El documento explica tres métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1) Factorizar diferencias de cuadrados mediante la búsqueda de las raíces cuadradas de cada término. 2) Factorizar trinomios de la forma x2 ± bx ± c encontrando números que cumplan ciertas condiciones. 3) Factorizar trinomios cuadrados perfectos donde el término medio es el doble del producto de las raíces de los otros dos términos. Se proveen ejemplos detallados de cada método.
Este documento contiene información sobre varios temas matemáticos como la factorización, números complejos, año luz y biografías de matemáticos como Gauss. Explica diferentes métodos de factorización como factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y suma y diferencia de cubos. También incluye ejemplos y actividades de factorización.
Este documento presenta un taller sobre la factorización en matemáticas básicas. Explica cinco casos fundamentales de factorización e ilustra cada uno con ejemplos. El objetivo es familiarizar a los estudiantes con los diferentes métodos de descomponer expresiones matemáticas en factores. Finalmente, concluye que la práctica de ejercicios de factorización ayuda a recordar estas técnicas y mejorar las habilidades matemáticas.
Este documento describe varios métodos para factorizar polinomios, incluyendo: 1) factor común, 2) productos notables como diferencia de cuadrados y cuadrados perfectos, 3) suma y diferencia de cubos, y 4) agrupamiento de términos con factores comunes. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo descomponer polinomios en factores.
El documento explica los diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1) Factorizar factores comunes, 2) Agrupar términos o usar fórmulas para trinomios cuadrados perfectos y diferencias/sumas de cuadrados/cubos, 3) Asegurarse de que la expresión está completamente factorizada. Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cada método.
La factorización consiste en escribir una expresión algebraica como un producto. Existen varios métodos de factorización, incluyendo factor común, diferencia de cuadrados, y trinomios cuadráticos. La factorización es importante en matemáticas para descomponer expresiones en factores más simples.
El documento resume 9 casos de factorización de expresiones algebraicas. En cada caso, describe cómo reconocer la estructura y el método para factorizarla, ilustrando con ejemplos. Los casos incluyen factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos, y más. El documento proporciona una guía completa para factorizar diferentes tipos de expresiones.
El documento explica tres métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1) Factorizar diferencias de cuadrados mediante la búsqueda de las raíces cuadradas de cada término. 2) Factorizar trinomios de la forma x2 ± bx ± c encontrando números que cumplan ciertas condiciones. 3) Factorizar trinomios cuadrados perfectos donde el término medio es el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.
Este documento trata sobre la factorización de expresiones algebraicas. Explica conceptos como factor común, máximo común divisor, trinomio cuadrado perfecto y diferentes métodos de factorización como factorizar por un monomio o polinomio común, agrupación de términos y factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Incluye ejemplos detallados de cada uno de estos métodos.
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El documento explica tres métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1) Factorizar diferencias de cuadrados mediante la búsqueda de las raíces cuadradas de cada término. 2) Factorizar trinomios de la forma x2 ± bx ± c encontrando números que cumplan ciertas condiciones. 3) Factorizar trinomios cuadrados perfectos donde el término medio es el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.
Este documento trata sobre la factorización de expresiones algebraicas. Explica conceptos como factor común, máximo común divisor, trinomio cuadrado perfecto y diferentes métodos de factorización como factorizar por un monomio o polinomio común, agrupación de términos y factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Incluye ejemplos detallados de cada uno de estos métodos.
Taller de refuerzo clei 4º 1. y factorizacionNick Lujan
Este documento presenta un taller de sustentación de saberes sobre álgebra. Incluye 18 actividades relacionadas con temas como monomios, binomios, trinomios, polinomios, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones sintéticas de polinomios, triángulo de Pascal, productos notables, entre otros. El objetivo es que los estudiantes realicen de forma individual ejercicios prácticos sobre estos temas algebraicos fundamentales.
Este documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como trinomios, diferencias de cuadrados, diferencias de cubos y sumas de cubos. Describe los pasos para identificar si un trinomio es un cuadrado perfecto y cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. También explica cómo factorizar expresiones que son diferencias o sumas de cuadrados y cubos extrayendo las raíces cuadradas y cúbicas de los términos.
El documento describe varios pasos para factorizar expresiones algebraicas. Explica cómo agrupar términos con factores comunes y utilizar paréntesis para cambiar los signos cuando es necesario. También muestra cómo reordenar los términos para facilitar la factorización.
Este documento presenta un taller sobre la factorización de polinomios. Explica diferentes métodos de factorización como el factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados perfectos, trinomio de la forma x2 + bx + c, entre otros. Proporciona ejemplos detallados de cada método y concluye con una breve bibliografía.
El documento presenta 10 casos de factorización. Estos incluyen factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados perfectos, y suma o diferencia de cubos perfectos. También explica conceptos como raíces cuadradas, productos notables, y cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c.
Este documento presenta el temario de álgebra para el primer semestre de 2011 en la Universidad Técnica de Oruro. Incluye cinco temas principales como descomposición factorial, ecuaciones de primer y segundo grado, y potenciación. El documento también detalla la evaluación que consiste en asistencia, prácticas, dos exámenes parciales y un examen final.
Este documento define la factorización de números reales y polinomios, y describe varios métodos para factorizar polinomios como factor en común, agrupación, diferencia de cuadrados, suma y resta de cubos, y trinomios de la forma x^2 + bx + c y ax^2 + bx + c. El objetivo es definir la factorización y enseñar métodos para descomponer polinomios en factores.
Este documento presenta un examen de matemáticas de 5 puntos para 8o grado que cubre temas como: 1) calcular el resultado de expresiones algebraicas, 2) identificar si trinomios son cuadrados perfectos y factorizarlos, 3) desarrollar productos notables, y 4) factorizar polinomios. El examen contiene 5 preguntas con múltiples opciones de respuesta cada una.
Este documento presenta 10 casos de factorización de polinomios, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma y resta de potencias. Cada caso incluye una explicación, ejemplos y ejercicios para practicar la factorización. El objetivo es introducir al estudiante en la descomposición en factores como base para el estudio del álgebra.
Este documento presenta un taller sobre factorización matemática. Explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas incluyendo encontrar un factor común, factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, y descomponer sumas y diferencias de cubos perfectos. Contiene ejemplos detallados de cada método y ejercicios resueltos para practicar la factorización.
El documento presenta los diferentes métodos de factorización en álgebra, incluyendo factorización por factor común, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos, y trinomios de la forma ax2 + bx + c. Explica cada método a través de ejemplos y provee ejercicios para practicar cada uno.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre temas de matemáticas como trinomios, ecuaciones con radicales, ecuaciones incompletas y ecuaciones fraccionarias. Incluye ejemplos y pasos para resolver cada tipo de ecuación. El proyecto fue realizado por un grupo de estudiantes y su docente con el objetivo de facilitar la comprensión de procesos algebraicos.
El documento describe diferentes productos y cocientes notables en álgebra. Explica cuatro productos notables: (1) el cuadrado de un binomio, (2) el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, (3) el cubo de un binomio, y (4) la multiplicación de binomios con un término común. También describe tres cocientes notables: (a) (a + b)^n ÷ (a + b), (b) (a - b)^n ÷ (a - b), y (c) (a - b)^n ÷ (a
Ejercicio resuelto: Simplificación de expresiones algebraicashkviktor (HKV)
El documento resume los pasos para simplificar una expresión algebraica compleja mediante la factorización de términos. Explica cómo factorizar fracciones con distintos denominadores para homogenizarlos, factorizando expresiones como trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. Tras aplicar estas técnicas de factorización, combina las fracciones resultantes en una sola y simplifica los términos para obtener la expresión final.
El documento presenta una guía didáctica sobre la adición, resta, multiplicación y división de polinomios. Explica los conceptos teóricos con ejemplos numéricos y también incluye una autoevaluación para que los estudiantes verifiquen su comprensión.
Este documento presenta diferentes casos de factorización de polinomios, incluyendo: factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados perfectos, suma y diferencia de cubos perfectos, y trinomios de la forma x^2 + bx + c. Explica las formas de los polinomios factorizados y los productos notables resultantes en cada caso.
Este documento introduce las ecuaciones y la factorización. Explica qué es una ecuación y cómo se resuelven, incluyendo el uso de operaciones contrarias. Luego, define la factorización y proporciona ejemplos de cómo factorizar monomios, encontrar un factor común, y factorizar trinomios cuadrados perfectos. Finalmente, incluye ejercicios de práctica sobre estas ideas.
El documento describe las funciones trigonométricas y sus definiciones en términos de lados de triángulos rectángulos. Explica las funciones del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para ángulos de 30°, 60° y otros ángulos notables. También cubre fórmulas para sumas y diferencias de ángulos, así como funciones de ángulos dobles y triples.
Este documento presenta varias fórmulas y conceptos matemáticos como la derivada, integral, área de círculo, tangente, seno, coseno, raíz cuadrada, ángulos y transformaciones geométricas. El propósito es facilitar la comprensión de estos temas a través de explicaciones claras para lograr un aprendizaje significativo.
Taller de refuerzo clei 4º 1. y factorizacionNick Lujan
Este documento presenta un taller de sustentación de saberes sobre álgebra. Incluye 18 actividades relacionadas con temas como monomios, binomios, trinomios, polinomios, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones sintéticas de polinomios, triángulo de Pascal, productos notables, entre otros. El objetivo es que los estudiantes realicen de forma individual ejercicios prácticos sobre estos temas algebraicos fundamentales.
Este documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como trinomios, diferencias de cuadrados, diferencias de cubos y sumas de cubos. Describe los pasos para identificar si un trinomio es un cuadrado perfecto y cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. También explica cómo factorizar expresiones que son diferencias o sumas de cuadrados y cubos extrayendo las raíces cuadradas y cúbicas de los términos.
El documento describe varios pasos para factorizar expresiones algebraicas. Explica cómo agrupar términos con factores comunes y utilizar paréntesis para cambiar los signos cuando es necesario. También muestra cómo reordenar los términos para facilitar la factorización.
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El documento presenta 10 casos de factorización. Estos incluyen factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados perfectos, y suma o diferencia de cubos perfectos. También explica conceptos como raíces cuadradas, productos notables, y cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c.
Este documento presenta el temario de álgebra para el primer semestre de 2011 en la Universidad Técnica de Oruro. Incluye cinco temas principales como descomposición factorial, ecuaciones de primer y segundo grado, y potenciación. El documento también detalla la evaluación que consiste en asistencia, prácticas, dos exámenes parciales y un examen final.
Este documento define la factorización de números reales y polinomios, y describe varios métodos para factorizar polinomios como factor en común, agrupación, diferencia de cuadrados, suma y resta de cubos, y trinomios de la forma x^2 + bx + c y ax^2 + bx + c. El objetivo es definir la factorización y enseñar métodos para descomponer polinomios en factores.
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Ejercicio resuelto: Simplificación de expresiones algebraicashkviktor (HKV)
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El documento explica cómo resolver triángulos no rectángulos mediante el cálculo de sus lados, ángulos, perímetro y área. Presenta dos casos: 1) Dado un triángulo con sus tres lados, se calculan los ángulos usando el coseno y el teorema de la suma de ángulos. 2) Dado un triángulo con dos lados y un ángulo, se calcula el lado faltante usando el coseno y luego los demás elementos.
Este documento presenta las identidades trigonométricas fundamentales y demuestra algunas de ellas. En primer lugar, define las identidades trigonométricas primarias, inversas, por cociente y producto. Luego introduce las identidades pitagóricas derivadas del teorema de Pitágoras. Finalmente, demuestra 10 identidades trigonométricas mediante pasos algebraicos.
El documento presenta una introducción a varios temas fundamentales de álgebra y geometría, incluyendo ecuaciones lineales, factorización, sistemas de ecuaciones, funciones trigonométricas, y geometría analítica. Incluye ejemplos resueltos de cada tema así como evaluaciones para medir la comprensión de los estudiantes. El documento parece ser apuntes de clase de un profesor para varios temas básicos de matemáticas.
1. El documento trata sobre problemas resueltos de física en notación científica, sistemas de medidas angulares, mecánica y caída libre.
2. Explica conceptos como notación científica, operaciones con exponentes, conversiones de unidades, sistemas angulares y fórmulas para movimiento rectilíneo uniforme, movimiento variado y caída libre.
3. Incluye ejemplos resueltos de problemas relacionados a estos temas.
Este documento trata sobre productos notables y factorización. Explica los productos de binomios conjugados, el cuadrado de un binomio, y el cubo de un binomio. También cubre cómo factorizar una diferencia de cuadrados y un trinomio cuadrado perfecto. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
La factorización descompone expresiones algebraicas en factores cuyo producto es igual a la expresión original. El documento explica diferentes métodos de factorización como por factor común, binomial común, agrupación, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, y trinomios cuadrados perfectos. Proporciona ejemplos y procedimientos detallados para cada método.
1) El documento describe productos notables y la factorización de polinomios. Incluye ejemplos de productos notables como el cuadrado de una suma, diferencia y producto de binomios. 2) Explica cómo factorizar un polinomio extrayendo un factor común o agrupando términos. Incluye ejemplos de factorización de trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. 3) El propósito es mostrar reglas para simplificar expresiones algebraicas mediante productos notables y factorización.
1) El documento describe diferentes métodos de factorización de polinomios, incluyendo productos notables, factor común, diferencia de cuadrados, y trinomios cuadrados perfectos. 2) Explica cómo factorizar expresiones al sacar factores comunes como monomios o binomios, o agrupando términos con factores comunes. 3) Proporciona ejemplos detallados de cada método de factorización.
1) El documento describe diferentes métodos de factorización de polinomios, incluyendo productos notables, factor común, diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos. 2) Explica cómo factorizar expresiones al sacar factores comunes como monomios o binomios, agrupar términos con factores comunes y descomponer trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. 3) Proporciona ejemplos detallados de cada método de factorización.
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)anamariawyatt1
En la siguiente presentación se observaran diferentes conceptos y ejemplos de las expresiones algebraicas, como lo son suma, resta, multiplicacion, division, valor numerico, productos notables y factorizacion.
espero sea de ayuda la informacion suministrada
Este documento trata sobre productos notables en álgebra. Explica diferentes tipos de productos notables como binomios conjugados, binomios al cuadrado, binomios al cubo, binomio de Newton y binomios desarrollados mediante el triángulo de Pascal. También cubre temas como factorización de polinomios, operaciones con fracciones algebraicas y más.
Este documento describe los conceptos básicos de la factorización y las fracciones algebraicas. Explica cómo factorizar expresiones algebraicas utilizando factores comunes, trinomios cuadrados perfectos y otros métodos. También define fracciones algebraicas y describe cómo simplificarlas y realizar operaciones como suma y resta utilizando el mínimo común múltiplo.
El documento resume diferentes métodos para factorizar polinomios. Explica cómo factorizar cuando el factor común es un monomio o polinomio, así como trinomios de la forma ax^2 + bx + c y diferencias de cuadrados. Proporciona ejemplos para ilustrar cada método de factorización.
El documento presenta una breve historia de las matemáticas desde el antiguo Egipto hasta los griegos como Pitágoras y Euclides. Luego introduce los conceptos básicos de la factorización de polinomios, incluyendo diferentes casos como factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y cubos perfectos. Finalmente, detalla distintos métodos para factorizar expresiones algebraicas.
Este documento explica los conceptos básicos de la factorización de polinomios. Primero define la factorización y los tipos de factores comunes que pueden encontrarse en polinomios, como factores literales, números y otros polinomios. Luego, detalla los procedimientos para factorizar polinomios con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de la forma ax2 + bx + c.
Este documento presenta una guía sobre factorización de expresiones algebraicas. Explica diferentes tipos de factorización como factor común monomio y polinomio, diferencia y suma de cuadrados y cubos, y trinomio cuadrado perfecto. Incluye ejemplos resueltos de cada caso y un taller de ejercicios para practicar la aplicación de las técnicas de factorización. El objetivo es desarrollar la habilidad de los estudiantes para resolver problemas algebraicos mediante la factorización.
Este documento presenta información sobre productos notables en álgebra. Explica qué son los productos notables y cuáles son los principales, incluyendo el cuadrado de la suma o diferencia de dos cantidades, el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, y el producto de binomios con término común. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas fórmulas de productos notables.
El documento presenta una introducción al álgebra, incluyendo definiciones de términos como álgebra, exponentes y grado. Luego explica operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división, incluyendo ejemplos. Finalmente, cubre temas como ecuaciones cuadráticas, factorización, trinomios y productos notables.
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Explica los diferentes tipos de polinomios que se pueden factorizar, incluyendo aquellos con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y la forma ax^2 + bx + c. También cubre la suma y diferencia de cubos. El objetivo es enseñar a los estudiantes cómo descomponer polinomios en factores.
El documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, sumas, restas, multiplicación, división y factorización. Define cada operación y provee ejemplos ilustrativos. Explica también productos notables y cómo factorizar expresiones algebraicas usando diferentes métodos como factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto. Finaliza con una bibliografía de recursos sobre el tema.
Este documento trata sobre cómo factorizar expresiones algebraicas. Explica los diferentes tipos de factorización como polinomios con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de la forma ax^2 + bx + c. También incluye ejemplos para practicar cada tipo de factorización.
El documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo sacar el factor común, agrupar términos, identificar trinomios cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados, y trinomios de la forma ax2 + bx + c. También cubre factorizar cubos perfectos de tetranomios usando productos notables.
Este documento presenta diferentes métodos para factorizar polinomios. Comienza explicando brevemente la historia de las matemáticas y luego introduce los conceptos básicos de la factorización. A continuación, describe 13 casos específicos de factorización, incluyendo factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y suma/diferencia de cubos perfectos. Finalmente, incluye ejercicios de ejemplo para cada caso.
Este documento presenta 10 temas relacionados con la factorización de polinomios. En primer lugar, explica cómo extraer un factor común de un polinomio o de la suma de términos. Luego, cubre conceptos como la diferencia de cuadrados, el trinomio cuadrado perfecto y la combinación de estos con trinomios cuadrados. También aborda la factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c y la suma y diferencia de potencias impares.
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1. Página 1.
Factorización.
Diferencia de cuadrados.
Una diferencia de cuadrados es un binomio especial formado por dos términos que
tienen raíces cuadradas exactas, separados por el signo de menos.
Ejemplos.
1. 36x2- 64y2.
2. 100m4- 144n4
3. 81k2- 25w2.
Para factorizar una diferencia de cuadrados debemos buscar las raíces cuadradas
de los dos términos que forman dicha diferencia de cuadrados y luego se expresa el
producto de la suma de las raíces por la diferencia de las mismas.
Ejemplos 1
Factorizar
49m2-100y2
buscamos la raíz cuadrada de cada término.
2
49m2 = 7m.
2
100y 2 = 10y.
Luego los factores buscados son: (7m+10y) (7m-10y).
Ejemplo 2.
Factorizar 36a4 – 64m4.
Buscamos las raíces cuadradas de cada término.
2
36a4 =6a2
2
64m4 =8m2
y formamos dos binomios con estas raíces escribiendo en uno de ellos la suma de
dichas raíces y en el otro la diferencia de las mismas.
Los factores buscados son: (6a2+8m2) (6a2 -8m2).
Ejemplo 3.
Halle los factores de la siguiente diferencia de cuadrados.
81x4 – 144y4
Buscamos la raíz cuadrada de cada término
81x 4 = 9x2
144y 4 =12x2
Con estas raíces formamos dos binomios y expresamos el producto de dichos
binomios escribiendo en uno la suma de las raíces y en el otro la diferencia de las
mismas.
Luego los factores buscados son:
(9x2+12y2)(9x2-12y2)
2. Página 2.
Factorice las siguientes diferencias de cuadrados.
1. 25x4 –16a4
2. 144m2 –169y2
3. 9x2 - 81y2
4. 169w6 –100z6
5.
16
25
m4 −
64
81
x4
6. 121 b8 – 36 y8
Trinomio de la forma x2± bx ±c
Para factorizar un trinomio de esta forma, formamos dos binomios, se busca la
raíz cuadrada del término cuadrático y buscamos dos cantidades cuyo producto
sea ± c y cuya suma algebraicamente sea ± bx.
Ejemplos.
1. x2+6x+8
2. a2+9x+20
3. m2-12m+32
4. y2+5y-36
Hallar los factores de los siguientes trinomios
1. x2+7x-60
Buscamos dos números que multiplicados cuyo producto sea 60 y que sumados
algebraicamente nos den 7.
Estos números son 12 y -5 ya que (12) x (-5)=-60 y -5+12=7
Luego los factores buscados son: (x+12) (x-5)
Ejemplo 2.
Hallar los factores de m2+16m+28
Buscamos dos números cuyo producto sea 28 y que sumados den 16
Estos números son 14 y 2 ya que (14) x (2)=28 y 14+2=16, por tanto los factores
son:
(m+14) (m+2)
Ejemplo 3.
Hallar los factores de a2-8a-48
Se buscan dos números que multiplicados den -48 y que sumados den -8
Estos números son -12 y 4 ya que -12x4=-48 y -12+4=-8, por lo que los factores
son:
(a-12) (a+4).
Factorizar los siguientes trinomios.
1. x2+10x+21
2. w2-5w+6
3. b2+15b+56
4. y2+7y-44
5. m2-10m+24
3. Página 3.
Trinomio de la forma ax2+bx+c
¿Cómo se obtiene
Dado el trinomio 5x2+8x+3
un trinomio de la
forma ax2+bx +c?
Hallar sus factores.
Se multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático
5(5x2)+5(8x)+5(3)
Se escribe de la forma
(5x)2+8(5x)+15
Se asume que a=5x y expresamos el trinomio en función de a
a2+8a+15
Como se le dio la forma x2+bx+c, buscamos dos números que multiplicados
den 15 y que sumados den 8, estos números son 3 y 5
(a+5)(a+3) y como a=5x, entonces
(5x+5)(5x+3)
𝟓𝐱+𝟓 (𝟓𝐱+𝟑)
𝟓 𝐱 𝟏
= (x+1) (5x+3)
Como multiplique por 5, divido por 5 para
volver el trinomio a su forma original.
Luego los factores buscados son (x+1) (5x+3)
Ejemplo 2.
Halle los factores del trinomio 7x2+10x+3
Solución
Multiplico el trinomio por el coeficiente del término cuadrático
7(7x2)+7(10x)+7(3)
Se escribe de la forma
(7x)2+10(7x)+21
Como este trinomio tiene la forma x2+bx+c
Se asume que a=7x
buscamos dos cantidades cuyo producto sea
21 y cuya suma algebraica sea 10
a2+10a+21
Estas cantidades son 7 y 3 ya que 7x3=21 y 7+3=10 luego los factores son:
(a+7) (a+3) y como a=7x sustituyo a por 7x
(7x+7)(7x+3)
𝟕𝐱+𝟕 (𝟕𝐱+𝟑)
𝟕 𝐱 𝟏
= (x+1) (7x+3)
Como multiplique por 7 se divido por 7 para
que el trinomio vuelva a su forma original
Luego los factores del trinomio 7x2+10x+21 son: (x+1) (7x+3)
Ejercicios propuestos
Factorice los siguientes trinomios.
1. 8x2+15x+7
2. 4x2+9x+5
3. 9x2+6x-3
4. 5x2+14x+9
5. 7x2+12x+5
Una forma de obtener un
trinomio ax2+bx+c es
combinando con operaciones de
(+ o − ) una variable al
cuadrado con su coeficiente
numérico y una constante, de
forma que el término medio sea
la suma del coeficiente numérico
de la variable cuadrada y la
constante.
4. Página 4.
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio cuadrado perfecto es aquel trinomio en el cual el primer y el tercer
término tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es el doble del producto de
las raíces de los otros dos
Ejemplos.
1. 36x2+60xy+25y2
2. 100a2+140ab+49b2
3. 16m2+64mn+64n2
4. 81w2+180wk+100k2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debemos dar los siguientes pasos:
1. Buscamos las raíces cuadradas del primer y el tercer termino
2. Verificamos que el término medio sea el doble de las raíces de los otros dos
términos.
Ejemplo 1.
Factorice siguiente trinomio cuadrado perfecto.
36x2+60xy+25y2
Solución:
Buscamos la raíz cuadrada del primer y tercer término
36x 2 =6x
25y 2 =5y
Verificamos que el término medio sea el doble del producto de las raíces
2(6x) (5y)=60xy como esto se cumple los factores buscados son:
(6x+5y)(6x+5y)
Ejemplo 2.
Halle los factores de la expresión 100a2+80ab+16b2
Solución:
Buscamos la raíz cuadrada del primer y el tercer termino
100a2 = 10a
16b 2 = 4b
Se verifica que el término medio sea el doble del producto de las raíces
2(10a) (4b)= 80ab
Al verificarse esto, concluimos diciendo que los factores buscados son:
(10a+4b) (10a+4b)
Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
1. 36x2+60xy+25y2
2. 100a2+140ab+49b2
3. 16m2+64mn+64n2
4. 81w2+180wk+100k2
5. 144y2+120ym+100m2
5. Página 5.
Factorización de una suma de cubos.
Una suma de cubos es un binomio en el cual sus términos tienen
raíz cubica exacta.
Ejemplos:
1. 27x3+64m3
2. 729 a3+125b3
3. 216x3+343y3
4. 512w3+8n3
¿Cómo factorizar una suma de cubos?
Para factorizar una suma de cubos, buscamos la raíz cúbica de las cantidades que la
forman y con ellas formamos un binomio, luego formamos un trinomio con el
cuadrado de la primera raíz menos la primera raíz por la segunda más el cuadrado
de la segunda raíz y se expresa el producto del binomio y del trinomio siendo
estos los factores buscados.
Ejemplos.
Factorice la siguiente suma de cubos.
27x3+64m3
1. Buscamos las raíces cúbicas de 27x3 y 64m3
3
27x 3 =3x
3
64m3 =4m
2. Formamos un binomio con las raíces
(3x+4m)
Luego formamos un trinomio con el cuadrado de la primera raíz menos el
producto de ambas más el cuadrado de la segunda raíz.
(9x2-12xm+16m2)
Luego los factores buscados son:
(3x+4m)(9x2-12xm+16m2)
Halle los factores de 125a3+729y3
3
125a3 = 5a
3
729y3 = 9y
Luego (5a+9y) (25a2-45ay+81y2) son los factores buscados.
Factorice
27
343
w3 + 8 m 3
64
Buscamos las raíces cúbicas de ambos términos
𝟑
3
27 3 3
w =4w
64
7
9
( 4 w + 2 m) (16 w2 -
𝟑
21
8
343
7
m3 = 2 m
8
wm+
49
4
m2)
luego los factores buscados son:
6. Página 6.
Evaluación.
Seleccione la respuesta correcta.
1. Los factores de la expresión 36x2 – 64m2 son:
A. (8x – 6m) (8x – 6m)
B. (6x –8m) (6x+8m)
C. (6x+8m)(6x+8m)
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?
A. 4x2+ 40xy+25y2
B. 36x4+120x2 y2+100y4 C. 16m2+ 32mn+8n2
3. ¿Cuáles son los factores del trinomio 100w2+80wk+16k2?
A. (10w+8k)(10w+8k)
C. (10w+4k) (10w+4k)
B. (10w −8m)(10w+4k)
4. ¿Cuáles son los factores de la expresión x2+ 15x+56?
A. (x+8) (x+8) B. (x+7) (x+8) C. (x+8) (x+8)
5. Los factores de la expresión 343m3 + 729y3 son:
A. (7m+9y)(49m2+72my+81y3) C. (7m+9y)(49m2+9y)
B. (7m+9y)(49m2 −72my+81y2)
6. Si (4x – 5m) es un factor de 16x2 – 25m2 ¿Cuál es el otro?
A. (x+8)
B. (8x – 6m)
C. (4x+5m)
Factorice las siguientes expresiones.
1. 64x2+ 80xy+25y2
2. x2+15x+54
3. 5x+12x+7
4. 27w3 +64a3
5. 81x2 −100y2
6. 49m2 −16w2
7. 4a2+72ab+81b2
8. 4k2+10k+6
9. 125x3 −729y3
10. a2+20a+9
Factorice y luego simplifique las siguientes expresiones.
1.
2.
3.
4.
5.
36x 2 +84xy +49y 2
(6x+7y)
=
216m 3 +512k 3
(36x 2 −48mk +64k 2 )
81w 2 −144a 2
(9w−12a)
9x 2 +16x+7
(9x+7)
=
=
343w 3 +729y 3
(7w+9y)
=
=
7. Página 7.
Productos y Cocientes Notables.
Productos Notables.
Los productos notables son productos especiales en los que no es necesario
multiplicar para obtener sus resultados ya que solo basta con aplicar ciertas
reglas o patrones.
Entre los productos notables tenemos:
Cuadrado de la suma de dos cantidades.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la
segunda cantidad.
Ejemplo 1.
Recuerda:
(x+y)2 = (x)2 +2(x) (y) + (y)2
Debes
(x+y)2 = x2 +2xy + y2
aprenderte la
Ejemplo 2.
regla de cada
(2m+5y)2 = (2m)2+2(2m) (5y)+ (5y)2
producto
(2m+5y)2 = 4m2+20my)+ 25y2
notable.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de
la segunda cantidad.
Ejemplo 1.
(a−b)2 = (a)2 +2(a)(b) +(b)2
(a−b)2 = a2 +2ab + b2
Ejemplo 2.
(2k−4m)2 = (2k)2 +2(2k)(4m) +(4m)2
(a−b)2 = 4k2 +16km + 16m2
Cubo de la suma de dos cantidades.
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, mas 3
veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera
por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad.
Ejemplo 1.
(3x+2w)3 = (3x)3+ 3(3x)2(2w)+3(3x)(2w)2+(2w)3
(3x+2w)3 = 27x3+ 3(9x2)(2w)+(9x)(4w2)+8w3
(3x+2w)3 = 27x3+ 54x2 w+36xw2+8w3
Ejemplo 2.
(5x+4y)3 = (5x)3+3(5x)2(4y)+3(5x)(4y)2 +(4y)3
(5x+4y)3 = 125x3+3(25x2)(4y)+3(5x)(16y2) +64y3
(5x+4y)3 = 125x3+300x2 y+240x y2 +64y3
8. Página 8.
Cubo de la diferencia de dos cantidades.
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad,
menos 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la
primera por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la segunda
cantidad.
Ejemplo 1.
(2k−4m)3 = (2k)3 −3(2k)2(4m) +3(2k)(4m)2 – (4m)3
(2k−4m)3 = 8k3 −3(4k2)(4m) +(6k)(16m2) – 64m3
(2k−4m)3 = 8k3 −48k2m +(96k m2 – 64m3
Ejemplo 2.
(8y−7k)3 = (8y)3 −3(8y)2(7k)+3(8y)(7k)2 –(7k)3
(8y−7k)3 = 512y3 −3(64y2)(7k)+(24y)(49k2) –343k3
Observa con
(8y−7k)3 = 512y3 −1,344y2k+1,176yk2–343k3
Ejercicios Resueltos.
Halle el resultado de los siguientes productos notables.
1. (2b+6y)2 = (2b)2 +2(2b)(6y) + (6y)2
= 4b2 +24by + 36y2
2. (5x+10k)2 = (5x)2 + 2(5x)(10k)+ (10k)2
= 25x2 +100xk + 100k2
3. (6m−9w)3 = (6m)3 −3(6m)2(9w)+3(6m)(9w)2 –(9w)3
= 216m3 −3(36m)2(9w)+(18m)(81w2) –729w3
= 216m3 −972m2 w+1,458mw2 –729w3
4. (3a+5y)3 = (3a)3+3(3a)2(5y)+3(3a)(5y)2 +(5y)3
= 27a3+3(9a2)(5y)+(9a)(25y2) +125y3
= 27a3+135a2 y+225ay2 +125y3
3
2
3
3
2
2
4
5
4
4
5
5
5. ( x − y)2 = ( x)2 −2( x) ( y)+ ( y)2
=
=
9
16
9
16
x2 −2(
6
20
12
x y)+
x2 − 20 x y+
4
25
4
25
y2
y2
6. (4m3 +2x2)2 = (4m3)2 +2(4m3)(2x2)+(2x2)2
= 16m6 +16m3 x2+4x4
detenimiento
estos ejemplos
9. Página 9.
Cocientes notables.
Al igual que en los productos notables, en los cocientes notables no es necesario
dividir para obtener el resultado, ya que dicho resultado se puede obtener por
simple inspección.
Ejemplos:
Diferencia de cuadrados
1.
2.
a 2 −b 2
a−b
a−b (a+b)
=
(a−b)
(25m 2 −100x 2 )
(5m−10x)
=
= a+b
5m−10x (5m+10x)
(5m−10x)
= 5m+10x
Suma de cubos
3.
4.
5.
x 3 +y 3
(x+y)
=
x+y (x 2 −xy +y 2 )
= x2−xy+y2
(x+y)
y 2 +𝑦𝑘 +𝑘 2
(x 3 +y 3 )
(y 2 +yk +k 2 )
=
x 3 +y 3
(x 2 −xy +y 2 )
y+k (y 2 +yk +k 2 )
=
x+y (x 2 −xy +y 2 )
=
1
(y+k)
Observa estas reglas de los
cocientes notables, porque
te serán muy útiles cuando
vayas a simplificar
expresiones algebraicas.
= x+y
(x 2 −xy +y 2 )
Diferencia de cubos
6.
7.
x 3 −y 3
(x 2 +xy +y 2 )
x 3 −y 3
(x−y)
=
x−y (x 2 +xy +y 2 )
=
(x 2 +xy +y 2 )
x−y (x 2 +xy +y 2 )
= x−y
= x2+xy+y2
(x−y)
Trinomio de la forma x2+bx+c
8.
9.
(a 2 +10a+24)
(a+6)
(x 2 +8x+15)
(x+5)
a+6 (a+4)
=
(a+6)
x+5 (x+3)
=
(x+5)
= a+4
= x+3
Trinomio cuadrado perfecto
10.
11.
(a 2 +8a+16)
(a+4)
a+4 (a+4)
=
(a+4)
(36m 2 +120mk +100k 2 )
(6m+10k)
=
= a+4
6m+10 (6m+10k)
(6m+10k)
Trinomio de la forma ax2+bx +c
12.
13.
(4x 2 +12x+8)
(x+2)
=
(5k 2 +15k+10)
(5k+5)
=
x+2 (4x+4)
(x+2)
= 4x+4
k+2 (5k+5)
(5k+5)
= k+2
= 6m+10k
10. Página 10.
Evaluación.
Explique las reglas de:
1. El cuadrado de la suma de dos cantidades.
2. El cubo de la suma de dos cantidades.
3. El cubo de la diferencia de dos cantidades.
4. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Halle el resultado de los siguientes productos notables.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(7x+8m)2 =
(9m−5y)3 =
(4k+3a)2 =
(8w+6m)3 =
(3y−10k)2 =
(2x2 +3y4)2 =
Coloca en la raya de la derecha el número que le corresponde en la columna
de la izquierda.
1. (3m+2y)2
______ 4a2+24ay +36y2
2. (7x+5k)3
______ (5w −2z)2
3. 4x2 + 20xy+25y2
______ (3x2 +2)3
4. (2a+6y)3
______ 9m2 +12my+4y2
5. 27x6 +54x4 +36x2 +8
______ 343x3 +735x2k+525xk2+125k3
6. 25w2 −20wz+4z2
______ (2x+5y)2
Simplifique y luego desarrolle la potencia del binomio resultante.
1.
2.
3.
4.
5.
2x+4m 2 . 2x+4m 4
2x+4m 3
3k+5y 3 . 3k+5y 4
3k+5y 5
=
=
10a+8x 7
=
10a+8x 4
5m+10k 2 . 6w+2y 4
=
25m 2 +100mk +100k 2 6w+2y 2
7x+9y 3 . 7x+9y 2
7x+9y 4
=