Ciclo: 2016-3 Autor: Miguel Pajuelo Villanueva FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

1. Primera pr´actica calificada MATEM´ATICA V
(2016-3)
Miguel Pajuelo Villanueva1
1Facultad de Ingenier´ıa El´ectrica y Electr´onica (FIEE)
Universidad Nacional de Ingenier´ıa PER
22 de enero de 2017
1. Usando la definici´on de la derivada ¿Existe la derivada de la funci´on f: C −→ C
tal que w = f(z) =
z
(z)2
+
(z)2
z
en alg´un plano complejo?.
SOLUCI´ON:
Sea z = x + iy y z = x − iy, entonces f(x + iy) =
x + iy
(x − iy)2
+
(x − iy)2
x + iy
. Analizando
la derivada por definici´on del l´ımite, tenemos:
Para ∆x → 0, ∆y = 0
f (z) = l´ım
∆x→0
=
x + ∆x + iy
(x + ∆x − iy)2
+
(x + ∆x − iy)2
x + ∆x + iy
− (
x + iy
(x − iy)2
+
(x − iy)2
x + iy
)
∆x
Resolviendo tenemos:
u1(x; y) =
x6
+ x4
(7y2
− 1) + 3x2
y2
(y2
+ 4) − 3y4
(y2
+ 1)
(x2 + y2)s
v1(x; y) =
−2x(x2
(4y2
+ 3) + y2
(4y2
+ 5))y
(x2 + y2)3
Ahora, para ∆y → 0, ∆x = 0
f (z) = l´ım
∆y→0
=
x + i(y + ∆y)
(x − i(y + ∆y))2
+
(x − i(y + ∆y))2
x + i(y + ∆y)
− (
x + iy
(x − iy)2
+
(x − iy)2
x + iy
)
∆y
Resolviendo tenemos:
u2(x; y) =
−2x(4x4
+ x2
(4y2
+ 5) − 3y2
)y
(x2 + y2)3
v2(x; y) =
−3x6
− 3x4
(y2
+ 1) − x2
y2
(7y2
− 12) − y4
(y2
+ 1)
(x2 + y2)3
Se observa, que u1(x; y) = u2(x; y) y v1(x; y) = v2(x; y), por lo tanto, no existe la
derivada de f(z).
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
1

2. sen(z2
) =
1 + i
1 − i
cosh(z2
) =
1 − i
1 + i
—
SOLUCI´ON:
sen(z2
) =
1 + i
1 − i
= −i ln(i(
1 + i
1 − i
) ± 1 − (
1 + i
1 − i
)2) = −(
1 + i
2 − i
) ln(−1 ±
√
2)
+ : z2
= −i ln(−1+
√
2) = −i(ln(−1+
√
2)+2kπi) → z1 = (−i(ln(−1+
√
2)+2kπi))1/2
− : z2
= −i ln(−1−
√
2) = −i(ln(1+
√
2)+πi+2kπi) = (−i(ln(1+
√
2)+πi+2kπi))1/2
Por lo tanto, la soluci´on ser´a:
z = (−i(ln(1 +
√
2) + πi + 2kπi))1/2
; (−i(ln(−1 +
√
2) + 2kπi))1/2
cosh(z2
) =
1 − i
1 + i
= ln(
1 − i
1 + i
+ (−1 + (
1 − i
1 + i
)2
)1/2
) = ln(
√
2 − 1)i
z = (ln(
√
2 − 1) +
π
2
i + ekπi)1/2
k = 0, 1, 2, 3....
3. Calcule S, siendo S = arccoth(
i + 1
i − 1
) + arctanh(
1 + i
1 − i
)
SOLUCI´ON:
S = arccoth(
i + 1
i − 1
) + arctanh(
1 + i
1 − i
)
=
2
ln(
1 +
i + 1
i − 1
1 −
i + 1
i − 1
)
+
1
2
ln(
1 +
1 + i
1 − i
1 −
1 + i
1 − i
)
=
2
ln(−i)
+
1
2
ln(i)
S = (
π
4
+
4
π
)i + 2iπ(k1 + k2) k1,2 = 0, 1, 2, 3...
4. Encuentre si es que existen funciones arm´onicas de la forma siguiente: u = φ( x2 + y2)
5. Encuentre una funci´on escalar φ(x; y) que sea arm´onica en el dominio D compren-
dido entre las circunferencias conc´entricas x2
+ y2
= a2
y x2
+ y2
= b2
, b > a y que
asuma los valores φ1 y φ2 sobre las circunferencias interior y exterior , respectiva-
mente.
6. Utilice la definici´on de l´ımite para demostrar que:
l´ım
z→1
(z2
+ z − 2)(z + 3i)
z − 1
= 3 + 9i
2

3. SOLUCI´ON:
∀ ; ∃δ >?/0 < |z − 1| < δ |
(z2
+ z − 2)(z + 3i)
z − 1
− (3 + 9i)| <
Por un lado:
z2
+ 2z − 3 + (3z − 3)i + (3z − 3)i <
(z + 1 +
3
2
i)2
− (
7
4
+ 6i) <
Por otro lado:
−δ < z − 1 < δ
2 − δ +
3
2
i < z + 1 +
3
2
i < δ + 2 +
3
2
i
0 < (z + 1 +
3
2
i)2
< (δ + 2 +
3
2
+
3
2
i)2
(z + 1 −
3
2
i)2
− (
7
4
+ 6i) < (δ + 2 +
3
2
i)2
− (
7
4
+ 6i) =
Entonces si existe el l´ımite porque hay relaci´on − δ:
= δ2
+ 4δ + 3δi
7. Halle y grafique las regiones del plano complejo de la faja −
π
2
≤ x ≤
π
2
donde la
funci´on f : C → C definida por f(z) = |cosxcoshy| + i|senxsenhy| es anal´ıtica.
Fundamente su respuesta.
SOLUCI´ON:
f(z) = |cosxcoshy| + i|senxsenhy|
Regi´on 1: 0 < x <
π
2
y > 0
• |cosx| −→ cosx
• |coshy| −→ coshy
• |senx| −→ senx
• |senhy| −→ senhy
Redefiniendo:
f(z) = cosxcoshy + isenxsenhy
f(z) = cos(x − iy)
Analizando:
u(x, y) = cosxcoshy v(x, y) = senxsenhy
Por Cauchy-Remann
∂u(x; y)
∂x
=
∂v(x; y)
∂y
∂u(x; y)
∂y
= −
∂v(x; y)
∂x
−senxcoshy = senxcoshy − senhycoshx = cosxsenhy
Se observa que no cumple estas ecuaciones entonces f(z) no es anal´ıtica en R1.
3

4. Regi´on 2: −
π
2
< x < 0; y > 0
• |cosx| −→ cosx
• |coshy| −→ coshy
• |senx| −→ −senx
• |senhy| −→ senhy
Redefiniendo:
f(z) = cosxcoshy − isenxsenhy
f(z) = cos(x + iy)
Analizando:
u(x, y) = cosxcoshy v(x, y) = −senxsenhy
Por Cauchy-Remann:
∂u(x; y)
∂x
=
∂v(x; y)
∂y
∂u(x; y)
∂y
= −
∂v(x; y)
∂x
−senxcoshy = −coshysenx senhycosx = cosxsenhy
Se observa que si cumple estas ecuaciones entonces f(z) es analitica en R2
Regi´on 3: −
π
2
< x < 0; y < 0
• |cosx| −→ cosx
• |coshy| −→ coshy
• |senx| −→ −senx
• |senhy| −→ −senhy
Redefiniendo:
f(z) = cosxcoshy + isenxsenhy f(z) = cos(x − iy)
Analizando:
u(x, y) = cosxcoshy v(x, y) = senxsenhy
Por Cauchy-Riemann
∂u(x; y)
∂x
=
∂v(x; y)
∂y
∂u(x; y)
∂y
= −
∂v(x; y)
∂x
−senxcoshy = coshysenx senhycosx = −cosxsenhy
Se observa que no cumple estas ecuaciones entonces f(z) no es analitica en R3
Regi´on 4: 0 < x <
π
2
; y < 0
• |cosx| −→ cosx
• |coshy| −→ coshy
• |senx| −→ senx
• |senhy| −→ −senhy
4

5. Redefiniendo:
f(z) = cosxcoshy − isenxsenhy
f(z) = cos(x + iy)
Analizando:
u(x, y) = cosxcoshy v(x, y) = −senxsenhy
Por Cauchy-Riemann:
∂u(x; y)
∂x
=
∂v(x; y)
∂y
∂u(x; y)
∂y
= −
∂v(x; y)
∂x
−senxcoshy = −coshysenx senhycosx = cosxsenhy
Se observa que si cumple estas ecuaciones entonces f(z) es analitica en R4
8. Determine una funci´on anal´ıtica m´as general f, utilice coordenadas polares a partir
de Re[f (reˆıθ)] = 12r2
cos(2θ) + 6rcosθ + 2; f(0) = 1; f (0) = 0.
9. Sea la funci´on f : C → C, definida por la siguiente regla de correspondencia.
f(z) =



z
z
si : z = 0
0 si : z = 0
Demuestre que en z = 0, f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann pero no
tiene derivada en z = 0.
SOLUCI´ON:
Sea: z = x + iy.
Redefiniendo:
f(x + iy) =
(x − iy)3
x2 + y2
=
x(x2
− 3y2
)
x2 + y2
−
(3x2
− y2
)y
x2 + y2
i
u(x; y) =
x(x2
− 3y2
)
x2 + y2
v(x; y) = −
(3x2
− y2
)y
x2 + y2
Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
∂u(x; y)
∂x
=
∂v(x; y)
∂y
∂u(x; y)
∂y
= −
∂v(x; y)
∂x
5