El documento presenta cuatro problemas resueltos con métodos de optimización lineal como Simplex, Gran M y Doble Fase. El primer problema involucra maximizar las ganancias de una venta de bicicletas usando acero y aluminio. El segundo problema minimiza el costo de comprar vitaminas para cubrir requerimientos nutricionales. El tercer problema minimiza el costo de operación de dos minas para satisfacer cuotas de producción. El cuarto problema utiliza el método de doble fase para encontrar la producción óptima en las minas.

1. PROBLEMARIO Unidad IIPachuca De Soto A 22 De Octubre 200908OtoñoAnaya Rodriguéz Fredi Orlado 07200464Investigación De Operaciones IProblema Con El Método Simplex.Problema Con El Método De La Gran M.Problema Con El Método De Doble Fase.Martínez Solis Luis IgnacioProblema Con El Método Simplex.Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 200 y 150 dólares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?Sean las variables de decisión:X1= Numero de bicicletas de paseo vendidas.X2= Numero de bicicletas de montaña vendidas.Tabla de material empleado:AceroAluminioPaseo1 Kg.3 Kg.Montaña2 Kg.2 Kg.Max F (X)= 200 X1 + 150 X2Sujeto A: 1X1 + 2X2≤80 3X1 + 2X2≤120 X1.X2≥0Estandarizado: Max F (X) -200 X1 - 150 X2=0Sujeto A: 1X1 + 2X2 +h1=80 3X1 + 2X2+h2=120 X1.X2,h1,h2≥0 Problema Con El Método De La Gran M. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2,400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1,500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto periodo de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B (tabla). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Marca AMarca BRequerimientos mínimosHierro40 mg10 mg2400 mgB-110 mg15 mg2100 mgB-25 mg15 mg1500 mgCosto0.060.08 Problema Original Min f(x) = 6x1 + 8x2 sujeta a: 40x1 + 10x2 ≥ 2400 10x1 + 15x2 ≥ 2100 5x1 + 15x2 ≥ 1500 x1, x2 ≥ 0 Problema Estandarizado Min f(x) = 6x1 + 8x2 + Ma1 + Ma2 + Ma3 sujeta a: 40x1 + 10x2 - h1 + a1 = 2400 10x1 + 15x2 - h2 + a2 = 2100 5x1 + 15x2 - h3 + a3 = 1500 x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0 Igualar a cero la función objetivo f(x) - 6x1 - 8x2 - Ma1 - Ma2 - Ma3 = 0 M=100 Solución Optimaf(x)1140 x130 h3450 x2120 Problema Con El Método De Doble Fase. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro, 3 toneladas de bronce y 5 de cobre. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada uno de los tres metales. la compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. sabiendo que el costo diario de la operación es de $2,000 en cada mina. ¿Cuántos días deben trabajar cada mina para que el costo sea mínimo? Mina AMina BCantidadHierro1280Bronce32160Cobre52200 X1= Producción por tonelada en la mina A X2= Producción por tonelada en la mina B Problema Original Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 Min f(a) = a1 + a2 + a3 sujeta a: x1 + 2x2 ≥ 80 3x1 + 2x2 ≥ 160 5x1 + 2x2 ≥ 200 x1, x2 ≥ 0 Problema Estandarizado Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(a) - a1 - a2 - a3 = 0 sujeta a: x1 + 2x2 - h1 + a1 = 80 3x1 + 2x2 - h2 + a2 = 160 5x1 + 2x2 - h3 + a3 = 200 x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0 Fase I Se hace el tableau y se itera con el método Simplex Se hace cero los coeficientes de las variables básicas por el método gaussiano. Se procede a iterar con el método Simplex A qui termina la primera fase ya que nos dio un cero en la columna solución del renglón objetivo. Fase II Se toma como base la tabla anterior de la fase I y se eliminan las columnas de las variables artificiales posteriormente se modifican los valores de f(a) por los de f(x) igualada a cero y se ponen esos coeficientes en el renglón objetivo. Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(x) - 2000x1 - 2000x2 = 0 Basef(x)x1x2h1h2h3Soluciónf(x)1-2000-20000 0 00 x1001- 3/4 1/4 020 x20001 -2140 h3010 1/2 - 1/2 040 Se hacen cero las variables no básicas. Basef(x)x1x2h1h2h3Soluciónf(x)10 0 -500 -500 0120000x100 1 - 3/4 1/4 020 x200 0 1 -2140 h301 0 1/2 - 1/2 040 Así queda la solución optima ya que no hay ninguna variable no básica mas positiva en el renglón objetivo. Soluciónf(x)120000x120 x240 h340