El documento describe los conceptos fundamentales de la transformada de Fourier y su aplicación en el procesamiento digital de imágenes. Explica cómo la transformada de Fourier representa una señal en el dominio de la frecuencia en lugar del dominio del tiempo y cómo esto permite aplicar filtros para eliminar ruido u otras aplicaciones. Luego detalla varios tipos de filtros como los pasobajos ideales, de Butterworth y Gaussianos, así como filtros pasoaltos y su implementación mediante la transformada de Fourier.

1. Tratamiento de imágenes en el dominio de la frecuencia

3. Transformada de Fourier (II) Analogía: Prisma, separa la luz blanca en sus componentes de colores dependiendo de su longitud de onda (frecuencia)

4. Transformada de Fourier (III) La transformada discreta de Fourier de una variable: [ x , f ( x )] [dominio del tiempo, amplitud] [ u , F ( u ) ] [ dominio de la frecuencia, componente de frecuencia] Argumentos x y u : [ 0 .. M -1] Se calcula: Se sustituye primero u =0 y se evalúa para todas las x , después u =1 y se evalúa todas las x …

5. Transformada de Fourier (IV) Un sistema en el cual tenga solución: Forma binómica x y x+jy Eje real Eje imaginario Sea la transformada: Al aplicar la fórmula de Euler: Sumas de senos y cosenos con diferente amplitud, frecuencia y fase :

6. Transformada de Fourier (V) Representación de la transformada de Fourier en coordenadas polares Amplitud o Espectro Espectro de fase Espectro de potencia

7. Transformada de Fourier (VI) Fs = 1000; % Frecuencia de muestreo: 1KHz T = 1/Fs; % Período de muestreo L = 1000; % Número de unidades x = (0:L-1)*T; x=x’; % Vector de tiempo (x) K=500; % Amplitud (unos) a=ones(K,1); b=zeros(L-K,1); fx=[a; b]; plot(x,fx,’*’) Gráfico de la transformada de Fourier A=1 L=1000 K=500 [ x , f ( x )]

8. Transformada de Fourier (VII) [ u , | F ( u )| ] Media sección del espectro de fx >>abs(fft(fx)) Detalles del gráfico

9. Transformada de Fourier (VIII) Reconstrucción de la señal original [ x , f ( x )] [dominio del tiempo, amplitud] [ u , F ( u ) ] [ dominio de la frecuencia, componente de frecuencia] Se calcula: Se sustituye primero x =0 y se evalúa para todas las u , después x =1 y se evalúa todas las u … Argumentos x y u : [ 0 .. M -1]

10. Transformada de Fourier (IX) La transformada de Fourier de una función dependiente de dos variables donde: ( x = 0,1, .. M -1) e ( y = 0,1, .. N -1) ( u = 0,1, .. M -1) y ( v = 0,1, .. N -1) La cual puede reconstruirse a su valor original Espacio Frecuencia

12. Colormap imshow(F2,[-1 5],'notruesize'); colormap(jet); colorbar

13. Detalle filas figure; plot(F2(2,:)); figure; plot(F2(128,:));

14. Detalle columnas figure; plot(F2(:,2)); figure; plot(F2(:,128));

15. Imagen y transformadas

16. Imagen y transformadas (II)

18. Filtro en el dominio de la frecuencia (II) Pasos para filtrar la imagen Imagen de entrada f(x,y) Transfor-mada de Fourier F(u,v) Filtro H(u,v)* F(u,v) Transfor-mada inversa de Fourier Imagen filtrada

19. Filtro pasobajo ideal Tamaño del filtro ( M , N ) = (5, 5) Centro ( u, v )=(3, 3) Distancia al centro de matriz de frecuencias Frecuencia de corte Función Todas las frecuencias que no estén dentro del círculo son atenuadas 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

20. Filtro pasobajo ideal (II) %Representación en el dominio de la frecuencia [f1, f2]=freqspace(25, 'meshgrid' ); Hd=zeros(25,25); d=sqrt(f1.^2+f2.^2)< .75 ; Hd(d)=1; mesh(f1,f2,Hd);

21. Filtros pasobajo Filtro de Butterworth de orden n Cae al 50% de su máximo en la frecuencia de corte (D( u , v )=D 0 ) donde Característica Las transiciones a la frecuencia de corte D 0 no son bruscas Cae al 50% de su máximo en la frecuencia de corte (D( u , v )=D 0 )

22. Filtros pasobajo (II) Representación del filtro de Butterworth lpfilter(tipo, M, N, D 0 , n) Gonzalez,R.; Woods, R.; Eddins, S.: Digital Image Processing using Matlab . Prentice Hall.2004. >>H=fftshift(lpfilter('btw', 500, 500, 50, 1)) >>mesh(H(1:10:500, 1:10:500)) n=1 n=2.5 n=10

23. Filtros pasobajo (III) Representación del filtro de Butterworth lpfilter(tipo, M, N, D 0 , n) Gonzalez,R.; Woods, R.; Eddins, S.: Digital Image Processing using Matlab . Prentice Hall.2004. >>H=fftshift(lpfilter('btw', 500, 500, 50, 1)) >>mesh(H(1:10:500, 1:10:500)) D 0 =50 D 0 =100 D 0 =300

24. Filtros pasobajo (IV) Filtro pasobajo Gausiano donde Característica Las transiciones a la frecuencia de corte D 0 no son bruscas Cae al 60.7% de su máximo valor cuando (D( u , v )=D 0 )

25. Filtros pasobajo (V) Representación del filtro Gausiano lpfilter(tipo, M, N, D 0 , n) Gonzalez,R.; Woods, R.; Eddins, S.: Digital Image Processing using Matlab . Prentice Hall.2004. >>H=fftshift(lpfilter(‘gaussian', 500, 500, 50)) >>mesh(H(1:10:500, 1:10:500)) D 0 =50 D 0 =100 D 0 =250

26. El tamaño de las matrices Cuando se aplica un algoritmo de filtrado digital basado en la transformada de Fourier puede existir interferencia entre períodos adyacentes si los períodos están muy próximos con respecto a la duración de la parte de la función que adquiere valores diferentes de cero f(x,y) y h(x,y) tienen el tamaño AxB y CxD El tamaño de las funciones resultantes serán PxQ : Los píxeles de la extensión se rellenan con ceros

27. Filtro en el dominio de la frecuencia: DIPUM %Redefine el tamaño de las matrices F ( u ) y H ( u ) PQ=paddedsize(size(f)); % f, imagen % Se obtiene la transformada F=fft2(f, PQ(1), PQ(2)); % Se define el filtro H=lpfilter(‘tipo', PQ(1), PQ(2), D 0 , n); % Se multiplica la transformada por el filtro G=H.*F; % Se obtiene parte real de la Transformada inversa g=real(ifft2(G)); % Se restituye tamaño original de la imagen g=g(1:size(f,1), 1:size(f,2)); % Se ajustan los niveles de gris gg=gscale(g); % Se ecualiza el histograma g=histeq(gg); % Opcional

28. Aplicación del Filtro de Butterworth D 0 =0.01*PQ(2); % 1% del ancho de la imagen rellenada n =1

29. Aplicación del Filtro de Butterworth (II) D 0 =0.05*PQ(2); % 5% del ancho de la imagen rellenada n =1

30. Aplicación del Filtro de Butterworth (III) D 0 =0.1*PQ(2); % 10% del ancho de la imagen rellenada n =1

31. Aplicación del Filtro de Butterworth (IV) D 0 =0.05*PQ(2); % 5% del ancho de la imagen rellenada n =2.5

32. Aplicación del Filtro de Butterworth (V) D 0 =0.05*PQ(2); % 5% del ancho de la imagen rellenada n =5

33. Aplicación del Filtro de Butterworth (VI) D 0 =0.05*PQ(2); n =1 D 0 =0.01*PQ(2); n =1 D 0 =0.1*PQ(2); n =1 D 0 =0.05*PQ(2); n =2.5 D 0 =0.05*PQ(2); n =5

34. Aplicación del Filtro Gausiano D 0 =0.01*PQ(2); % 1% del ancho de la imagen rellenada

35. Aplicación del Filtro Gausiano (II) D 0 =0.05*PQ(2); % 5% del ancho de la imagen rellenada

36. Aplicación del Filtro Gausiano (III) D 0 =0.1*PQ(2); % 10% del ancho de la imagen rellenada

37. Filtros pasoalto Inversa de los filtros pasobajo donde: Filtro pasobajo Filtro pasoalto Los pasos para aplicar el filtro son los mismos que los pasobajo hpfilter(tipo, M, N, D 0 , n)

38. Filtros pasoalto (II) Ideal Butterworth Gausiano

39. Filtros pasoalto (III) D 0 =0.009*PQ(2); % .9% del ancho de la imagen rellenada Filtro Ideal

40. Filtros pasoalto (IV) D 0 =0.05*PQ(2); % 5% del ancho de la imagen rellenada n=1 Filtro de Butterworth

41. Filtros pasoalto (V) D 0 =0.05*PQ(2); % 5% del ancho de la imagen rellenada Filtro Gausiano

42. Filtros pasoalto enfatizado 1+3*hpfilter(‘gaussian’, M, N, D 0 ) a : Incorpora componente de directa ( H (0,0) ≠ 0) b : Enfatiza el filtro de alta frecuencia

43. Filtros pasoalto enfatizado (II) D 0 =0.05*PQ(2); Filtro Gausiano Filtro Gausiano enfatizado

44. Filtros: Diferentes tipos Promedio Disco Laplaciano Prewitt

45. Filtros: Diferentes tipos (II) Movimiento Laplaciano del filtro Gaussiano Prewitt