Este documento describe varios métodos para calcular derivadas e integrales numéricamente. Explica brevemente los conceptos de derivadas, integrales y métodos como la integración de Romberg, la regla de Simpson y la cuadratura de Gauss-Legendre. Luego presenta ejercicios resueltos aplicando estos métodos a problemas matemáticos.

1. DIFERENCIACIÓN E
INTEGRACIÓN
NUMÉRICA
Ingeniería Industrial – Politécnico Santiago Mariño
Francisco J. Alvarado R. v-20408612

2. Introducción
En la siguiente presentación estudiaremos los distintos métodos de resolución
numérica para derivadas e integrales, en donde primero definiremos cada uno de ellos
y posteriormente procederemos a resolver problemarios de acuerdo al método
aplicado, de esta manera contaremos con distintas maneras o herramientas por el cual
podemos conseguir solución a un problema matemático de ecuaciones.

3. Derivadas
En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la
razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática,
según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una
función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de
cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para
la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor
de la derivada de una función en un punto dado.
El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del análisis
matemático. Los otros son los de integral indefinida, integral definida, sucesión;
sobre todo, el concepto de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo
de derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una
serie y la continuidad. Por su importancia, hay un antes y un después de tal concepto
que biseca las matemáticas previas, como el álgebra, la trigonometría o la
geometría analítica, del cálculo. Según Albert Einstein, el mayor aporte que se
obtuvo de la derivadas fue la posibilidad de formular diversos problemas de la física
mediante ecuaciones diferenciales

4. Derivadas

5. Integrales
numéricas
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis
matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de
infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La
integral es la operación inversa a la derivada.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las
matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la
ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y
volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René
Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este
último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo
integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

6. Integrales
numéricas

7. Integrales
numéricas
mediante el
método de
integración de
Romberg
la integración de romberg es una técnica diseñada para obtener integrales
numéricas (aproximaciones) de funciones de manera eficiente, que se basa en
aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las
manipulaciones matemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo.
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos
elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio.
El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de
integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser
suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante
buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el
integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la
cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son más adecuados.

8. Integrales
numéricas
mediante el
método de
integración de
Romberg

9. Método
integrales
definida
mediante la
regla de
Simpson de 1/3
En integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en un
intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo
en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego
calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos
subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía,
pero aproximando los subintervalos de f mediante polinomios de segundo grado.
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de
Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración
numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral

10. Método
integrales
definida
mediante la
regla de
Simpson de 1/3

11. Método
integrales
definida
mediante la
regla de
Simpson de
3/8

12. Integrales
definida
mediante el
método de la
cuadratura de
Gauss
Legendre
En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral
definida de una función. Una cuadratura de Gauss n, es una cuadratura que selecciona
los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada,
construida para dar el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para
los puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es
de [−1, 1]

13. Integrales
definida
mediante el
método de la
cuadratura de
Gauss
Legendre

14. Ejercicios
resueltos de
derivadas e
integrales
Calcular el área de la región sombreada de la figura, siendo la curva

15. Ejercicios
resueltos de
derivadas e
integrales
Resuelva la integral usando el cambio de variable