Este documento presenta un módulo instruccional sobre resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita para estudiantes entre 15 y 18 años. Explica objetivos generales y específicos, conceptos clave como intervalos y tipos de intervalos, y métodos geométrico y de signos para resolver inecuaciones cuadráticas. Incluye ejemplos resueltos y ejercicios propuestos para que los estudiantes practiquen.

1. Elaborado por: Juan Carlos
Useche Méndez
C.I. 11.498.576
San Cristóbal, Noviembre
2016
Universidad de los Andes - Táchira
Núcleo Universitario Dr. Pedro Rincón Gutiérrez
Maestría en Evaluación Educativa

2. Área:
Ciencias Naturales
Asignatura:
Matemática
Responsables:
Juan Carlos Useche Méndez
Lugar y Fecha:
San Cristóbal, Noviembre 2016

3. 
Introducción
Queridos estudiantes, les he elaborado el
módulo instruccional de matemática del quinto
año de educación básica media y profesional de
tal forma, que el contenido: Inecuaciones
cuadráticas con una incógnita , sean
comprendido de manera clara y precisa para que
ustedes logren adquirir los conocimientos
necesarios para estudios posteriores.
Diseñado para todos aquellos estudiantes con
edades comprendidas entre 15 y 18 años de edad
que estén interesados en adquirir
conocimientos y habilidades sobre el tema.

4. 
Objetivos
Conocimientos previos
Definición de inecuación
Cuadrática
Tipos de Intervalos

5. 
OBJETIVO GENERAL
• Resolver inecuaciones cuadráticas con una
incógnita
• Hallar la solución de la forma: ax2 + bx +c ≥ 0,
• Expresar la solución en forma de intervalo y de conjunto
• Trazar en la recta real la solución de inecuaciones
cuadráticas
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
ax2 + bx +c > 0, ax2 + bx +c ≤ 0, ax2 + bx +c <
0.

6. 
CONOCIMIENTOS PREVIOS.
Antes de que pases a estudiar como se resuelven
inecuaciones cuadráticas debes recordar la definición de
intervalo y los tipos de intervalo y como se representan.
Definición de intervalo de la recta real: es un subconjunto
de R que tiene la propiedad que si dos números a y b están
en tal subconjunto, entonces cualquier c que se
encuentre entre a y b también está en el subconjunto. En
una idea intuitiva es un pedazo de recta, una semirrecta,
un segmento de recta o toda la recta.

7. 
Tipos de intervalos:
Notación
de intervalo Notación de conjunto Gráfica
Intervalo acotado
abierto (a,b) {x:a<x<b}
a b
Intervalo acotado
cerrado
[a,b] {x:a≤x≤b}
a b
Intervalos acotados
(ni abiertos ni
cerrados)
[a,b)
(a,b]
{x:a≤x<b}
{x:a<x≤b}
a b
a b
Intervalos no
acotados abiertos
(- ∞,b)
(a, ∞)
{x: x<b}
{x: x>a}
b
a
Intervalos no
acotados cerrados
(- ∞,b]
[a, ∞)
{x: x≤b}
{x: x≥a}
b
a
Recta real (- ∞, ∞) {x: x es un número real}

8. Definición: Una inecuación es una desigualdad
en la cual hay una o más cantidades
desconocidas (incógnitas) y que sólo se
verifica para determinados valores de las
incógnitas. Y se le dice cuadrática o de
segundo grado cuando tienen la siguiente
forma: ax2 + bx + c ≤ 0 , ( o ≥ 0, o > 0, o < 0), es
decir cuando el grado de la misma es dos.
Inecuaciones cuadráticas

9. 
Método para resolver inecuaciones
cuadráticas
Para hallar la solución de una inecuación cuadrática, aplicaremos
dos métodos:
Método geométrico.
Método del signo.

10. 
Método geométrico.
Para hallar la solución de una inecuación por el método
geométrico procedes de la siguiente forma:
• Escribe la inecuación en su forma general, es decir comparada
con cero.
• Indica los valores de los coeficientes de la función cuadrática, es
decir, el valor de a, b y c.
•Verifica si a es mayor que cero(a>0), esto indica que la parábola
abre hacia arriba o si a es menor que cero (a<0), esto indica que la
parábola abre hacia abajo.
•Estudia el discriminante de la ecuación cuadrática, es decir,
b2 - 4ac, si el mismos es mayor que cero su grafica tiene dos
cortes con el eje x , si es menor que cero no tiene cortes con el eje
x y si es igual a cero tiene un solo corte con el eje x.

11. 
Método geométrico
• Calcula las raíces de dicha ecuación con la fórmula de la
ecuación de segundo grado:
•Ubica las raíces en la recta real y dibuja la parábola para verificar
para que valores se cumple la desigualdad.
•Finalmente escribe la solución la cual esta conformada por todos
los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La
solución se puede expresar de distintas formas:
•Como intervalo
•Como conjunto
•Gráficamente

12. 
EJEMPLO 1
Resuelve la inecuación planteada y expresa la solución en forma
de intervalo, en forma de conjunto y representarla gráficamente.
Para resolver la inecuación aplica los pasos mencionados
anteriormente en el método geométrico.
1. Escribe la inecuación en forma general.
2. Indica los valores de los coeficientes de la función cuadrática, es
decir, el valor de a, b y c.
a = 1, b = 7 y c = 12

13. 
3. Verifica si a es mayor que cero(a>0), o menor que cero(a<0).
Como a = 1,entonces a > 0. Esto indica que la parábola abre hacia
arriba.
4. Estudia el discriminante de la ecuación cuadrática, es decir,
b2 - 4ac.
b2 - 4ac = 72 - 4.1.12 = 49 - 48 = 1
Como b2 - 4ac = 1 indica que es mayor que cero (b2 -4ac a > 0), lo que
te dice que la parábola tiene dos cortes con eje x.
5. Calcula las raíces utilizando la fórmula de ecuación de segundo
grado:
EJEMPLO 1

14. 
EJEMPLO 1
Resolviendo las operaciones matemáticas allí planteadas
Efectuando la diferencia, se obtiene

15. 
EJEMPLO 1
Calculando raíz cuadrada de 1
Calculando x1 y x2
= = -3
= = - 4
Por lo tanto las raíces de la ecuación cuadrática son -4 y -3

16. 
EJEMPLO 1
6. Ubica las raíces en la recta real y dibuja la gráfica que corresponde
según lo calculado anteriormente(Posición de la grafica de una
ecuación cuadrática)
-4 -3
++ + + ++
- --
Como haz observado la inecuación planteada se debe cumplir para
todos los valores menores que cero y de acuerdo a la representación
gráfica, solo se cumple para el intervalo comprendido entre -4 y -3,
donde los valores son negativos.

17. 
EJEMPLO 1
Finalmente escribe la solución en las tres formas pedida. Revisa
tipos de intervalos.
1. En forma de intervalo:
Sol= (-4,-3)
2. En forma de conjunto:
Sol= {x R:-4x-3}
3. En forma gráfica:
-4 -3

18. 
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
Resuelve las inecuaciones planteadas y expresa la solución en
forma de intervalo, en forma de conjunto y representarla
gráficamente.
1º. x2 - 3x – 4 ≥ 0
2º. -x2 + 5x +6 > 0
3º. 2x2 -26x +21 < 0
Resuelve las inecuaciones planteadas y expresa la solución en
forma de intervalo, en forma de conjunto y representarla
gráficamente.
1º. x2 - 3x – 4 ≥ 0
2º. -x2 + 5x +6 > 0
3º. 2x2 -26x +21 < 0

19. 
1. En forma de intervalo:
Sol= (- , -1]  [4, )
2. En forma de conjunto:
Sol= {x R: x ≤ - 1  x ≥ 4}
3. En forma gráfica:
1º. x2 - 3x – 4 ≥ 0
- 1 4
x2 - 3x – 4 ≥ 0

20. 2º. -x2 + 5x +6 > 0
1. En forma de intervalo:
Sol= (-1 , 6 )
2. En forma de conjunto:
3. En forma gráfica:
- 1 6
-x2 + 5x +6 > 0

21. 
1. En forma de intervalo:
Sol= ((13-127)/2), (13+127)/2))
2. En forma de conjunto:
Sol= {x R: (13-127)/2 < x < (13+127)/2)) }
3. En forma gráfica:
3º. 2x2 -26x +21 < 0
2x2 -26x +21 < 0
(13+127)/2)(13-127)/2)
excelente

22. 
Método de los signos
Antes de estudiar la solución de una inecuación cuadrática debes
recordar los criterios para determinar la posición de una recta con
respecto al eje x.
Si la pendiente(m) de la recta L es positiva(m>0), el signo de la recta
es el siguiente:
A la derecha del punto de corte la gráfica es positiva
A la izquierda del punto de corte la gráfica es negativa
+ ++ +
––––
Corte con el eje x
Y= mx+ b, m>0

23. 
Método de los signos
Si la pendiente(m) de la recta L es negativa(m<0), el signo de la
recta es el siguiente:
A la derecha del punto de corte la gráfica es negativa
A la izquierda del punto de corte la gráfica es positiva
Y= - mx+ b,
+ +++
– – – –
Corte con el eje x
m<0

24. 
Método de los signos
Para resolver una inecuación cuadrática por el método del signo
procedes de la siguiente manera:
Escribe la inecuación en forma general, es decir comparada con
cero
Factoriza la función cuadrática
Calcula las raíces de dichos factores
Ubica las raíces en la recta real
Dividimos la recta real en con estas raíces en intervalos y estudias el
signo de cada factor
Escoges el signo determinado para la desigualdad dada

25. 
Método de los signos
Finalmente escribe la solución la cual esta conformada por
todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta.
La solución se puede expresar de distintas formas:
•Como intervalo
•Como conjunto
•Gráficamente

26. 
EJEMPLO 1
Resuelve la inecuación planteada y expresa la solución en forma de
intervalo, en forma de conjunto y representarla gráficamente.
x2 - 5x + 6 ≤ 0
Para resolver la inecuación aplica los pasos mencionados
anteriormente en el método del signo.
1. Escribes la inecuación en forma general
La inecuación ya esta escrita en forma general
2. Factoriza la función cuadrática
(x - 3 )(x - 2)≤0
Para factorizar por
este método buscas
dos números que
multiplicados den el
ultimo y sumados o
restados el número del
medio, de la
inecuación dada.
Este signo
es el
primero de
la
inecuación
Este signo se obtiene
multiplicando el primer
signo por el segundo de la
inecuación dada

27. 
EJEMPLO 1
3. Calcula las raíces de dichos factores
x – 3 = 0 (Despejando a x ) x – 2 = 0 (Despejando a x )
x = 3 x = 2
Signo (x - 2)
4. Dividimos la recta real en con estas raíces en intervalos y
estudias el signo de cada factor
-  
Observa que la solución de la inecuación está
entre 2 y 3 que es el intervalo que es menor o
igual a cero
Signo (x - 3)
Signo (x - 3)(x + 2) ≤ 0
+
32
+
+
+
+
+
(x - 3 )(x - 2) = 0

28. 
EJEMPLO 1
Finalmente escribe la solución en las tres formas pedida.
1. En forma de intervalo:
Sol= [2 , 3]
2. En forma de conjunto:
Sol= {x R: 2 ≤ x ≤ 3}
3. En forma gráfica:
2 3

29. 
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
Resuelve las inecuaciones planteadas y expresa la solución en
forma de intervalo, en forma de conjunto y representarla
gráficamente.
1º. x2 - 1 ≤ 0
2º. x2 + x - 2 < 0
3º. 2x2 + 36 > 12x
Resuelve las inecuaciones planteadas y expresa la solución en
forma de intervalo, en forma de conjunto y representarla
gráficamente.
1º. x2 - 1 ≤ 0
2º. x2 + x - 2 < 0
3º. 2x2 + 36 > 12x

30. 
Respuestas a los ejercicios propuestos
Respuesta a los ejercicios de propuestos 2
1. En forma de intervalo:
Sol= [- 1,1]
2. En forma de conjunto:
Sol= {x R: - 1 ≤ x ≤ 1 }
3. En forma gráfica:
-1
1º. x2 - 1 ≤ 0
1
x2 - 1 ≤ 0

31. 
Respuestas a los ejercicios propuestos
Respuesta a los ejercicios de propuestos 2
1. En forma de intervalo:
Sol= (- 2,1)
2. En forma de conjunto:
Sol= {x R: - 2 < x < 1 }
3. En forma gráfica:
-2 1
2º. x2 + x - 2 < 0
x2 + x - 2 < 0

32. 
Respuestas a los ejercicios propuestos
Respuesta a los ejercicios de propuestos 2
1. En forma de intervalo:
Sol= (- ,)
2. En forma de conjunto:
Sol= {x: x es un numero real}
3. En forma gráfica:
3º. 2x2 + 36 > 12x
2x2 +36 > 12x

33. 
Autoevaluación
Resuelve las inecuaciones planteadas y expresa la solución en
forma de intervalo, en forma de conjunto y represéntala
gráficamente.
1) 2x2 - x - 3  0 2) x2 +2x + 1 < 0
3) x2 + 3x - 10 > 0 4) x2 - 4x + 4 > 0
5) x2 - 3x - 4 ≥ 0 6) - x2 + 5x + 6 > 0
7) x2 + x - 3 > 0 8) - 12x2 - 2x + 2 < 0
9) x2 - 5x + 6 ≤ 0 10) 1 - x2 ≤ 0