1) El documento presenta información sobre Georg Friedrich Bernhard Riemann, matemático alemán que introdujo el concepto de integral definida. 2) Se describen algunas propiedades de las integrales definidas, como que representan el área bajo una curva y que pueden dividirse en sumas de rectángulos. 3) También se explica el teorema del valor medio para integrales, el cual establece que existe un punto c en el intervalo donde la función alcanza un valor medio.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE-RECTORADO
ACADÉMICO
DECANATO DE INVESTIGACIÓN Y PREGRADO
Alumna:
Calderón Karla 24879030
Profesor:
Domingo Méndez

2. INTEGRAL DEFINIDA
GEORG F. B. REIMANN ( 1.826-1.866 )
-. La Integral Definida.
-. Propiedades.
-. Sumas Superiores e inferiores.
-. La Integral Definida y sus
propiedades.
-. Teorema del Valor Medio para
Integrales.
-. Teorema Fundamental del
Calculo.
-. Sustitución y cambio de Variable.

3. GEORG FREIEDRICH BERNHARD REIMANN
( 1.826-1.866 )
Hijo de pastor protestante, nació en Alemania, en 1.826.
1.846 inicia estudios de teología, no culminó y se inclina por la matemática.
En 1.851 presenta tesis sobre Variables Complejas o Integral de Reimann.
En 1.854 introdujo el concepto de Variedad Diferenciable, concepto
Utilizado 60 años más tarde por Alberto Einstein, en su Teoría de Relatividad.
En 1.866 muere en Italia de una infección pulmonar .
La integral definida o integral de Reimann es un limite de una sumatoria, se
simboliza con una S alargada. Una sumatoria es la suma de una serie de
términos, su símbolo es Σ letra griega ( sigma) en español letra S,
1. La Notación Sigma, se usa para generalizar el tamaño de intervalos
específicos, incrementándose siempre en una unidad en cuya parte inferior y
superior se especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará. Estos
números reciben el nombre de índice inferior e índice superior. La letra m es el
limite inferior, n limite superior, i índice de sumación, también puede ser j, k
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
n
i=m
F(i) = F(m) + F(m+1) + F(m+2) + … + F(n-1) + F(n)

4. TEOREMAS DE LAS SUMATORIAS
Si c es un numero natural
positivo, entonces ,
n
i=m
F(i) =
n-c
i=m-c
i=m
n
F(i) =
n+c
i=m+c
Si c es una constante y m ≤ n,
entonces,
n
i=m
c = n c
n
i=m
c F(i) = c F(i)
n
n
i=m
[ F(i) ± G(i) ] = F(k) ± G(k)
n
k=m k=m
n
4-.Propiedades
telescópicas
1-.
2-.
3-.
2-.
1-.
a-.primera versión:
i=m
[ F(i + 1) - F(i) ] = F(n + 1) -F(m)
b-.segunda versión:
i=m
n
n
[F(i) - F(i - 1) ] = F(n) - F(m - 1)

5. Las propiedades son útiles para desarrollar expresiones que permiten
calcular áreas limitadas por curvas planas
2. SUMA SUPERIOR E INFERIOR
Área bajo la curva
Para calcular el área bajo la curva por ejemplo Y =
F(x)= X2 + 1, donde F(x) ≥ 0 y continúa en todo el intervalo
cerrado x = a, x = b y el eje "x", se dividir en rectángulos y
se calcula el área de cada uno y la suma nos dará un valor
aproximado del área real. A mayor número de rectángulos
más exacta será el área buscada
En la figura 1, el área se dividió en 2 rectángulos y al
calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte
del rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo
tanto esta es una aproximación.
En la figura 2, el área se dividió en 9
rectángulos
la parte que interesa es menor que cuando
tomamos 2 rectángulos, en conclusión a mayor
número de rectángulos "n" más nos aproximamos
al área real.

6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Integral Definida Si a la expresión para la suma de Riemann se
le toma el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es
decir podemos definir la integral definida de F
desde a hasta b por donde "a" es el límite inferior y "b" el límite
superior de la integral.
Observando la definición de los términos de la integral
definida, vemos que F(bk) es la altura del rectángulo que llamamos
partición y Dxk es el ancho del rectángulo de tal manera que su
producto no es más que el área del rectángulo y después de sumar
cada una de estas mismas, obtendremos el área bajo la
curva, siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].
Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en el intervalo de integración
[a,b] y k una constante cualquiera:
a) Si f(a) existe entonces

7. b) si a > b entonces .
c) si la función f es integrable en [a, b] y , k es una constante arbitraria,
entonces .
d) si las funciones f y g son integrables [a, b] entonces, f g también es
integrable en [a, b]
e) Si f es integrable en [a, b], [a, c] y [c, b], entonces .
f) si f es integrable en un intervalo cerrado I y, (a, b, c) Є I , entonces

8. Teorema del Valor Medio para Integrales Definidas PID11
El concepto del valor medio de una función en un intervalo, es uno de los
muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos
de suma. Es importante porque asegura que una función continua en un
intervalo cerrado alcanza su valor medio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este
intervalo tal que
f(Z)(b - a) =
Demostración:
1° caso: Si f es constante en el [a, b] el resultado carece de importancia
puesto que c puede ser cualquier punto.
2° caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor
valor que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M "x Î [a, b] por el teorema
de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades:
m(b - a) M(b - a) entonces m M.
Dado que f es continua el teorema del valor medio asegura que f alcanza cada
valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir
que debe alcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda
demostrado que existe algún c tal que f(c) =

9. Demostración grafica del teorema
rectángulo inscripto (área
< que la de la región)
rectángulo del valor
medio (área = que la
de la región)
Rectángulo
circunscripto (área >
que la de la región)

10.  El teorema dice, existe un valor c del intervalo al que está asociado
f(c) y corresponde a la altura del rectángulo de long. de la base (b -
a) y su área coincide con la de la región.
 A = = f(c)(b - a)
El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales
coincide con el valor medio de una función por eso se lo llama valor medio de
f en el intervalo [a, b]. f(c) =

11. Teorema fundamental del calculo
El Diferencial y la Integral son inversos, el uno del otro.
1er Teorema
2do teorema fundamental del calculo

12. Sustitución y cambio de Variable
cuando no se pueda resolver una integral aplicando los teoremas de la
integración, se debe modificar y expresarlas de otra forma, sin que
cambie la expresión. aplicando la antiderivada. Por ejemplo
Sea x2 + 2 = u, entonces du = 2xdx de donde du/2 = xdx y
Reemplazando en la ecuación queda: