El documento presenta la resolución de una integral mediante el método de fracciones parciales. Se identifican los coeficientes de la integral original y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar los valores de las variables. Luego se reemplazan estos valores en la integral original y se resuelven las integrales resultantes de manera individual aplicando métodos como el cambio de variable y la sustitución trigonométrica. Finalmente, se unen los resultados de las integrales.

1. ANALISIS MATEMATICO<br />CURSO: 1RO “B” DE ELECTRICA<br />FECHA: 13 DE JUNIO DEL 2010<br />INTEGRANTES:<br />DANIEL BUENAÑO<br />RAMIRO GUAMAN<br />ANDRES ALVAREZ<br />DANILO CUJANO<br />ANA GUYANLEMA<br />NELLY CARCHI<br />EJERCICIO<br />X3+1X2-4X+52dx<br />1.-Aplicamos el cuarto caso de fracciones parciales el cual es:<br />Qx=ax2+bx+c<br />PxQx=Ax+BQx+Cx+DQ2x+…+#x+#Qkx<br />2.-Entonces nos quedaría de la siguiente forma:<br />PxQx=X3+1X2-4X+52=Ax+BX2-4X+5+Cx+DX2-4X+52<br />3.-Sacamos mínimo común múltiplo:<br />X3+1X2-4X+52=Ax+BX2-4X+5+Cx+DX2-4X+52<br />4.-Abrimos paréntesis:<br />X3+1X2-4X+52=Ax3-4Ax2+5Ax+Bx2-4Bx+5B+Cx+DX2-4X+52<br />5.-Pasamos el denominador del lado derecho hacia el izquierdo de esta forma conseguimos que se simplifiquen los denominadores de esta igualdad.<br />X3+1X2-4X+52X2-4X+52=Ax3-4Ax2+5Ax+Bx2-4Bx+5B+Cx+D<br />6.-Una vez que se a simplificado el denominador lo siguiente que hacemos es agrupar las variables pero tomando en cuenta su exponente de esta forma conseguimos un factor común que nos permite encontrar las ecuaciones que necesitamos.<br />X3+1=Ax3+Bx2-4Ax2+5Ax-4Bx+Cx+5B+D<br />X3+1=Ax3+x2B-4A+x5A-4B+5B+D<br />7.- Una vez que tenemos las ecuaciones lo siguiente que hacemos es igualarlas a sus respectivos coeficientes numéricos.<br />A=1<br />B-4A=0<br />5A-4B+C=0<br />5B+D=1<br />8.-Una vez que hemos igualada las ecuaciones lo que hacemos es resolver el sistema de ecuaciones.<br />A=1 Entonces reemplazo el valor de A en la 2da ecuación<br />B-4A=0<br />B-41=0<br />B=4<br />El valor de A y de B lo reemplazo en la ecuación 3<br />5A-4B+C=0<br />51-44+C=0<br />C=11<br />El valor de B lo reemplazamos en la ecuación 4<br />5B+D=1<br />D=-19<br />9.- Una vez que hemos encontrado los valores de todas las variables (A, B, C, D) lo siguiente que hacemos es reemplazar los valores en la ecuación principal.<br />PxQx=X3+1X2-4X+52=Ax+BX2-4X+5+Cx+DX2-4X+52=x+4X2-4X+5+11x-19X2-4X+52<br />10.- Una vez reemplazado los valores nos quedan dos ecuaciones las cuales debemos encontrar la integral, entonces nos quedaría así:<br />x+4X2-4X+5dx+11x-19X2-4X+52dx<br />11.-Resolvemos las integrales:<br />En este caso las vamos a resolver una por una para que sea más comprensible y al final unimos las respuestas de las dos integrales.<br />x+4X2-4X+5dx<br />Sabemos que la derivada del denominador es 2x-4 entonces tenemos que lograr que el numerador quede de esa forma con el fin de buscar que se simplifique entonces nos queda lo siguiente:<br />122x-4+8+4X2-4X+5dx<br />Lo que se hizo en el paso anterior es que multiplicamos por dos el numerador y para que no cambie la integral lo dividimos también para dos, luego aumentamos un cuatro y para que no cambie la integral le restamos 4.<br />Lo siguiente que hacemos es aplicar la propiedad distributiva de las integrales, entonces nos queda de esta forma:<br />122x+4X2-4X+5dx+6dxX2-4X+5<br />Una vez que aplicamos la propiedad distributiva hacemos lo siguiente la primera integral la podemos resolver con un cambio de variable y la segunda integral por medio del método de completación del trinomio cuadrado perfecto, entonces nos quedaría de esta forma:<br />1ra integral:<br />122x+4X2-4X+5dx<br />u=X2-4X+5<br />dudx=2x-4<br />dx=du2x-4<br />=122x-4udu2x-4<br />=12duu=12lnu=12lnX2-4X+5+c<br />2da integral:<br />6dxX2-4X+5<br />=6dxx-22+1<br />Hacemos un cambio de variable:=6duu2+1=6arctanU=6arctan⁡(x-2)+c<br />u=x-2<br />dudx=1<br />du=dx<br />Una vez que tenemos el resultado de las dos integrales lo que hacemos es unirlas y nos queda lo siguiente:<br />12lnX2-4X+5+6arctanx-2+c<br />12.- Resolvemos la segunda integral:<br />11x-19X2-4X+52dx<br />Sabemos que la derivada del denominador es 2x-4 entonces tenemos que lograr que el numerador quede de esa forma con el fin de buscar que se simplifique entonces nos queda lo siguiente:<br />1122x-4-3811+4X2-4X+52dx<br />Lo que hicimos en el paso anterior es primero sacamos factor común el 11 luego para luego multiplicamos por 2 y para que no cambie la integral lo dividimos para 2 lo siguiente que hicimos es agregar un cuatro y para que no cambie la integral le restamos también 4.<br />Lo siguiente que hacemos es aplicar la propiedad distributiva de las integrales, entonces nos queda de esta forma:<br />1122x-4X2-4X+52dx+62dxX2-4X+52<br />Ya que tenemos dos nuevas integrales por motivo de comprensión lo resolveremos una por una es decir por separado al final uniremos los resultados de las dos integrales:<br />1ra integral<br />1122x-4X2-4X+52dx<br />Hacemos un cambio de variable:=1122x-4u2du2x-4=112duu2<br />u=X2-4X+5 =112u-1-1=112X2-4X+5+c<br />dxdu=2x-4<br />dx=du2x-4<br />2da integral<br />62dxX2-4X+52<br />Para resolver esta integral primero completamos el trinomio cuadrado perfecto, entonces nos queda:<br />62dxx-22+12<br />Una vez que hemos completado el trinomio cuadrado perfecto lo que hacemos es aplicar el método de sustitución trigonométrica y nos queda lo siguiente:<br />Sabiendo que:<br />x+2=tanz<br />dx=sec2zdz<br />Reemplazo:<br />62sec2zdzsec4z=62dzsec2z<br />=62cos2zdz=621+cos2z2dz<br />=6212dz+64cos2zdz<br />=32z+32sen2z2=32z+322senzcosz2+c<br />Ya que tenemos el resultado de la integral pero en función de z lo que hacemos es expresarlo en función de la variable original (x) para lo aplicamos el siguiente triangulo rectángulo:<br />1901190149860 X2-4X+5<br /> X+2 <br /> <br /> <br />1<br />Nos queda lo siguiente:<br />32arctanx-2+32(x-2)x2-4x+51x2-4x+5+c<br />Unimos los resultados de las integrales:<br />32arctanx-2+3x-62(x2-4x+5)-112X2-4X+5+c<br />12.- Unimos los resultados <br />12lnX2-4X+5+6arctanx-2+32arctanx-2+3x-62(x2-4x+5)-112X2-4X+5+c<br />13.- Hacemos términos semejantes <br />Nos queda lo siguiente:<br />12lnX2-4X+5+152arctanx-2+3x-172X2-4X+5+c<br /> <br />