suma y resta entre vectores.
El método consiste en:
•Colocar el primero vector de la operación.
•Colocar el segundo vector de la operación de tal
manera que su punto de aplicación coincida con la
flecha del primer vector de la operación.
•Colocar el tercer vector de la operación de tal
manera que su punto de aplicación coincida con la
flecha del segundo vector de la operación y así
sucesivamente………..
•El vector resultante se inicia en el punto de
aplicación del primer vector y termina en la flecha Animación.
del último vector de la operación.
Ing. Marcos Guerrero 47
48. Animación.
Conclusión:
Propiedad conmutativa de la suma de vectores: A B B A
Ing. Marcos Guerrero 48
49. Animación.
Conclusión:
Propiedad asociativa de la suma de vectores: ( A B) C A ( B C )
Propiedad distributiva de la suma y resta de vectores:
m( A B) mA mB
Ing. Marcos Guerrero 49
50. PREGUNTAS CONCEPTUALES.
¿Pueden 2 vectores de diferente magnitud sumar cero?
A. Si.
B. No.
¿Pueden 3 vectores de igual magnitud sumar cero?
A. Si.
B. No.
53.
Tres vectores A , B, and C son mostrados a continuación.
¿Cuál alternativa representa mejor el vector S A B C
B
A C
A) B) Blue C) Green
Pink D) Yellow
Purple: None of these!
E) Ninguna es correcta
55. Para cada una de las siguientes afirmaciones indique V si es
verdadero o F si es falso y justifique su respuesta en caso de
ser falso.
1. La magnitud de un vector puede ser positiva, negativa o
cero.
2. El mínimo número de vectores de igual magnitud para que
su resultante sea cero es 3.
3. La magnitud de la suma de los 2 vectores es igual a la
magnitud de la resta de los 2 vectores siempre que los 2
vectores sean perpendiculares entre sí. .
Ing. Marcos Guerrero 55
56. 4. Las cantidades escalares pueden ser positivas, negativas o
cero.
5. Son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento y
la velocidad.
6. Son ejemplos de cantidades escalares la temperatura y la
presión.
7. Si la ecuación escalar de 2 vectores es C=A+B y su
ecuación vectorial es A B C ,entonces el ángulo entre
los vectores A y B es 00.
Ing. Marcos Guerrero 56
58. MÉTODO DEL
PARALELOGRAMO.
Se lo puede utilizar entre 2 vectores.
Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.
Sean los vectores A y Bque se muestran a continuación,
y θ el ángulo que forma el vector A con una línea de
referencia.
A
B
Ing. Marcos Guerrero 58
59. Primero grafiquemos el vector resultante.
A R A B
B
Observemos que θ es el ángulo entre los vectores A
y B,
además Φ es el ángulo entre los vectores R y B .
Ing. Marcos Guerrero 59
60.
Si suponemos que conocemos la magnitud de los vectores Ay B ,
como también el ángulo entre ellos, entonces podemos determinar
la magnitud del vector resultante R y el ángulo
entre los vectores R
y B mediante las ecuaciones:
R A B 2 ABCos
2 2 2
ASen
Tan
B ACos
Ing. Marcos Guerrero 60
64. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES Y PITÁGORAS.
Las funciones trigonométricas básicas se las aplica en ángulos agudos
que se encuentran en el interior de un triángulo rectángulo.
Las 3 más importantes son:
opuesto
Sen
hipotenusa
adyacente
Cos
hipotenusa
opuesto
Tan
adyacente
Ing. Marcos Guerrero 64
65. c Sen a Sen
b
a c c
Cos b Cos a
b
c c
Tan b
y son ángulos agudos
Tan
a
b a
TEOREMA DE PITÁGORAS.
“La hipotenusa al cuadrado es
igual a la suma del cuadrado de c 2 a 2 b2
los catetos”. Ing. Marcos Guerrero 65
67. ¿Cómo utilizar las funciones trigonométricas básicas y el teorema
de Pitágoras en vectores?
Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la
operación de suma y resta entre vectores.
B
R A B
A
A B
A
R A B
B
C
R A B CGuerrero
Ing. Marcos
0
67
70. LEY DEL COSENO.
La ley deL Coseno permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para
resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que
quieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas
de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de
90°.
Ing. Marcos Guerrero 70
71. La ley del Coseno dice así:
“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo
que forman”
B A
Suponiendo que se conoce los Clados A y B, así como también el ángulo ,
entonces para determinar el lado C con la ecuación:
C A B 2 ABCos
2 2 2
Ing. Marcos Guerrero 71
72. B A
C
Suponiendo que se conoce los lados B y C, así como también el ángulo ,
entonces para determinar el lado A con la ecuación:
A B C 2BCCos
2 2 2
Ing. Marcos Guerrero 72
73. B A
C
Suponiendo que se conoce los lados A y C, así como también el ángulo ,
entonces para determinar el lado B con la ecuación:
B A C 2 ACCos
2 2 2
Ing. Marcos Guerrero 73
74. ¿Cómo utilizar la ley del coseno en vectores?
Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la
operación de suma y resta entre vectores.
B
R A B
A A
A B
R A B
B
C
R A B C 0
Ing. Marcos Guerrero 74
76. LEY DEL SENO.
La ley del Seno es una relación de 3 igualdades que siempre se cumplen
entre los lados y sus ángulos opuestos en un triángulo cualquiera, y que es
útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los
triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o
de 90°.
Ing. Marcos Guerrero 76
77. La ley de los Senos dice así:
“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales
a los senos de los ángulos opuestos”.
B A
C
A B C
Sen Sen Sen
Ing. Marcos Guerrero 77
78. B A
C
Suponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo ,
entonces para determinar el ángulo con la ecuación:
A B
Sen Sen
Ing. Marcos Guerrero 78
79. ¿Cómo utilizar la ley del seno en vectores?
Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la
operación de suma y resta entre vectores.
B
R A B
A A
A B
R A B
B
C
R A B C 0
Ing. Marcos Guerrero 79
82. DIBUJANDO LAS
COMPONENTES DE UN
VECTOR.
Imaginemos que tenemos un vector
en el primer cuadrante.
a
Y
Del gráfico podemos
a observar que:
ay
a ax a y
0
X
ax a x y a y son llamados
componentes ortogonales del vector a
o proyecciones del vector a a lo largo
de los ejes x e y respectivamente.
Animación
Ing. Marcos Guerrero 82
83. Imaginemos que tenemos un vector
en el segundo
a
cuadrante.
Y
a
ay
0 X
ax
Ing. Marcos Guerrero 83
84. Imaginemos que tenemos un vector
en el tercer cuadrante.
a
Y
ax 0
X
ay
a
Ing. Marcos Guerrero 84
85. Imaginemos que tenemos un vector
en el cuarto cuadrante.
a
Y
0
ax
X
ay
a
Ing. Marcos Guerrero 85
86.
Imaginemos que tenemos un vector a en el eje x(+).
Y
0
a ax
X
Como el vector a se encuentra en el eje x la componente del
.
vector a en el eje y es a 0
y
Ing. Marcos Guerrero 86
87.
Imaginemos que tenemos un vector a en el eje y(-).
Y
0
X
a ay
Como el vector a se encuentra en el eje y la componente del
.
vector a en el eje x es
ax 0
Ing. Marcos Guerrero 87
88. MAGNITUDES DE LAS
COMPONENTES DE UN
VECTOR.
Para determinar las magnitudes de las componentes de un vector a lo
largo de los ejes x e y respectivamente, se necesita la magnitud del vector
y el ángulo que forma el vector con el eje horizontal o vertical.
Imaginemos que tenemos el ángulo θ y la magnitud del vector
a
Y
a Utilizando las funciones
ay trigonométricas Coseno y Seno
para el ángulo θ tenemos:
ax
Cos ax aCos
0
X
ax a
ay
Sen a y aSen
a
Ing. Marcos Guerrero 88
89.
Ahora imaginemos que tenemos el ángulo y la magnitud del
vector a
Y
Utilizando las funciones
trigonométricas Coseno y Seno
a para el ángulo tenemos:
ay ay
Cos
a
a y aCos
ax
0
X Sen ax aSen
ax a
Ing. Marcos Guerrero 89
90. SIGNO DE LAS
COMPONENTES DE UN
VECTOR.
Y
Cuadrante II
Cuadrante I
ax () ax ()
a y () a y ()
X
Cuadrante III 0
Cuadrante IV
ax () ax ()
a y () a y ()
Ing. Marcos Guerrero 90
91. MAGNITUD DE UN VECTOR.
Imaginemos que conocemos las componentes a x y a y
del
vector a .
Y
Podemos utilizar el teorema de
a
Pitágoras para determinar la
ay magnitud del vectora ,
entonces tenemos:
X
a ax a y
2 2
0 ax
Ing. Marcos Guerrero 91
92. DIRECCIÓN DE UN VECTOR.
Recordemos que la dirección de un vector se lo mide con respecto al eje
x(+). Si la dirección se la mide a favor del movimiento de las manecillas
del reloj el ángulo es negativo, pero si la dirección se la mide en contra
del movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es positivo.
Ing. Marcos Guerrero 92
93. y
Para determinar la dirección de un vector, imaginemos que conocemos
las componentes a
x
a y del vector a .
Y Utilizando la siguiente función
trigonométrica tenemos:
a
ay
ay
Tan
θ ax
0
X
ax
Cada vez que se utilice esta ecuación
debemos tener presente que el ángulo θ
es el que forma el vector con el eje
horizontal.
Ing. Marcos Guerrero 93
95. Imaginemos que tenemos un vector
en el primer cuadrante.
a
Y
a
(-)
(+)
X
0
Ing. Marcos Guerrero 95
96. Imaginemos que tenemos un vector
en el segundo
a
cuadrante.
Y
a
(+)
X
0
(-)
Ing. Marcos Guerrero 96
97. Imaginemos que tenemos un vector
en el tercer cuadrante.
a
Y
(+)
0
X
(-)
a
Ing. Marcos Guerrero 97
98. Imaginemos que tenemos un vector
en el cuarto cuadrante.
a
Y
(+)
0
X
(-)
a
Ing. Marcos Guerrero 98
99. MÉTODO DE LAS
COMPONENTES.
Se lo puede utilizar cuando se tiene 2 o más vectores.
Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre
vectores.
El método consiste en:
•Colocar los vectores de tal manera que sus puntos de aplicación
coincidan con el origen de coordenadas.
•Dibujar las componentes de cada vector, trazando paralelas a los ejes X
y Y respectivamente
•Determinar las magnitudes de las componentes de cada vector
utilizando las funciones trigonométricas básicas seno y coseno.
•Colocar el signo de las componentes de cada vector según el cuadrante
respectivo en el que se encuentre el mismo.
Ing. Marcos Guerrero 99
100. •Determinar las componentes del vector resultante.
•Dibujar el vector resultante en el cuadrante respectivo.
•Determinar la magnitud del vector resultante con ayuda del teorema de
Pitágoras.
•Determinar la dirección del vector resultante, para esto se puede utilizar
la función trigonométrica como herramienta adicional.
Ing. Marcos Guerrero 100
101. Dos vectores A y B se muestran a continuación. Considere el
vector C = A+B. ¿Cuál es la componente del vector C en y?
(cada lado del cuadrado vale 1 u)
A) 3 y
B) 2 x
C) -2
A
D) -4
E) Ninguno de ellos es la respuesta.
B
Ing. Marcos Guerrero 101
107. SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIALES.
x z y
z y x
y x z
Sistema de coordenadas espaciales que contiene:
•3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z.
•3 planos x-y, x-z, y-z.
•8 octantes :
X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+).
X(-), y(-),z(+).
107
X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-).
Marcos Guerrero X(-), y(-),z(-).
108. UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL
SISTEMA DE COORDENADAS
ESPACIALES.
(x,y,z) Triada ordenada
z Cuando el punto de
coordenadas está:
• En el origen, las 3
coordenadas valen cero.
(0,0,c) (0,b,c)
• En el eje, 2 coordenadas
valen cero.
(a,b,c) c
(a,0,c) • En el plano, una
(0,b,0)
y coordenada vale cero.
(0,0,0)
• En el espacio, las 3
a coordenadas son diferente
(a,0,0)
b (a,b,0) de cero.
x
108 Marcos Guerrero
109. VECTORES EN EL ESPACIO.
z z
a
az a
ay
y ax y
ax az
ay
x a ax a y az
x ˆ
ax , a y , az
son llamados componentes a axi a y ˆ az k
ˆ j
ortogonales vector
del a o proyecciones Representación de un vector utilizando
del vector a a lo largo de los ejes x,y,z
vectores unitarios
respectivamente.
Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en los
ejes x y z respectivamente
109 Marcos Guerrero
110. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR
UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS
(VECTORES BASES).
¿Qué es un vector base?
Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a la
unidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura
110 Marcos Guerrero
111. ¿Para qué se utiliza los vectores base?
Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector
111 Marcos Guerrero
112. ¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje?
Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si
se encuentra en un eje sólo tiene una componente.
z z
Marcos Guerrero
a
y y
az
ax a ax
a ax az
x x
112
113. MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL
ESPACIO.
a
Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que su
magnitud viene dada por la expresión:
a ax a y az
2 2 2
113 Marcos Guerrero
114. DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL
ESPACIO.
z
α es el ángulo que forma el vector a con el eje x(+)
β es el ángulo que forma el vector a con el eje y(+)
az a con el eje z(+)
γ es el ángulo que forma el vector
γ a
β
ay
y
α
ax
x
α,β,γ se llaman ángulos directores y son los
ángulos que determinan la dirección de un
vector en el espacio.
114 Marcos Guerrero
115.
¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector a
con los ejes negativos?
1800-α es el ángulo que forma el vector a con el eje x(-)
1800 -βes el ángulo que forma el vector a con el eje y(-)
1800 -γes el ángulo que forma el vector a con el eje z(-)
a
α
1800 -α
x(+) x(-)
115 Marcos Guerrero
116. z
¿Cómo se determinan los ángulos directores?
Con ayuda de los cosenos directores.
a
az
ay
a a a ax y
α β γ
ax ay az x
a ay az
Cos x Cos Cos
a a a
a
Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos
directores están relacionados por la expresión:
Cos 2 Cos 2 Cos 2 1
116 Marcos Guerrero
117. GRAFICANDO UN VECTOR EN EL
ESPACIO. ˆ ˆ
a 3i 2 j 4k (m)
Graficar el vector
y
a
x
z
117 Marcos Guerrero
121.
VECTOR UNITARIO ( )
Definición:
Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.
z a
a
a
a : vector unitario del vector a
a
a Todo vector posee su vector unitario.
Los vectores a y a tienen la
y misma dirección.
El vector a es adimensional.
x
121 Marcos Guerrero
122. ˆ
a axi a y ˆ az k
ˆ j a ax a y az
2 2 2
ˆ j ˆ
axi a y ˆ az k
a
a
ax ˆ a y ˆ az ˆ En función de las componentes y
a i j k la magnitud
a a a
ˆ
a Cosi Cosˆ Cosk
ˆ j En función de los cosenos
directores
122 Marcos Guerrero
123. Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales
direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta.
Ambos tienen el mismo vector unitario.
V F Ambos vectores unitarios tienen la misma
magnitud y la misma dirección.
V V F 1
F
123 Marcos Guerrero
124. MULTIPLICACIÓN ENTRE
VECTORES.
oPueden ser de igual o de diferentes unidades.
oExisten dos tipos:
•Producto punto o producto escalar.
escalar vector vector
W F s
•Producto cruz o producto vectorial.
vector vector vector
r F
124 Marcos Guerrero
125. PRODUCTO PUNTO.
También llamado producto escalar.
Definición:
A B A B Cos
Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.
es el ángulo entre los vectores A
y B .
Animación.
125 Marcos Guerrero
126. PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO.
Propiedad Conmutativa: A B B A
Propiedad Distributiva: A (B C) A B A C
Propiedad de m( A B) (mA) B A (mB)
Homogenidad:
donde m es un escalar
2
Propiedad de Positividad: A A A siA 0
126 Marcos Guerrero
127. PRODUCTO PUNTO ENTRE
VECTORES UNITARIOS iˆ, ˆ, kˆ
j .
Producto punto entre vectores unitarios iguales .
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
ˆ ˆ ˆˆ
i i i i Cos 00
ˆ ˆ 1
j j ˆ ˆ
k k 1
ˆ ˆ
i i 1
El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es
igual a 1.
En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos
y de la misma dirección siempre es igual a 1.
127 Marcos Guerrero
128. Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares.
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
i ˆ i ˆ Cos900
ˆ j ˆ j
j ˆ
ˆk 0 ˆ ˆ
k i 0
i ˆ0
ˆ j
El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares
siempre es igual a 0.
128 Marcos Guerrero
129. PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores A y B : ˆ j ˆ
A AX i AY ˆ AZ k
ˆ j ˆ
B BX i BY ˆ BZ k
demostrar que: A B AX BX AY BY AZ BZ
129 Marcos Guerrero
130.
A B AX BX AY BY AZ BZ
Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.
130 Marcos Guerrero
131. APLICACIONES DEL PRODUCTO
PUNTO.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar el ángulo entre dos vectores.
•Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector
sobre otro vector.
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO EL
PRODUCTO PUNTO.
Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben
estar unidos por un mismo punto de aplicación.
131 Marcos Guerrero
132. Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la
ecuación:
A B
Cos 1
AB
132 Marcos Guerrero
133. PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN
VECTOR SOBRE OTRO VECTOR.
Proyección escalar de un vector sobre otro vector.
Imaginemos que tenemos dos vectores A y B unidos por un mismo
punto de aplicación.
A
Vamos a determinar la
proyección escalar del
vector A sobre el vector B
que se lo denota como AB .
B
AB
133 Marcos Guerrero
134. Del gráfico anterior tenemos:
AB A Cos
Si comparamos con la definición de producto punto:
A B A B Cos
La ecuación anterior la podemos expresar como:
A B B AB
A B
Despejando AB : AB
B
134 Marcos Guerrero
135. Proyección vectorial de un vector sobre otro vector.
Del gráfico anterior tenemos:
Dibujemosel vector unitario
del vector B ( ).
B
A
Donde: B
B
B
B
Ahora dibujemos la
B
AB AB proyección vectorial del vector A
sobre el vector B y lo
denotamos AB .
135 Marcos Guerrero
137. PRODUCTO CRUZ.
También llamado producto vectorial.
Definición:
Magnitud A B A B Sen
Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.
es el ángulo entre los vectores A
yB .
137 Marcos Guerrero
138.
¿Cómo se determina la dirección del vector A B
?
Con la regla de la mano derecha:
“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación,
luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menor
rotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante”
El producto vectorial sólo
AC existe en el espacio
tridimensional.
BC
Animación.
Animación.
138 Marcos Guerrero
139.
¿Cómo se determina la dirección del vector B A
?
A C
B C
Animación.
139 Marcos Guerrero
140. PROPIEDADES DEL
PRODUCTO CRUZ.
Propiedad anti-conmutativa A B B A
Propiedad distributiva A (B C) A B A C
Propiedad homogenidad ( A B) (A) B A (B)
: escalar
A B 0 si A // B
140 Marcos Guerrero
141. PRODUCTO CRUZ ENTRE
VECTORES UNITARIOS iˆ, ˆ, kˆ
j .
Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares.
ˆ
j ˆ
j
ˆ j ˆ
iˆk ˆ
ˆ i k
j ˆ
ˆ ˆ j
k i ˆ ˆ ˆ
i k ˆ
j
iˆ iˆ
j ˆ ˆ
ˆk i ˆ j
k ˆ i
ˆ
ˆ
k ˆ
k
141 Marcos Guerrero
142. Producto cruz entre vectores unitarios iguales.
ˆ ˆ
i i 0 El producto vectorial de dos
vectores unitarios iguales es el
ˆ ˆ 0
j j
vector nulo.
ˆk 0
k ˆ
142 Marcos Guerrero
143. PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores A y B : ˆ j ˆ
A AX i AY ˆ AZ k
ˆ j ˆ
B BX i BY ˆ BZ k
ˆ
i ˆ
j kˆ fila
C A B AX AY AZ
BX BY BZ
columna
143 Marcos Guerrero
144. ˆ
i ˆ
j ˆ
k
AY AZ A AZ A AY ˆ
C A B AX AY AZ iˆ X ˆ X
j k
BY BZ BX BZ BX BY
BX BY BZ
ˆ j ˆ
C C11i C12 ˆ C13k donde:
C11 AY BZ AZ BY
C12 AX BZ AZ BX
C13 AX BY AY BX
144 Marcos Guerrero
145. ¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado por los
vectores y A? B
Base A
B
Altura
Altura Sen
B
Base A Altura B Sen
Area Base Altura
Area A B Sen
145 Marcos Guerrero
146. Si la comparamos con la ecuación:
C A B A B Sen
Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores A y B
viene dada por la magnitud del vector C .
Area C A B
146 Marcos Guerrero
147. ¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los
vectores A , B y A B ?
B A B
A
Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores A, B y A B
viene dada por la mitad de la magnitud del vector C .
C A B
Area
2 2
147 Marcos Guerrero
148. APLICACIONES DEL PRODUCTO
CRUZ.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar un vector perpendicular al plano formado por dos
vectores.
•Determinar el área del paralelogramo formado por dos
vectores.
•Determinar el área del triángulo formado por tres vectores.
148 Marcos Guerrero
149. TRIPLE PRODUCTO ENTRE
VECTORES .
C A B
Vamos a determinar el producto
cruz entre los vectores A y B
( C A B ).
DC D B
Vamos a determinar la
proyección escalar del vector D
sobre el vector C ( DC).
A
149 Marcos Guerrero
150.
Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector D
sobre el vector C es la altura del paralelepípedo.
D C
h DC
C
h
D A B
A B
Donde A B es el área de la base del paralelepípedo.
150 Marcos Guerrero
151. Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la
base del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo,
entonces tenemos que:
Volumen h A B D A B
Volumen D A B
151 Marcos Guerrero