Este documento describe las funciones cuadráticas, incluyendo sus expresiones explícita, canónica y factorizada. Explica que los gráficos de funciones cuadráticas son parábolas y describe sus características como el vértice, raíces, ordenada al origen y ejes de simetría. También incluye fórmulas para calcular estas características y sugiere investigar cómo varían los gráficos cuando se modifican los parámetros a, p y k.
Taller de ejercicios sobre tabulación, graficación, hallar el vértice y los puntos de corte de una función cuadrática haciendo uso de algunos casos de factorización y la formula cuadrática.
Taller de ejercicios sobre tabulación, graficación, hallar el vértice y los puntos de corte de una función cuadrática haciendo uso de algunos casos de factorización y la formula cuadrática.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
Durante el período citado se sucedieron tres presidencias radicales a cargo de Hipólito Yrigoyen (1916-1922),
Marcelo T. de Alvear (1922-1928) y la segunda presidencia de Yrigoyen, a partir de 1928 la cual fue
interrumpida por el golpe de estado de 1930. Entre 1916 y 1922, el primer gobierno radical enfrentó el
desafío que significaba gobernar respetando las reglas del juego democrático e impulsando, al mismo
tiempo, las medidas que aseguraran la concreción de los intereses de los diferentes grupos sociales que
habían apoyado al radicalismo.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
2. Llamamos función cuadrática a todas las funciones de la forma:
f(x)= ax²+bx+c Expresión explícita, donde a,b y c son números reales y a≠0
f(x)=a(x-p)²+k Expresión canónica, donde a, p y k son números reales y a≠0
f(x)=a(x-x1).(x-x2) Expresión factorizada, donde a≠0
Los gráficos de las funciones cuadráticas son curvas llamadas PARÁBOLAS
•V=vértice de la parábola
• c= ordenada al orígen. La curva corta al eje y en
c
•la recta que pasa por el vértice es el eje de simetría
de la parábola
•x1 y x2 son los ceros o raíces de la parábola.
Son los puntos donde la curva corta al eje x, en
éstos valores de x la función vale 0
Los ceros o raíces los encontramos utilizando la
fórmula resolutoria (ver fórmulas)
•La ordenada del vértice es el valor máximo o
mínimo que alcanza la función y lo llamamos
extremo.
•Las funciones cuadráticas tienen un tramo
creciente y otro decreciente
3. fórmulas pág.anterior
• expresión polinómica y=ax²+bx+c • expresión canónica y= (x-p)²+k
• eje de simetría −b • eje de simetría
x=
2a x=p
• coordenadas del vértice • coordenadas del vértice
V=(p;k)
−b x +x
Xv = ..........ó........ X v = 1 2 Xv=p Yv=k
2a 2
.
Y = f (xv)
v
fórmula resolutoria
− b ± b 2 − 4 . a .c
x1 ; x 2 =
2a
b 2 − 4ac ⇒ DISCRIMINANTE
b2 − 4ac f 0 ⇒ dos.solucionesreales. y.dist int as
.
b2 − 4ac = 0 ⇒ una..soluciónreal
.
b2 − 4ac p 0 ⇒ no.tiene.solucionesreales ⇒ no.corta..al.eje.x
.
Propiedades de las raíces
−b x x .x 2 =
c
x x + x2 =
a a
4. Investigá:
•qué sucede con el gráfico de la parábola cuando variamos el
coeficiente a, donde p=0 y k=0
•qué sucede cuando p≠0 y k≠0
•qué sucede con la posición del vértice cuando a=1 y k=0
•qué sucede cuando a=1 y p=0
Ver
simulador •Qué desplazamiento produce el parámetro p?
•Qué desplazamiento produce el parámetro k?
•Cómo se modifica la parábola cuando a>0 y cuando a<0?
5. Para cada una de las funciones dadas, determinen en el simulador
el gráfico, las raíces reales (si existen), analicen si la ordenada del
vértice es un máximo o un mínimo y los intervalos de crecimiento
y decrecimiento. Verifiquen, utilizando las fórmulas, si los datos
obtenidos por ustedes coinciden con los del simulador y realicen
sus propios gráficos
f ( x) = x2 − 5x + 6
g ( x) = −x2 + 4x
k ( x) = x2 − x + 0.30
h( x) = −0.5x2 + 1.50
j( x) = x2 + x + 1
Simulador
6. gráficos
construcción:
• hallamos las raíces utilizando la fórmula resolvente
• marcamos en el gráfico las raíces sobre el eje x
• obtenemos el eje de simetría y las coordenadas del vértice
• trazamos el eje de simetría y sobre el vértice de la parábola
• marcamos la ordenada al origen (eje y)
• trazamos la parábola (ver fórmulas)
• Ver gráficos
8. mono
• Un mono se encuentra colgado de la rama de un árbol a
6m de altura. Cuando descubre que en el piso hay una
fruta, decide dejarse caer para buscarla. A partir de la
fórmula de la caída libre de los cuerpos:
, pueden determinar el tiempo que tarda el mono en llegar
al piso.
g=aceleración de la gravedad≈10m/s²
Como solo se deja caer, no tiene v inicial, por lo tanto la
fórmula queda:
Pulsando sobre la curva del simulador pueden ver a que
altura se encuentra el mono en cada instante de la caída.
• ¿cuánto tarda el mono en llegar al piso?
• ¿cuanto tardar si se deja caer desde 10m de altura? y
¿desde 15m?
9. Beneficios
beneficio de una empresa (análisis de maximización)
Una estación de servicio analiza el beneficio semanal, de acuerdo a la nafta que vendió,
según la siguiente fórmula:
B(x) = -x²+46 x-205
El beneficio se expresa en pesos y la variable x en miles de litros. Nos interesa saber:
1-¿Cuánto dinero se pierde si no se vende ningún litro de nafta?
Lo que se está buscando es la ordenada al orígen o sea cuando x=0.
2-¿cuántos litros se deben vender para obtener el beneficio máximo?
Como en la función el coeficiente a es negativo, el vértice de la parábola me indica el
Ver valor máximo de la función. Por lo tanto el valor de la abcisa determina la cantidad de
litros que maximiza el beneficio.
simulador 3-¿Para qué cantidad de litros no hay ni pérdidas ni ganancias?
Hallar la cantidad de litros para no perder ni ganar dinero significa encontrar los ceros
de la función.
Hallando las coordenadas del vértice y los ceros de la función encontramos que:
* se deben comercializar 23 mil litros de nafta para obtener el beneficio máximo,
obteniendo una ganancia de 324 pesos.
** el beneficio es nulo si se venden 5 mil litros porque no se cubren los costos y
también si se venden 41 mil porque, seguramente, para vender esa cantidad hay que
reducir el precio por litro.
El gráfico muestra (en rojo), los intervalos para los cuales el beneficio es negativo