Integración por fórmulas 05a
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Este documento presenta la fórmula para integrar una función elevada a un exponente constante y proporciona un ejemplo paso a paso de cómo aplicar esta fórmula para resolver una integral. La fórmula clave es la integral de v elevado a n, diferencial de v es igual a v elevado a n + 1 sobre n + 1 más una constante. El ejemplo muestra cómo reordenar los términos dentro de la integral para que coincidan con esta fórmula y completar el diferencial antes de aplicar la fórmula para obtener la solución.
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- 1. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Fórmulas de integración G. Edgar Mata Ortiz න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
- 2. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Función elevada a un exponente constante Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a integrar es una expresión, generalmente entre paréntesis, elevada a un exponente constante. Es necesario completar el diferencial, y el valor de n debe ser diferente de -1. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
- 3. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Fórmula para el cociente de dos funciones La fórmula se lee: La integral de 𝒗 a la 𝒏, diferencial de 𝒗 es igual a: 𝒗 elevada a la 𝒏 + 𝟏, entre 𝒏 + 𝟏 Más la constante de integración C Se emplean colores para identificar la función y el exponente. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
- 4. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver La fórmula es: Es necesario identificar claramente la función 𝒗, el exponente 𝒏 y revisar si está completo el diferencial 𝒅𝒗 න 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
- 5. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver Es evidente que, para aplicar la fórmula, será necesario reordenar el integrando para que se ajuste a la fórmula que vamos a aplicar. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 =
- 6. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗 El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral 𝒗 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝒅𝒗 = 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙 න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 =
- 7. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = Ejemplo Resolver Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗 El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral. Para poder integrar, el diferencial “debe estar completo”, es decir, ambos diferenciales deben ser iguales. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒗 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝒅𝒗 = 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙
- 8. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Resolver A primera vista no parece posible completar el diferencial, sin embargo, es posible hacerlo si factorizamos el diferencial: න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = Ejemplo න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒗 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝒅𝒗 = 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙
- 9. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Resolver A primera vista no parece posible completar el diferencial, sin embargo, es posible hacerlo si factorizamos el diferencial: න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = Ejemplo න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒗 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝒅𝒗 = 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 Solamente falta el -6 que está multiplicando
- 10. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Resolver Para no afectar la expresión original con este -6, es necesario compensarlo agregando su inverso multiplicativo fuera de la integral න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = Ejemplo න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒗 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝒅𝒗 = 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 Agregamos el -6 para completar el diferencial
- 11. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Resolver Es necesario agregar el -6, pero estamos afectando el valor de la expresión original. න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 −𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = Ejemplo න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒗 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝒅𝒗 = 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 Agregamos el -6 para completar el diferencial, y compensamos con -1/6 fuera de la integral − 𝟏 𝟔
- 12. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver El “menos un sexto” que se agregó, se coloca fuera de la integral, ya que las constantes no se integran. Y entonces se aplica la fórmula de integración. La fórmula indica “sumar uno” al exponente y dividir entre ese mismo valor. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 − 𝟏 𝟔 න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 −𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = = − 𝟏 𝟔 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐+𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝑪
- 13. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver Se efectúan operaciones: Simplificando: න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟔 න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 −𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒗 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝒅𝒗 = 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = − 𝟏 𝟔 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐+𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝑪 = − 𝟏 𝟔 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟑 𝟑 + 𝑪 = − 𝟏 𝟏𝟖 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟑 + 𝑪 Solución