Este documento presenta los objetivos y contenidos de una lección sobre la rotación de cuerpos rígidos. Los objetivos incluyen definir el momento de inercia para sistemas simples, aplicar conceptos como la segunda ley de Newton, energía cinética rotacional, trabajo rotacional y cantidad de movimiento rotacional a problemas físicos, y aplicar principios de conservación de energía y cantidad de movimiento a problemas que involucran la rotación de cuerpos rígidos. El documento también cubre temas como inercia rotacional, energía cinética rotacional, trabajo

1. Cap. 11B – Rotación ddee ccuueerrppoo rrííggiiddoo
PPrreesseennttaacciióónn PPoowweerrPPooiinntt ddee
PPaauull EE.. TTiippppeennss,, PPrrooffeessoorr ddee FFííssiiccaa
SSoouutthheerrnn PPoollyytteecchhnniicc SSttaattee UUnniivveerrssiittyy
© 2007

2. OObbjjeettiivvooss:: DDeessppuuééss ddee ccoommpplleettaarr
eessttee mmóódduulloo,, ddeebbeerráá::
• DDeeffiinniirr yy ccaallccuullaarr eell mmoommeennttoo ddee iinneerrcciiaa ppaarraa
ssiisstteemmaass ssiimmpplleess..
• DDeeffiinniirr yy aapplliiccaarr llooss ccoonncceeppttooss ddee sseegguunnddaa lleeyy ddee
NNeewwttoonn,, eenneerrggííaa cciinnééttiiccaa rroottaacciioonnaall,, ttrraabbaajjoo
rroottaacciioonnaall,, ppootteenncciiaa rroottaacciioonnaall yy ccaannttiiddaadd ddee
mmoovviimmiieennttoo rroottaacciioonnaall aa llaa ssoolluucciióónn ddee
pprroobblleemmaass ffííssiiccooss..
• AApplliiccaarr pprriinncciippiiooss ddee ccoonnsseerrvvaacciióónn ddee eenneerrggííaa yy
ccaannttiiddaadd ddee mmoovviimmiieennttoo aa pprroobblleemmaass qquuee
iinnvvoolluuccrraann rroottaacciióónn ddee ccuueerrppooss rrííggiiddooss..
• DDeeffiinniirr yy ccaallccuullaarr eell mmoommeennttoo ddee iinneerrcciiaa ppaarraa
ssiisstteemmaass ssiimmpplleess..
• DDeeffiinniirr yy aapplliiccaarr llooss ccoonncceeppttooss ddee sseegguunnddaa lleeyy ddee
NNeewwttoonn,, eenneerrggííaa cciinnééttiiccaa rroottaacciioonnaall,, ttrraabbaajjoo
rroottaacciioonnaall,, ppootteenncciiaa rroottaacciioonnaall yy ccaannttiiddaadd ddee
mmoovviimmiieennttoo rroottaacciioonnaall aa llaa ssoolluucciióónn ddee
pprroobblleemmaass ffííssiiccooss..
• AApplliiccaarr pprriinncciippiiooss ddee ccoonnsseerrvvaacciióónn ddee eenneerrggííaa yy
ccaannttiiddaadd ddee mmoovviimmiieennttoo aa pprroobblleemmaass qquuee
iinnvvoolluuccrraann rroottaacciióónn ddee ccuueerrppooss rrííggiiddooss..

3. IInneerrcciiaa ddee rroottaacciióónn
CCoonnssiiddeerree llaa sseegguunnddaa lleeyy ddee NNeewwttoonn ppaarraa qquuee llaa iinneerrcciiaa ddee
rroottaacciióónn ssee mmooddeellee aa ppaarrttiirr ddee llaa lleeyy ddee ttrraassllaacciióónn..
F = 20 N
a = 4 m/s2
Inercia lineal, m
m = = 5 kg
24 N
4 m/s2
F = 20 N
R = 0.5 m
a = 2 rad/s2
Inercia rotacional, I
I = = = 2.5 kg m2 (20 N)(0.5 m)
4 m/s2
t
a
LLaa ffuueerrzzaa hace para la traslación lo que el mmoommeennttoo ddee
ttoorrssiióónn hace para la rotación:

4. EEnneerrggííaa cciinnééttiiccaa rroottaacciioonnaall
m2
m3
m4
m
v = wR
m1
eje
w
Objeto que rota a w constante.
Considere masa pequeña
m:
K = ½mv2
K = ½m(wR)2
K = ½(mR2)w2
Suma para encontrar K total:
Definición de inercia rotacional:
K = ½(SmR2)w2
(½w2 igual para toda m )
II == SSmmRR22

5. EEjjeemmpplloo 11:: ¿CCuuááll eess llaa eenneerrggííaa cciinnééttiiccaa
rroottaacciioonnaall ddeell ddiissppoossiittiivvoo qquuee ssee
mmuueessttrraa ssii rroottaa ccoonn rraappiiddeezz ccoonnssttaannttee
ddee 660000 rrppmm??
3 kg
2 kg
1 m
1 kg
3 m
2 m
w
Primero: I = SmR2
I = (3 kg)(1 m)2 +
(2 kg)(3 m)2 +
(1 kg)(2 m)2
I = 25 kg m2 w = 600 rpm = 62.8 rad/s
K = ½Iw2 = ½(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2
KK == 4499,,330000 JJ

6. IInneerrcciiaass rroottaacciioonnaalleess
ccoommuunneess
L L
1 2
I = 3mL I = 1 12mL
2
R R R
I = mR2 I = ½mR2 2 2
I = 5mR
Aro Disco o cilindro Esfera sólida

7. EEjjeemmpplloo 22:: UUnn aarroo cciirrccuullaarr yy uunn ddiissccoo
ttiieenneenn ccaaddaa uunnoo uunnaa mmaassaa ddee 33 kkgg yy
uunn rraaddiioo ddee 3300 ccmm.. CCoommppaarree ssuuss
iinneerrcciiaass rroottaacciioonnaalleess..
R
I = mR2
Aro
R
I = mR2 = (3 kg)(0.2 m)2
I = ½mR2
Disco
I = 0.120 kg m2
1 2 1 2
2 2 I = mR = (3 kg)(0.2 m)
I = 0.0600 kg m2

8. AAnnaallooggííaass iimmppoorrttaanntteess
Para muchos problemas que involucran rotación,
hay una analogía extraída del movimiento lineal.
xx
ff
R
4 kg
w
t
wo = 5500 rraadd//ss
t == 4400 NN mm
Una fuerza resultante
F produce
aceleración negativa
a para una masa m.
F = ma
I
m
Un momento de torsión
resultante t produce
aceleración angular a de
disco con inercia rotacional
I.
t = Ia

9. Segunda ley ddee rroottaacciióónn ddee NNeewwttoonn
w F wo = 50 rad/s
R
4 kg
R = 0.20 m
¿Cuántas
revoluciones requiere
para detenerse?
t = Ia F = 40 N
FR = (½mR2)a
2 2(40N)
(4 kg)(0.2 m)
F
mR
a = =
a = 100 rad/s2
2aq = wf
2 - wo
2
0
2 (50 rad/s)
2
0
2
q w
= - = -
a
2 2(100 rad/s )
q = 12.5 rad = 1.99 rev

10. EEjjeemmpplloo 33:: ¿CCuuááll eess llaa aacceelleerraacciióónn
lliinneeaall ddee llaa mmaassaa ddee 22--kkgg qquuee ccaaee??
Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio:
R = 50 cm
6 kg
M
R = 50 cm
6 kg
T
T
+a 2 kg
mg
t = Ia TR = (½MR2)a
T = ½MRa
pero a = aR; a = a
R
T = ½MR( ) ; y T = ½Ma Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae:
mg - T = ma mg - ½T Ma
R a= ma
(2 kg)(9.8 m/s2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a
19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a a = 3.92 m/s2
2 kg
a = ?

11. Trabajo y potencia ppaarraa rroottaacciióónn
Trabajo = Fs = FRq
q
F
F
s
s = Rq
t = FR
TTrraabbaajjoo == ttqq
Trabajo
t
Potencia = =
tq
t w = q
t
Potencia = t w
Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio

12. EEjjeemmpplloo 44:: EEll ddiissccoo rroottaattoorriioo ttiieennee
uunn rraaddiioo ddee 4400 ccmm yy uunnaa mmaassaa ddee
66 kkgg.. EEnnccuueennttrree eell ttrraabbaajjoo yy llaa
ppootteenncciiaa ssii llaa mmaassaa ddee 22 kkgg ssee
eelleevvaa 2200 mm eenn 44 ss..
q
s
F
F=W
2 kg 6 kg
s = 20 m
Trabajo = tq = FR q
sR
q = = 2 0 m= 50 rad
0.4 m
Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad)
Trabajo = 392 J
F = mg = (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N
Trabaj
o
t
Potencia = =
392 J
4s Potencia = 98 W

13. EEll tteeoorreemmaa ttrraabbaajjoo--eenneerrggííaa
Recuerde para movimiento lineal que el trabajo
realizado es igual al cambio en energía cinética
lineal:
2 2
0 ½ ½ f Fx = mv - mv
Al usar analogías angulares, se encuentra que el
trabajo rotacional es igual al cambio en energía
cinética rotacional:
2 2
0 ½ ½ f tq = Iw - Iw

14. d Aplicación deell tteeoorreemmaa ttrraabbaajjoo--eenneerrggííaa::
¿Qué trabajo se necesita
para detener la rueda
w F wo = 60 rad/s
que rota? R
Trabajo = DKr
4 kg
R = 0.30 m
F = 40 N
Primero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg)(0.3 m)2 =
0.36 kg m2
0
2 2
0 ½ ½ f tq = Iw - Iw Trabajo = -½Iwo
2
Trabajo = -½(0.36 kg m2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J

15. RRoottaacciióónn yy ttrraassllaacciióónn ccoommbbiinnaaddaass
vvccmm PPrriimmeerroo ccoonnssiiddeerree uunn ddiissccoo qquuee ssee
vvccmm
vvccmm
ddeesslliizzaa ssiinn ffrriicccciióónn.. LLaa vveelloocciiddaadd
ddee ccuuaallqquuiieerr ppaarrttee eess iigguuaall aa llaa
vveelloocciiddaadd vvccmm ddeell cceennttrroo ddee mmaassaa..
w
R v
P
Ahora considere una bola que
rueda sin deslizar. La velocidad
angular w en torno al punto P es
igual que w para el disco, así que
se escribe:
O
v
R
w = v =wR

16. Dooss ttiippooss ddee eenneerrggííaa cciinnééttiiccaa
w
R v
P
EEnneerrggííaa
cciinnééttiiccaa ddee
ttrraassllaacciióónn::
KK == ½mmvv22
EEnneerrggííaa
cciinnééttiiccaa ddee
rroottaacciióónn::
KK == ½IIw22
Energía cinética total de un objeto que rueda:
1 2 1 2
T 2 2 K = mv + Iw

17. CCoonnvveerrssiioonneess aanngguullaarr//lliinneeaall
EEnn mmuucchhaass aapplliiccaacciioonneess,, ddeebbee rreessoollvveerr uunnaa
eeccuuaacciióónn ccoonn ppaarráámmeettrrooss aanngguullaarreess yy lliinneeaalleess.. EEss
nneecceessaarriioo rreeccoorrddaarr llooss ppuueenntteess:
Desplazamiento: s R s
R
=q q =
Velocidad: v R v
R
=w w =
=a =a
Aceleración: v R a
R

18. ¿TTrraassllaacciióónn oo rroottaacciióónn??
Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir
todos los términos angulares a términos lineales:
v
R
s =a
R
w = a
I = (?)mR2
R
q =
Si debe resolver un parámetro angular, debe
convertir todos los términos lineales a términos
angulares:
s =q R v =wR v =a R

19. EEjjeemmpplloo ((aa)):: EEnnccuueennttrree llaa vveelloocciiddaadd vv ddee uunn
ddiissccoo ddaaddaa ssuu eenneerrggííaa cciinnééttiiccaa ttoottaall EE..
Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 E mv I ; I mR ; v
R
= + w = w =
æ ö
( ) 2
1 2 1 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 4 E mv mR v ; E mv mv
= + ç ¸ = +
R
è ø
3 2 4 or
4 3
E mv v E
m
= =

20. EEjjeemmpplloo ((bb)) EEnnccuueennttrree llaa vveelloocciiddaadd aanngguullaarr w
ddee uunn ddiissccoo ddaaddaa ssuu eenneerrggííaa cciinnééttiiccaa ttoottaall EE..
Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 E = mv + Iw ; I = mR ; v =wR
1 2 1 ( 1 2 ) 2 1 2 2 1 2 2
2 2 2 2 4 E = m(wR) + mR w ; E = mR w + mR w
2 2
2
E = 3 mR w or w =
4
E
mR
4 3

21. EEssttrraatteeggiiaa ppaarraa pprroobblleemmaass
• DDiibbuujjee yy eettiiqquueettee uunn bboossqquueejjoo ddeell pprroobblleemmaa..
• MMeenncciioonnee lloo ddaaddoo yy eessttaabblleezzccaa lloo qquuee ddeebbee
eennccoonnttrraarr..
• EEssccrriibbaa ffóórrmmuullaass ppaarraa eennccoonnttrraarr llooss mmoommeennttooss
ddee iinneerrcciiaa ddee ccaaddaa ccuueerrppoo qquuee rroottaa..
• RReeccuueerrddee ccoonncceeppttooss iinnvvoolluuccrraaddooss ((ppootteenncciiaa,,
eenneerrggííaa,, ttrraabbaajjoo,, ccoonnsseerrvvaacciióónn,, eettcc..)) yy eessccrriibbaa
uunnaa eeccuuaacciióónn qquuee iinnvvoolluuccrree llaa ccaannttiiddaadd
ddeessccoonnoocciiddaa..
• RReessuueellvvaa ppaarraa llaa ccaannttiiddaadd ddeessccoonnoocciiddaa..

22. EEjjeemmpplloo 55:: UUnn aarroo yy uunn ddiissccoo cciirrccuullaarreess,,
ccaaddaa uunnoo ccoonn llaa mmiissmmaa mmaassaa yy rraaddiioo,,
rruueeddaann ccoonn rraappiiddeezz lliinneeaall vv.. CCoommppaarree ssuuss
eenneerrggííaass cciinnééttiiccaass.. w
w
Dos tipos de energía: v v
KT = ½mv2 Kr = ½Iw2
Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2 w = vR
æ ö
( ) 2
E ½mv 2 ½ ½mR 2
v
2 = + ç ÷
Disco: E = ¾mv2
R
è ø
æ ö
( ) 2
E ½mv 2 ½ mR 2
v
2 = + ç ÷
Aro: E = mv2
R
è ø

23. CCoonnsseerrvvaacciióónn ddee eenneerrggííaa
La energía total todavía se conserva
para sistemas en rotación y traslación.
Sin embargo, ahora debe considerar la rotación.
Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f
mmgghhoo
½Iwo
2
½mmvvoo
22
==
mmgghhff
½Iwff
2
½mmvvff
22
¿AAllttuurraa??
¿RRoottaacciióónn
??
¿VVeelloocciiddaadd
??
¿AAllttuurraa??
¿RRoottaacciióónn
??
¿VVeelloocciiddaadd
??

24. EEjjeemmpplloo 66:: EEnnccuueennttrree llaa vveelloocciiddaadd ddee llaa mmaassaa
ddee 22 kkgg jjuussttoo aanntteess ddee ggoollppeeaarr eell ssuueelloo..
R = 50 cm
6 kg
2 kg
h = 10 m
mmgghhoo
½Iwo
2
½mmvvoo
22
==
mmgghhff
½Iwff
2
½mmvvff
22
0 2 2 mgh = mv + Iw 1 2
æ 2
ö
mgh 1 mv 2 1 ( 1 MR 2
) v
0 2 2 2 2 = + ç ¸
R
è ø
2.5v2 = 196 m2/s2
v = 8.85 m/s
1 2 1 2
2 I = MR
1 2 1 2
2 4 (2)(9.8)(10) = (2)v + (6)v

25. EEjjeemmpplloo 7:: UUnn aarroo yy uunn ddiissccoo rruueeddaann ddeessddee
lloo aallttoo ddee uunn ppllaannoo iinncclliinnaaddoo.. ¿CCuuáálleess ssoonn
ssuuss rraappiiddeecceess eenn eell ffoonnddoo ssii llaa aallttuurraa iinniicciiaall
eess 2200 mm??
20 m
mgho = ½mv2 + ½Iw2 Aro: I = mR2
æ 2
ö
mgh ½mv 2 ½(mR 2
) v
0 2 = + ç ÷
R
è ø
0 v = gh = (9.8 m/s )(20 m) Aro: vv == 1144 mm//ss
v = 16.2 m/s
mgho = ½mv2 + ½mv2; mgho = mv2
æ 2
ö
mgh ½mv 2 ½(½mR 2
) v
0 2 = + ç ÷
R
è ø
2
mgho Disco: I = ½mR2; = ½mv2 + ½Iw2 4
3 0 v = gh

26. DDeeffiinniicciióónn ddee ccaannttiiddaadd ddee
mmoovviimmiieennttoo aanngguullaarr
m2
m3
m4
m
v = wr
m1
eje
w
Objeto que rota con w constante.
Considere una partícula m
que se mueve con velocidad v
en un círculo de radio r.
Defina cantidad de
movimiento angular L:
L = mvr
Al sustituir v= wr, da:
L = m(wr) r = mr2w
Para cuerpo extendido en
rotación:
L = (Smr2) w
Dado que I = Smr2, se tiene:
L = Iw
Cantidad de
movimiento angular

27. EEjjeemmpplloo 88:: EEnnccuueennttrree llaa ccaannttiiddaadd ddee
mmoovviimmiieennttoo aanngguullaarr ddee uunnaa bbaarrrraa
ddeellggaaddaa ddee 44 kkgg yy 22 mm ddee lloonnggiittuudd ssii
rroottaa eenn ttoorrnnoo aa ssuu ppuunnttoo mmeeddiioo ccoonn
uunnaa rraappiiddeezz ddee 330000 rrppmm..
L = 2 m
m = 4 kg
I = 1.33 kg m2
1
Para barra : I = 1 mL =
2 (4 kg)(2 m)2
12
w = æ öæ p öæ ö = çè ÷øçè ÷øçè ÷ø
300 rev 2 rad 1 min 31.4 rad/s
min 1 rev 60 s
L = Iw = (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2
L = 1315 kg m2/s
12

28. Impulso yy ccaannttiiddaadd ddee
mmoovviimmiieennttoo
Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso
lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento
lineal:
f 0 F Dt = mv -mv
Al usar analogías angulares, se encuentra que el
impulso angular es igual al cambio en cantidad de
movimiento angular :
f 0 t Dt = Iw - Iw

29. EEjjeemmpplloo 99:: UUnnaa ffuueerrzzaa ddee 220000 NN ssee aapplliiccaa aall
bboorrddee ddee uunnaa rruueeddaa lliibbrree ppaarraa ggiirraarr.. LLaa ffuueerrzzaa
aaccttúúaa dduurraannttee 00..000022 ss.. ¿CCuuááll eess llaa vveelloocciiddaadd
aanngguullaarr ffiinnaall??
R
2 kg
w
F
wo = 0 rad/s
R = 0.40 m
F = 200 N
D t = 0.002 s
I = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2
I = 0.32 kg m2
Momento de torsión
aplicado t = FR
Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular
t Dt = Iwf - Iwo
0
FR Dt = Iwf
w = D = (200 N)(0.4 m)(0.002 s)
w= 0.5 rad/s
f 2
FR t
I
0.32 m f

30. CCoonnsseerrvvaacciióónn ddee ccaannttiiddaadd ddee
mmoovviimmiieennttoo En ausencia de momento de torsión externo, se
conserva la cantidad de movimiento rotacional de un
sistema (es constante).
Ifwf - Iowo = t Dt 0 Ifwf = Iowo
Io = 2 kg m2; wo = 600 rpm If = 6 kg m2; wo = ?
2
0 0
(2 kg m )(600 rpm)
2
6 kg m f
f
I
I
w = w = ×
×
wf = 200 rpm

31. Resumen – Analogías rroottaacciioonnaalleess
Cantidad Lineal Rotacional
Desplazamiento Desplazamiento x Radianes q
Inercia Masa (kg) I (kg×m2)
Fuerza Newtons N Momento de
torsión N·m
Velocidad v “ m/s ” w Rad/s
Aceleración a “ m/s2 ” a Rad/s2
Cantidad de
movimiento
mv (kg m/s) Iw (kg×m2×rad/s)

32. FFóórrmmuullaass aannáállooggaass
Movimiento lineal Movimiento rotacional
F = ma t = Ia
K = ½mv2 K = ½Iw2
Trabajo = Fx Trabajo = tq
Potencia = Fv Potencia = Iw
Fx = ½mv2 - ½mvf
o
2 tq = ½Iwf
2 - ½Iwo
2

33. RReessuummeenn ddee ffóórrmmuullaass:: II == SSmmRR22
1 2
2 K = Iw o o f f Trabajo = tq I w = I w
2 2
0 ½ ½ f tq = Iw - Iw
mmgghhoo
½Iwo
2
½mmvvoo
22
==
mmgghhff
½Iwff
2
½mmvvff
22
¿AAllttuurraa??
¿RRoottaacciióónn
??
¿VVeelloocciiddaadd
??
= tq = tw
t
¿AAllttuurraa??
¿RRoottaacciióónn
??
¿VVeelloocciiddaadd
??
Potencia

34. CCOONNCCLLUUSSIIÓÓNN:: CCaappííttuulloo 1111BB
RRoottaacciióónn ddee ccuueerrppoo rrííggiiddoo