Este documento presenta una introducción al curso de cálculo integral. Se enfoca en desarrollar habilidades de pensamiento a través de la resolución de problemas reales y el aprendizaje autodirigido. El profesor actuará como facilitador para estimular el descubrimiento autónomo, en lugar de ser el único transmisor de información.

1. Introducción al Cálculo Integral
Demetrio Ccesa Rayme

2. “La juventud prefiere ser
estimulada que instruida”
Johann Wolfgang Von Goethe

3. “Uno de los males que caracterizan a
nuestro tiempo es la claridad de los
medios y la vaguedad de los objetivos.
Se debiera tener firmeza en los
objetivos y flexibilidad en los medios”
Albert Einstein

4. “El fin principal de la educación, no es el
conocimiento, sino la acción"
Herbert Spencer
Filósofo y sociólogo inglés

5. GABRIELA MISTRAL
“...todo el desorden del mundo viene de los
oficios y las profesiones mal o mediocremente
servidos: político mediocre, educador mediocre,
médico mediocre, sacerdote mediocre, artesano
mediocre, esas son nuestras calamidades
verdaderas"

6. LA DIALÉCTICA DEL INGENIERO

7. Entre lo teórico y lo práctico
Entre lo verdadero y lo útil
Entre lo exacto y lo oportuno
Entre lo analítico y lo artístico
Entre lo científico y lo sistémico
Entre lo deductivo y lo imaginativo
Entre lo racional y lo intuitivo
Entre lo correcto y lo creativo
Entre lo teórico y lo práctico
Entre lo verdadero y lo útil
Entre lo exacto y lo oportuno
Entre lo analítico y lo artístico
Entre lo científico y lo sistémico
Entre lo deductivo y lo imaginativo
Entre lo racional y lo intuitivo
Entre lo correcto y lo creativo
LA DIALÉCTICA DEL INGENIERO

8. DOS HEMISFERIOS
Teórico
Verdadero
Exacto
Analítico
Científico
Deductivo
Racional
Correcto
Práctico
Útil
Oportuno
Artístico
Sistémico
Imaginativo
Intuitivo
CreativoINGENIERO

9. Control de la
mano derecha
Habilidad
científica
LOCALIZACIÓN DE LAS CAPACIDADES EN LOS
HEMISFERIOS CEREBRALES

10. SOCIO-
EMOCIONAL
LÓGICO-
MATEMÁTICA
CORPORAL
INTRA-
PERSONAL
MUSICAL
ESPACIALLINGÜÍSTICA
E = m·c²
Howard Gardner

11. SOCIO-
EMOCIONAL
LÓGICO-
MATEMÁTICA
CORPORAL
INTRA-
PERSONAL
MUSICAL
ESPACIALLINGÜÍSTICA



Howard Gardner

12. “... no es posible separar los aspectos
cognitivos, emocionales y sociales...”
Jean Piaget

13. En el mejor de los casos, el
coeficiente de inteligencia contribuye
con alrededor de un 20 por ciento en
los factores que determinan el éxito
en la vida, lo cual deja el 80 por
ciento restante a otras fuerzas,
fuerzas que se agrupan como
inteligencia emocional.

14. Objetivos de aprendizaje
Para un estudiante de ingeniería, el aprendizaje del
cálculo es un medio para aprender a resolver problemas
reales, para aprender a ser ingeniero:
– Adquiriendo destrezas y/o habilidades mentales
La disciplina que estimula las habilidades del pensamiento.
El lenguaje para modelar la solución de algunos problemas.
La fluida manipulación del herramental matemático.
– Descubriendo por si mismo
Comprender la naturaleza de las situaciones.
Actuando en consecuencia.

16. Extensión superficial
Extensión profunda
Amplitud
Necesaria y Suficiente
Profundidad
Necesaria y
Suficiente
CANTIDAD
CALIDAD

17. “Es más fácil desintegrar un átomo
que un pre-concepto”
Albert Einstein

18. “El problema no es nunca el como
obtener pensamientos nuevos e
innovadores en tu cabeza,
sino como librarte de los viejos”
Dee Hock
Fundador de VISA

19. “Los exámenes escolares están basados en el
principio de que toda pregunta tiene una
respuesta correcta. … El enfoque de la
respuesta correctaqueda enraizada
profundamente en nuestro pensamiento. … La
vida es ambigua; existen muchas respuestas
correctas, todo depende de lo que se esté
buscando. Pero si piensa que solo existe una
respuesta correcta, entonces dejará de buscar
en cuanto encuentre una”
La Revolución del Aprendizaje
Gordon Dryden & Jeannete Vos

20. “¿De dónde vienen las buenas nuevas ideas?
!Eso es sencillo! De las diferencias.
La creatividad viene de
yuxtaposiciones improbables.
La mejor manera de aprovechar las diferencias es
mezclar edades, culturas y disciplinas.”
Nicholas Negroponte
Media lab MIT

21. Siddhartha, Hermann Hesse
“ ... Tú lo aprenderás, pero no de mí sino del río.
Él fue mi maestro, y será el tuyo.
Todo lo sabe el río, todo lo puede enseñar, todo.”

22. “... El río está simultáneamente por doquier: en su fuente
y en su desembocadura, en la catarata, en el arroyo y en
el rápido, en el mar y en la montaña; en todas partes al
mismo tiempo y no hay en él la menor partícula de
pasado o la más breve idea de tiempo venidero, sino
solamente el presente”
Siddhartha, Hermann Hesse

23. “ No es que no nos atrevamos porque
las cosas son difíciles; es que las cosas
son difíciles porque no nos atrevemos.”
Séneca
“De la brevedad de la vida”

24. “ El peligro más grande en
la vida es no arriesgar nada;
la persona que no arriesga,
no hace nada, no tiene nada,
es nada.”
Séneca
“De la brevedad de la vida”

25. ¿Cuál es la diferencia entre los trabajadores japoneses y los
mexicanos?
“Creo que el trabajador mexicano es mucho mas hábil, pero las
relaciones entre los obreros y la empresa son muy deficientes; parece
que esto se deriva de la religión. En esencia, los dos pueblos son
iguales: les gustan las peregrinaciones, las tamboras, los amuletos, los
cuetes, etc., pero los mexicanos van a los templos a pedir y a esperar,
mientras que los japoneses vamos a ofrecer.
Los sindicatos mexicanos presentan pliego de peticiones y los
sindicatos japoneses presentamos pliego de ofrecimientos, !Pequeña
gran diferencia!”
CARLOS KASUGA OSAKA
Director General de Yakult, S. A. de C. V.

26. “Hacer pensar a los demás en vez de
pensar por ellos es función
trascendental de un buen formador".
Horst Wein
Profesor alemán

27. “La función de un verdadero maestro es
hacer que entre en acción la inteligencia
del alumno”
Jiddu Krishnamurti

28. El cultivo de la Inteligencia
Sin cultivar la inteligencia, aprender una técnica e impartir esa técnica es
absolutamente vano.
No es aprendiendo técnicas que hemos de ser ingenieros, ingeniosos y
creativos.
Las técnicas nos impiden, nos limitan, nos hace pasar por alto la capacidad
de descubrir por nosotros mismos.
Teniendo todos los instrumentos del descubrimiento, ¿por qué nada
encontramos directamente?
La técnica es lo que destruye la creatividad (lo cual no significa que no
debamos tener una técnica).
La creatividad no es para unos pocos, ni es el don de los menos; es para
todo aquel que consagre su mente y su corazón en la plena investigación
del problema.
El cultivo de la inteligencia le ayudará al alumno a habérselas con los
problemas de la vida.

29. El alumno requiere de guía, de ayuda, pero si el que brinda la ayuda es
incapaz y estrecho, es lógico que su producto sea lo que él es.
El maestro necesita mucho más que el alumno que se le eduque.
La educación sólo puede ser transformada educando al educador. Y educar
al maestro es mucho más difícil que educar al joven, porque el maestro ya
está formado, estático y condicionado.
Si el maestro no hace sino impartir la instrucción y transmitir información, ni
siquiera se da cuenta de que, en realidad, no le interesa el proceso del
pensamiento y el cultivo de la inteligencia, y ha dejado de ser un verdadero
educador.
La función del educador consiste en crear nuevos valores, no en reducirse
a implantar valores existentes en la mente del alumno, lo cual no hace sino
condicionarlo sin despertar su inteligencia.
El educador ha de consagrar todo su pensamiento, todo su esmero, todo su
afecto, a crear el ambiente apropiado y la atmósfera conveniente para el
cultivo de la inteligencia.
Educando al Educador

30. Reeducando al Educador
Requerimos reeducar al educador para que aprenda a estar abierto a
aprender y a reaprender, dando con ello el ejemplo requerido a los
discípulos.
Requerimos adaptarnos a la modernidad a través de la incorporación
intensiva de nuevas tecnologías de aprendizaje.
Requerimos de un cambio de enfoque del personal docente, para adoptar el
papel de facilitador del proceso de aprendizaje, en vez del erudito poseedor
y transmisor de toda la información hacia el alumno, como pretende ser
ahora, todavía.

31. La verdadera educación es la comprensión del educando tal como es y no
tal como debiera ser.
Si lo coloca en el armazón de un ideal, lo fuerza a seguir determinado
modelo, le convenga o no; y el resultado es que el alumno o está siempre
en contradicción con el ideal, o se adapta de tal modo al ideal que deja de
ser él y actúa como simple autómata sin inteligencia.
Cuando el educador lo considera, lo respeta, lo observa y le da la libertad
para ser lo que es él, entonces lo guía, lo ayuda, no a llegar al ideal, sino a
lo que es él. Hacer todo eso lleva mucho tiempo, exige paciencia, cuidado
y cariño.
Cuando en el educador no hay amor, requiere de un ideal y el educando ha
de someterse a él.
Un ideal resulta un real estorbo para la comprensión del alumno.
Comprendiendo al Educando

32. La función educativa consiste en producir individuos integrados, que sean
capaces de habérselas con la vida inteligentemente, totalmente, no
parcialmente.
El individuo no puede ser integrado si sólo se guía por una norma idealista
de acción.
Cuando el maestro persigue un ideal, es incapaz de comprender al alumno,
porque entonces el futuro, el ideal, resulta más importante que el alumno,
que es el presente. Y el sacrificio del presente por el ideal del futuro no se
justifica.
Educar a partir de un ideal es como producir automóviles; se tiene el diseño
y se hace pasar al muchacho por el molde, con el resultado de que
creamos seres humanos que son meros técnicos, que no tienen relación
humana con los demás y sólo campean por si mismos, por su propio
beneficio.
La Formación Integral

33. Un cambio de enfoque
Basta ya de la pura exposición en el pizarrón, buscando con ello
enseñar, cuando existen ya medios mucho más efectivos para
aprender.
Basta ya de evaluaciones arbitrarias, diseñadas para reprobar al
alumno, con exámenes muy duros, generalmente departamentales,
cuyos pobres resultados corroboran, una vez más, “lo difícil que es la
ingeniería, y, por supuesto, lo tontos o irresponsables que son los
alumnos”

34. “Usted debe ser el cambio
que desea ver en el mundo.”
Gandhi

35. El propósito del curso será estrictamente de carácter formativo: disciplina
mental, que estimula el desarrollo de algunas habilidades del pensamiento.
Encontraremos, juntos, los elementos para evaluar objetivamente si tal
propósito se logra y en qué medida.
Los contenidos informativos, serán aprendidos, no para aprobar cada
examen, sino para apropiarse de lo esencial, del conocimiento fundamental
para comprender y aprender a plenitud los temas de las asignaturas de
ciencias básicas y ciencias de la ingeniería.
Habrá que garantizar el dominio de los conceptos matemáticos
fundamentales, para que la asimilación promedio, a mediano y largo
plazos, sea significativa, para que esos conceptos se les quedan
almacenadas en la memoria e impregnadas en las células de por vida, para
ser usadas siempre, cuando lo requieran.
Las destrezas en la manipulación matemática serán adquiridas a través de
la ejecución de muchos ejercicios.
ESTE CURSO DE CÁLCULO INTEGRAL

36. ESTE CURSO DE CÁLCULO INTEGRAL
Se dará mucho énfasis a las aplicaciones, haciendo referencia a problemas
reales; la destreza en la manipulación del herramental matemático fuera de
contexto, en abstracto, no tendrá ninguna relevancia.
El estudiante sabrá, con el Silabo, cuál será la cobertura del curso; y con el
Libro de Texto y/o Separata , sabrá cuáles los capítulos y secciones que
deberá estudiar y dominar, los alcances teóricos, tecnológicos y de
aplicación, y el tipo de ejercicios que deberá aprender a resolver. Los
temas fundamentales y la distinción de lo esencial de cada tema, serán
puntualizados por el profesor, en clase.
Aún cuando el curso tiene alta carga temática, cada uno de los temas será
tratado a profundidad y con la pausa que resulte necesaria para el grueso
del grupo.

37. “El secreto de ser aburrido
es decirlo todo"
Voltaire

38. El alumno tendrá grandes posibilidades de aprendizaje por descubrimiento,
pues el profesor actuará como facilitador en el proceso de aprendizaje,
reforzando, respondiendo y orientando, y no asumirá el papel tradicional de
transmisor único de toda la información hacia el alumno.
Para garantizar su éxito en este curso, el alumno será el responsable de su
propio aprendizaje, aplicado, autosuficiente y esforzado, como actor
principal del proceso educativo.
Únicamente haremos algunas definiciones formales y solo los teoremas
más importantes serán demostrados con rigor.
Exploraremos varias técnicas y métodos para resolver un mismo tipo de
problema, aunque no para mecanizarlos, sino para compararlos entre si, e
inducir al alumno a distinguir diferencias entre ellos y a descubrir otras
posibilidades de aprendizaje con el uso de las nuevas tecnologías.
ESTE CURSO DE CÁLCULO INTEGRAL

39. Impulsaremos el uso intensivo de material didáctico en Internet.
Buscaremos aprender a manejar una calculadora graficadora y a
usar algún paquete matemático, pues ambos realizan las
operaciones aritméticas necesarias, con toda precisión, exactitud y
a la mayor velocidad.
Aprenderemos a formular problemas sencillos de ingeniería, a
modelarlos matemáticamente, a interpretar correctamente los
resultados de la solución y a ser capaces de darnos cuenta si tales
resultados pueden corresponder o no a la realidad vivida.
Buscaremos estimular a los alumnos para que se enamoren del
modelado matemático y así, continúen estudiando ingeniería,
induciéndolos a que, como futuros ingenieros, se habitúen a recurrir
a las matemáticas, en cada estudio que emprendan.
ESTE CURSO DE CÁLCULO INTEGRAL

40. La Utilidad del Cálculo Integral
El cálculo estudia algunos conceptos específicos tales como la tangente, la pendiente,
el área, el volumen, la longitud de arco, la curvatura, todos ellos esenciales en
ingeniería, de los que se derivan un sinnúmero de distinciones aún más importantes
para el ingeniero, que explican el funcionamiento del universo y sus componentes.
Es importante distinguir la diferencia entre estudiar matemáticas abstractas, lo que
seguramente debe tener su encanto, para los científicos puros, y estudiar matemáticas
para resolver problemas reales, que es el cometido de los ingenieros. El cálculo no es
la excepción, especialmente porque su desarrollo se ha derivado de las necesidades
del ser humano, de intentar comprender el cosmos y el caos.
El cálculo es la matemática del movimiento, del cambio, de la velocidad y de la
aceleración, del flujo, de la rotación y la traslación, del incremento y la disminución,
desde una perspectiva dinámica, es decir, como “la película” de la ocurrencia de cada
fenómeno.
Otras ramas de las matemáticas, aunque también hacen o llegan a hacer referencia a
esos mismos elementos, lo hacen desde un punto de vista estático, como tomando
“una foto instantánea” del fenómeno.

41. ARITMÉTICA
LA GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL CONTEXTO
DE LAS MATEMÁTICAS Y LA INGENIERÍA
ÁLGEBRA GEOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CÁLCULO
MATEMÁTICAS
SUPERIORES
INGENIERÍA

42. Repaso Histórico
1. Antigüedad: contaban con piedrecillas; en latín, “calculus” significa
piedrecilla.
2. Egipcios y babilonios: generaron procedimientos prácticos de cálculo,
relativamente evolucionados, en agrimensura, metrología y astronomía.
3. Griegos. Integraron las reglas empíricas en un sistema teórico, pero su
sistema de numeración lo limitaba al uso de regla y compás.
4. Siglo XVI: Los árabes introdujeron a Europa la numeración india en plena
expansión cultural renacentista, se desarrollaron el álgebra simbólica y los
logaritmos.
5. Siglo XVII: Descartes creó la geometría analítica, que permitió el cálculo
numérico exacto, sentando las bases del cálculo infinitesimal, creado por
Newton y Leibniz, y origen del análisis matemático moderno.
6. Siglo XX: El cálculo numérico y los métodos de cálculo aproximado han
recibido un nuevo impulso, soportados ahora por poderosos equipos y
programas de cómputo.

43. Antecedentes del Cálculo Integral
El Cálculo Integral tiene, al menos, unos 2,500 años de historia
– Ya en el siglo VI a.C., Tales de Mileto y Pitágoras de Samos se
percataron de la importancia del estudio de los números, para poder
entender el mundo.
– Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, considerándolos
formados por un numero infinito de secciones de grosor infinitesimal.
– Eudoxo y Arquímedes utilizaron el método del agotamiento para
encontrar el área del círculo.
– Hipócrates de Cos descubrió que el área de figuras geométricas en
forma de media luna, limitadas con arcos circulares, son iguales a la de
ciertos triángulos.
– Euclides dejó plasmado en los 13 libros que componen sus Elementos la
mayor parte de los conocimientos matemáticos existentes en finales del
siglo IV AC.

44. Antecedentes del Cálculo Integral
El Cálculo Diferencial es, al menos 2,000 años más
joven que el Integral, pues se inicia apenas en el siglo
XVII.
– John Napier descubrió los logaritmos.
– Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales.
– Rene Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para
encontrar el área y las tangentes.
– Fermat y Barrow intuyeron que el cálculo diferencial y el integral
estaban relacionados.
– Newton y Leibniz demostraron que el cálculo integral es el
inverso del diferencial.

45. El Cálculo Integral
El estudio de las pendientes de las tangentes -las derivadas- permite
calcular las razones de cambio instantáneo de un fenómeno. Cálculo
diferencial.
El estudio de las áreas bajo la curva -las integrales- permite describir
la forma en que se acumulan estos cambios instantáneos para
producir las funciones. Cálculo integral.
El cálculo infinitesimal es la unión del cálculo diferencial con el
cálculo integral y ha sido el logro más poderoso del ser humano en el
camino para comprender el funcionamiento del universo.
El cálculo es la rama de las matemáticas dedicada a estudiar el
cambio y el movimiento, tratando con cantidades que se aproximan a
otras cantidades –los límites- .
Límite, derivada e integral son los tres conceptos fundamental del
cálculo.

46. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL
Explicar el movimiento de los planetas
Calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales
Predecir los tamaños de poblaciones
Establecer la rapidez con que se elevan los precios
Pronosticar los cambios meteorológicos
Medir el flujo cardíaco
Calcular las primas de seguros
Calcular el rendimiento de una inversión
Determinar la distancia del aeropuerto en que ha de iniciarse el
descenso
Determinar la cantidad de combustible que se ha fugado de un
tanque en un período determinado
Calcular la cantidad de gasolina que queda en un tanque de forma
irregular, a partir de la medición del nivel con flotador