1. El documento presenta un examen sumativo de trigonometría con 33 problemas sobre funciones trigonométricas. Los problemas cubren temas como determinar rangos, dominios, puntos de intersección de gráficas, y áreas bajo curvas.
2. El examen es aplicado por tres docentes de la Universidad Nacional del Santa para evaluar conceptos básicos de trigonometría.
3. Los estudiantes deben resolver cada uno de los 33 problemas para demostrar su comprensión de las funciones trigonométricas.
Este material está pensado para todos aquellos jóvenes que quieren iniciar en el estudio de funciones, contiene ejercicios desde el nivel básico hasta llegar a ejercicios de nivel avanzado.
1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-III
TRIGONOMETRÍA
‘‘FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez
PROBLEMAS BÁSICOS DE CLASE
EXAMEN SUMATIVO
1. Si 𝑓(𝑥) =
5+𝑆𝑒𝑛𝑥
3
, 𝑥 ∈ [
𝜋
6
;
3𝜋
4
] ,
entonces el rango de 𝑓, es el
intervalo:
a) [−
1
2
;
√2
2
] b) [−
11
6
; 2] c) [−2;
11
62
]
d) [
11
6
;
2+√2
6
] e) [
√2
6
;
11
6
]
EXAMEN SUMATIVO
2. El rango de la siguiente función:
g(x) = senx + cos2x , es:
a)
8
9
;2
b)
8
3
;4
c)
8
7
;1
d)
8
7
;2
e)
8
5
;0
EXAMEN SUMATIVO
3. Sí Rk ; de las siguientes proposiciones:
Función Dominio Rango
1. Y = senx R 1;1
2. Y = tgx
2
12/
kxRxR R
3. Y = Ctgx kxRxR / R
4. Y = cosx R 1;1
5. Y = Secx R R
Es falsa:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
EXAMEN SUMATIVO
4. Dada la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 1
1. El rango 𝑓(𝑥) es: [−1; 3]
2. El dominio de 𝑓(𝑥)es: R
3. El periodo 𝑓(𝑥) es: 2𝜋
De las afirmaciones anteriores, son
verdaderas:
a) 1 y 3 b) 2 y 3 c) 1 y 2
d) solo 1 e) Todas
EXAMEN SUMATIVO
5. Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑘𝑥) ; 𝑔(𝑥) = 𝑎𝐶𝑜𝑠(𝑘𝑥)
Son funciones cuyas gráficas se
muestran en la siguiente figura.
Calcular las coordenadas del punto P.
A) B)
C) D)
E)
EXAMEN SUMATIVO
6. El mínimo valor de la expresión:
𝐸 = 𝐶𝑜𝑠4𝑥 + 16𝑆𝑒𝑛2
𝑥, es:
A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) 4
EXAMEN SUMATIVO
7. En el intervalo [0;2𝜋⟩ , para que
valores de 𝛼 se cumple la siguiente
inecuación: 𝑆𝑒𝑐𝛼 < 𝑇𝑔𝛼
a) [0;
𝜋
2
⟩ ∪ 〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉 b) 〈
𝜋
2
;
3𝜋
2
〉
c) [0;
𝜋
2
⟩ ∪ ⟨
3𝜋
2
;
7𝜋
4
] d) 〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉
e) [0;
𝜋
2
⟩ ∪ 〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉
f(x)
g(x)
P
2
2
2
3
2;
3
2;
12
5
2
2;
3
2
2;
12
5
2;
3
5
Semana Nº 13
2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
2
EXAMEN SUMATIVO
8. Sea la función f definida por
𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 (
𝜋
4
+ 2𝑥) . Halle el rango,
∀ 𝑥𝜖 [−
7𝜋
24
;
𝜋
24
]
a) [
1
2
; 1] b) [0; 1] c) [−1; 1]
d) [−
1
2
; 1] e) 〈0; 1〉
9. Halle la suma del máximo y mínimo valor
de la función: f(x) = 3+Senx
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
10. Señale el dominio de la función:
12
1cos3
xCos
x
xhy
a) ZnnR ),(
b) ZnnR ,)12(
c) ZnnR ,
2
)12(
d) ZnnR ,
2
)34(
e) R
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
11. Determinar el dominio de:
G(x) =
1
2Senx − 1
+
1
2Senx + 1
; n ∈ Z
a) R − {nπ ±
π
6
} b) R − {nπ ±
π
3
}
c) R − {nπ ±
π
4
} d) R − {nπ ±
π
2
}
e) R − {nπ ±
π
8
}
12. Si H(x) =
Sen2x
Senx
Determinar el valor de verdad:
( ) Dom H: R − {nπ/n ∈ Z}
( ) Ran H : [−2;2]
( ) H (
π
3
) + H (−
π
3
) = 2
a) VVV b) VFV c)VVF
d) FVF e) FFV
13. El punto (
π
3
;
2n+1
2n−1
) pertenece a la grafica
de la función y = Cosx.
Calcular “n”
a) 1/2 b) 3/2 c)5/2
d) 3/4 e) 4/3
14. Graficar y = −2Senx; x ∈ [0; 2π]
a) b)
c) d)
15. señale la regla de correspondencia de la
función dada por la gráfica:
a)
2
x
Cos b)
2
x
sen c)
2
cos2
x
d)
2
2
x
sen e) xsen3
Examen ordinario 2012
16. Determine el rango de la función:
F(x)=4-2Sen2x
a) [1,2] b) [2,4] c) [3,7]
d) [-1,1] e) R
17. ¿Cuál es el dominio de la función g
definida por: g(x) = 3Cos (
1
√x
) + 2?
a) R b) R+{0} c) [-1;1]
d) R-{1} e) <0;+>
18. Dada la función:
f(x) = Cos2
x − Senx
Determinar su rango.
a)[
3
2
;
7
2
] b) [−1; 2] c) [2;
7
2
]
d) [
5
4
;
7
2
] e) [−1;
5
4
]
y
x
-2
2
2
y
x
-2
2
2
y
x
-1
1
/2
23/2
y
x
-1
1
2
3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
3
19. Si la función definida por:
f(x) =
2SenxCosx − 1
1 − SenxCosx
𝑥 ∈ 〈−
𝜋
2
; 0〉 , entonces el rango de la
función es:
a) 〈−∞; −
4
3
〉 b) 〈−
5
3
; −1〉 c) 〈−
4
3
: +∞〉
d) 〈−1;
4
3
] e) [−
4
3
; −1〉
20. ¿Cuál de las siguientes funciones son
inyectivas?
I. f(x) = Senx; 0 < 𝑥 < 𝜋
II. g(x) = Cosx; 0 < 𝑥 < 𝜋
III. h(x) = Cotx; 0 < 𝑥 < 𝜋
a) Solo I b)Solo II c)Solo III
d) II y III e) I y II
21. El valor máximo que toma la función:
f(x) = 3Sen2
x + 4Cos2
x ; x ∈ R
a) 3 b)4 c)5 d) 6 e) 7
22. El mínimo valor de la función:
f(x) = Tan2
x ; x ∈ [
π
3
;
5π
6
]
a) 0 b) 1/3 c) 3
d) No existe el mínimo valor de f e) 1
23. Dadas las funciones :
f(x) = Sen2x|Senx| + Cos2x |Cosx|
g(x) = Senx
Se afirma:
I. En 〈0;
𝜋
2
〉, sus gráficas se intersectan
en 1 punto.
II. En 〈𝜋;
3𝜋
2
〉, sus gráficas se intersecan
en 1 punto.
III. En〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉, sus gráficas se intersectan
en 2 puntos.
IV. El periodo principal de "f" es 𝜋.
¿Cuántas son verdaderas?
a) 1 b) 2 c) 3 d) Todas e) Ninguna
24. Dada la función:h(x) = √Senx + √Cosx ;n ∈ Z
Señale el dominio:
a) [2nπ; (2n + 1)π]
b) [(4n + 1)
π
2
; (2n + 1)π]
c) [(4n + 3)
π
2
; 2nπ + 2π]
d) [2nπ; (4n + 1)
π
2
]
e) [(4n + 1)
π
2
; (4n + 3)
π
2
]
25. Si : f(x) = 1 - Sen|x|
Indicar Verdadero (V) o Falso (F) para
las siguientes proposiciones:
I. f(x) es creciente en 〈
𝜋
2
;
3𝜋
2
〉
II. f(x) es decreciente en 〈−
3𝜋
2
; −
𝜋
2
〉
III. f(x) tiene como rango [0 ; 2]
a) VFF b) VFV c) VVF
d) VVV e) FVV
26. En la figura adjunta calcular:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
1
0 x1 x2 x3
1/2
y=Senx
x
a) 6𝜋 b) 4𝜋 c) 5,5𝜋 d) 8,5𝜋 e) 7𝜋
27. Calcular el área de la región limitada por
la recta 𝑦 + 1 = 0 y la curva cuya
ecuación es y = Cosx, si 𝑥 ∈ [0; 2𝜋].
a) 2𝜋 b) 𝜋 c) 3𝜋 d) 4𝜋 e) 1,5𝜋
28. Graficar: F(x) =
Sen2x
2TanxCosx
0
2π
0
2π
a) b)
0
2π
0
2π
c) d)
4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
4
29. De la figura calcular el área del triángulo
MNP
0
y=Cosx
x
M
N
P
y
a) 2𝜋 b) 𝜋 c)
𝜋
2
d)
𝜋
4
e) 2,5𝜋
30. De las funciones que se indican no es par:
a) F(x) = |Senx| b) G(x) = Cos|x|
c) G(x) = Cos|x| d) H(x) = Cosx − Senx
e) F(x) = |Cosx| − |Senx|
31. Hallar el número de puntos de
intersección de las gráficas de las
funciones y = √x e y = Senx
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
32. Sea una función definida por:
𝑓(x) = Sen2
x + 3|Senx|
Determinar el rango de 𝑓.
a) [0; 1] b) [0; 2] c) [0; 3]
d) [0; 4] e) [0; 5]
33. Evaluar el dominio de la función definida por:
𝑓(x) = √Senx + √Cosx + √Tanx, 𝑥 ∈ [0; 2𝜋]
a) [0; 𝜋/7] b) [0; 𝜋/5] c)[0; 𝜋/3]
d) [0;
𝜋
2
] e) [0;
𝜋
9
]
34. la gráfica corresponde a la función
f(x) = A0. senBx. si ABCD es un cuadrado
de área 4 u2 ; calcular el valor de A0.cos B
a)1 b)2 c) 4 d) 8 e) 16
FUNCIÓN PERIODICA
Si F es una función periódica existe 𝑇 ≠ 0
que cumpla con:
F(x + T) = F(x) tal que T ∈ DF
CÁLCULO DE PERIODOS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Sea la funcion:
F(x) = A. FT 𝐧
. (𝐁x + C) + D
Para calcular su periodo interviene las
constantes n y B.
I. Si FT. : Sen, Cos, Sec, Csc
Para n impar: T =
2π
|B|
Para n par: T =
π
|B|
II. Si FT.: Tg,Ctg
Para n par o impar: T =
π
|B|
35. Calcular la suma de los periodos de las
siguientes funciones:
F(x) = Sen5x; G(x) = Cos2
15x y
H(x) = Tan3
3x
a)
4𝜋
5
b)
2𝜋
15
c)
2𝜋
3
d)
2𝜋
5
e)
7𝜋
15
36. El periodo de la función:
𝑓(x) = SenxCos3
x − CosxSen3
x
a)
𝜋
4
b)
𝜋
3
c) 2𝜋 d) 𝜋 e)
𝜋
2
37. Si F(x) = Sen2kx y G(x) = Cos2nx
n y k ∈ Z+
Calcular el periodo de F, si el
periodo de G es al periodo de F como 3 es
a 4 y el periodo de la suma es
𝜋
3
.
a)
3𝜋
8
b)
𝜋
8
c)
𝜋
12
d)
𝜋
6
e)
𝜋
4
38. En la figura adjunta se muestra la gráfica
de una función senoidal. Determinar su
periodo.
0 x
y
θ
a)
2θ
3
b)
θ
3
c)
θ
6
d)
θ
4
e)
θ
8