Este documento trata sobre la aplicación de las derivadas. Define la derivada como la razón de cambio instantáneo de una función. Explica que las derivadas permiten modelar fenómenos como el crecimiento de poblaciones. Luego discute tipos de derivadas como las derivadas de constantes, funciones lineales y afines. Finalmente, explica cómo calcular derivadas y sus usos en optimización.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la educación
Instituto Universitario de tecnología ¨Coronel Agustín Codazzi¨
Barinas estado Barinas
Aplica
ción
DE LA
Derivada

2. Docente: Alumno:
Jesús Gámez Manuel Vargas 29.601.416
Mercadotecnia
Barinas, enero de 2021

3. Índice
Página
Introducción……………………...…………………………………….………………………………………………….3
Derivada (Definición)……….…………………………………………..………………………………………………4
Aplicación de la derivada en la vida real…………………………….…………………………………………4
Usos de la derivada de una función……………………………………….…………………………………….5
Función derivada………………………………………………………..………………………………..................6
Derivadas (tipos)……………………………………………………….…………………………………………………8
Operaciones con funciones derivadas………….……………………………………………………….……18
Conclusión………………………………………………………………………………………………………………….21
Bibliografía…………………………………………………………………………………………………………………22

4. Introducción
Se define como derivada al ritmo de cambio de cualquier función de un determinado
instante, pero que también puede representar el ritmo o velocidad de cualquier cosa,
la densidad o aumento de la población de tortugas marinas en relación al crecimiento
o decrecimiento. Las derivadas les permiten a los seres humanos la posibilidad de
crear modelos teóricos para explicar fenómenos de la vida diaria.
Tema del cual se va a tratar el siguiente trabajo, explicando el significado de manera
idónea el tema de las derivadas, sus tipos y usos.

5. Derivada (Definición):
En los hábitos de cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función
se define como la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha
función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La
derivada de una función es un concepto local, es
decir, se calcula como el límite de la rapidez de
cambio media de la función en cierto intervalo,
cuando el intervalo considerado para la variable
independiente se torna cada vez más pequeño.
Por eso se habla del valor de la derivada de una
función en un punto dado.
Aplicación de la derivada en la vida real:
En palabras sencillas, la derivada de una función se define como una medida de
rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su
variable independiente o dicho de otro modo, la derivada de una función nos indica el
ritmo con el que dicha función varía (crece, decrece o este permanece constante)
cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente, como ejemplos
estos 3 casos de descenso:

6. En los tres casos se desciende, mas no al mismo ritmo. En el primer caso el descenso
es de manera lenta; en el segundo el descenso es más rápido, mas sin embargo en el
tercero la velocidad de descenso es muy superior a estos dos.
Mediante el estudio de funciones y, más concretamente, mediante el uso de la
derivada se puede conocer:
 La variación del espacio en función del tiempo
 El crecimiento de una bacteria en función del tiempo
 El desgaste de un neumático en función del tiempo
 El beneficio de una empresa en función del tiempo
De ahí que el uso de la derivada resulte fundamental en muchas situaciones de la vida
cotidiana.
Usos de la derivada de una función:
Existen múltiples áreas en las cuales se emplea el uso de las derivadas. Las derivadas
nos dan información sobre la función, como ya se describió en este trabajo; la derivada
se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una
curva o como cambia una cantidad con respecto a otra, Una aplicación es poder hallar
los máximos y mínimos de una función.
Una función puede alcanzar un máximo o mínimo relativo cuando la derivada es igual a
cero o cuando no existe. Por ejemplo, si la derivada tiene un valor de 1/0 no existe.
Las derivadas nos ayudan también a su vez, la posibilidad de crear modelos
matemáticos.
Si se mira desde la perspectiva de la economía, imaginando que una empresa propone
un modelo matemático que simula la ganancia según cuantos artefactos se fabrican.
Usando derivadas uno podría obtener para la cantidad de artefactos fabricados la
máxima ganancia. También se podría saber cuál es el esfuerzo máximo que se puede
ejercer sobre un material. Estos son los ¨problemas de optimización¨, los cuales son
unos de los usos más importantes de las derivadas.
Al saber cómo cambia una función con respecto a una variable, se puede predecir si
una función crece o decrece, o si el crecimiento se va a convertir en decrecimiento y
viceversa. Estos nos brindan la información suficiente para bosquejar la gráfica de una
función.

7. También en la física hay muchas definiciones las cuales incluyen derivadas. Por lo cual
es imprescindible el que alguien que estudie ciencias o ingeniería conozca sobre
derivadas y, además, de integrales. Y para saber integrar primero se necesita saber el
derivar.
Función derivada:
Para calcular la derivada de una función en un punto se hace utilizando la definición
de la derivada:
Utilizando la definición de derivada, se obtiene la función derivada de una función, es
decir, una función que asocia a cada punto con la derivada en dicho punto.
Es decir, en vez de calcular la derivada para un sólo punto, se puede calcular para x:
El resultado será una función que depende de x y para obtener la derivada en un punto
en concreto, sólo se tiene que sustituir la x por ese punto en la función derivada.
No hay que confundir los conceptos de derivada de una función en un punto, que es
un número real, con una función derivada o simplemente derivada, que es una
función.
Vamos a ver un ejemplo: Hallar la función derivada de la siguiente función:
Aplicamos la definición de derivada:
Sustituimos f(x+h) y f(x) por sus funciones correspondientes:

8. Operamos y simplificamos términos:
Anulamos la h del numerador y del denominador y por último obtenemos el resultado:
Por tanto, la función derivada de la función anterior es:
Esta vez, la función derivada es una función constante, es decir, no es el valor de la
derivada en un punto, lo que quiere decir que la derivada de la función anterior en
cualquier punto es igual a 7.
Si se calcula el valor de la función derivada en cualquier punto, el resultado siempre
será 7:
Vamos a ver otro ejemplo.
Hallar la función derivada de la siguiente función:
y halla el valor de la derivada de esa función en el punto x=2.
En primer lugar aplicamos la fórmula de la definición de derivada:
Sustituimos f(x+h) y f(x) por sus valores:

9. Desarrollamos el paréntesis que está al cuadrado:
Eliminamos paréntesis:
Simplificamos términos y sacamos factor común a la h en el numerador:
Eliminamos la h que se repite en el numerador y en el denominador y obtenemos el
resultado final:
La derivada de la función es por tanto:
Para hallar el valor de la derivada en x=2, ya no es necesario aplicar la fórmula de la
derivada. Simplemente sustituyendo la x por 2 en la función derivada, obtenemos su
valor para ese punto:
Derivadas (Tipos):
Derivada de una constante:
Tenemos una función constante:

10. La derivada de una función constante es cero:
Vamos a demostrarlo calculando su función derivada utilizando la definición:
Por tanto, cada vez que la función sea una constante, la derivada será 0 y lo puedes
poner directamente.
Por ejemplo: Calcular la derivada de la siguiente función:
Como es una función constante, escribimos directamente su derivada:
Derivada de la función lineal:
Las funciones lineales son aquellas cuya forma son una x multiplicadas por un
número:
La derivada de la función lineal es el número que multiplica a la x:
Su demostración es la siguiente:

11. Por tanto, cuando las función sea lineal, en su derivada desaparecerá la x y se quedará
sólo el número:
Vamos a ver un ejemplo: Calcular al derivada de la siguiente función:
Su derivada es igual al número que tiene delante la x:
Derivada de la identidad:
Un caso particular de la función lineal es la función identidad, es decir, cuando la
función es sólo una x::
La derivada de la función identidad es igual a 1, que es igual al número que lleva
delante:
Su demostración es:

12. Derivada de la función afín:
La función afín es la que tiene la siguiente forma:
La derivada de la función afín es el número que queda delante de la x. Todo lo demás
desaparece:
Tiene sentido ya que la derivada de una función línea es el número que queda delante
de la x y la derivada de un una constante es cero, por tanto, la suma de las dos
derivadas es igual al número que queda delante de la x.
Su demostración derivando con la definición de la derivada es:
Por ejemplo, calcular la derivada de:
Directamente para calcular la derivada de esta función, dejamos sólo el número que
está multiplicando a la x:
Derivada de la función potencial:
Una función potencial es aquella donde la x está elevada a un exponente. Para
calcular su derivada, el exponente pasa a multiplicar a la x y se le resta 1 al exponente:

13. En lugar de una x, podemos tener una función elevada a un exponente. En ese caso, la
derivada se calcula pasando el exponente a multiplicar a la función, a cuyo exponente
se le resta 1 y además todo lo anterior queda multiplicado por la derivada de la
función:
Por ejemplo, calcular la derivada de:
Pasamos el 2 multiplicando a la x y le restamos 1 al exponente:
Vamos a ver otro ejemplo con una función elevada a un exponente: Derivar la
siguiente función:
Pasamos el exponente a multiplicar la función y al exponente de la función le restamos
1 y todo eso, lo multiplicamos por la derivada de la función, que está compuesta por
dos términos y su derivada será la suma de la derivada de cada uno de los términos:
Derivada de una constante por una función:
Cuando tenemos una constante que está multiplicando a una función, su derivada
será esa constante multiplicada por al derivada de la función:
Por ejemplo:
El 3 lo pasamos multiplicando y queda multiplicando al 27, que ya estaba. Al
exponente de la x le restamos 1:

14. Derivada de una raíz:
La derivada de una raíz es un caso particular de la función potencial cuando el
exponente es fraccionario. La derivada de la raíz cuadrada de x es la siguiente:
Si lo que tenemos es una función dentro de la raíz cuadrada, su derivada es:
En general, la derivada de una raíz, ya sea de x o de una función es:
Por ejemplo:
En el denominador, el índice pasa a multiplicar a la raíz y se le resta 1 al exponente del
radicando:
Vamos a ver otro ejemplo de calcular la derivada de la raíz cuadrada de una función:

15. Derivada del logaritmo:
La derivada de un logaritmo de x de base cualquiera es igual a 1 dividido por el
producto de x por el logaritmo neperiano de la base:
Cuando el logaritmo es de una función, su derivada es igual a 1 entre el producto de la
función por el logaritmo neperiano de la base, multiplicado por la derivada de la
función:
Cuando la función es logaritmo neperiano de x, su derivada es 1 entre x:
Y si la función es logaritmo neperiano de una función, su derivada es 1 entre la función,
multiplicado por la derivada de la función:
Por ejemplo, la derivada de este logaritmo en base 12 de esta función es:

16. Derivada de la función exponencial:
Tenemos una función exponencial cuando la x está en el exponente. Su derivada es
igual al mismo número elevado a x multiplicado por el logaritmo neperiano de la base
de la potencia:
Si el número está elevado a una función, la derivada es igual a la misma potencia,
multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y por al derivada de la función
exponente:
Cuando el número al que está elevado la x es el número e, la derivada es el mismo
número e elevado a x:
Si el número e está elevado a una función, su derivada es el mismo número e elevado a
la función por la derivada de la función:
Por ejemplo, en esta función exponencial, donde el número está elevado a una
función:
Su derivada es:
En este otro ejemplo con el número e elevada a una función:
Su derivada es:

17. Derivada de las funciones trigonométricas:
Vamos a ver ahora las derivadas de las funciones trigonométricas junto con sus
funciones compuestas.
La derivada del seno es igual al coseno:
La derivada del coseno, es igual a menos seno:
La derivada de la tangente es igual a 1 más el cuadrado de la tangente o 1 entre el
coseno cuadrado de x:
Esas tres funciones trigonométricas son las más utilizadas. También está el resto de
funciones trigonométrica:
Cotangente:
Secante:

18. Cosecante:
Veamos algunos ejemplos sobre derivar funciones trigonométricas.
Derivar la siguiente función seno:
Derivar la siguiente función coseno:
Derivar la siguiente función tangente:
Derivar la siguiente función cotangente:

19. Derivada de las funciones trigonométricas inversas:
Éstas son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas principales.
Arco seno:
Arco coseno:
Arco tangente:
Operaciones con funciones derivadas:
Derivada de la suma de dos funciones:
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de esas
dos funciones:
Por ejemplo, la derivada de la siguiente función:

20. es igual a la derivada de cada uno de sus términos:
Derivada de un producto de funciones:
La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de al primera
función, por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar, por la derivada de la
segunda:
Por ejemplo:
Derivada del cociente de funciones:
La derivada de un cociente de funciones es igual a la derivada del numerador, por el
denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del
denominador, todo ello dividido entre el denominador sin derivar al cuadrado:
Por ejemplo:

21. Una vez aplicada la fórmula de la derivada de un cociente, ya sólo queda operar y
agrupar términos semejantes:
Regla de la cadena. Derivada de la función compuesta:
En las funciones compuestas por otras funciones:
Su derivada se calcula aplicando la regla de la cadena, que consiste en ir derivando la
función que queda por fuera, multiplicada por la derivada de la función de dentro:
Por ejemplo, esta función se compone de una función elevada a 4:
La función de fuera es la función elevada a 4 y al función de dentro corresponde a un
polinomio.
Por tanto, aplicamos la regla de la cadena derivando la función que queda por fuera, es
decir, la función elevada a 4, que pasamos el 4 a multiplicar y le restamos uno al
exponente, y lo multiplicamos por la derivada de la función de dentro, que
corresponde a la suma de sus derivadas:

22. Conclusión
El uso de las derivadas y sus diferentes tipos se pueden catalogar como
fundamentales no solo en el ámbito de la matemática, si no de la vida laboral también,
permitiéndonos a nosotros el realizar modelos matemáticos, el saber la duración de un
material a lo largo del tiempo y de su desgaste. A demás de predecir o calcular el
crecimiento o decrecimiento de algo que se quiera saber, como por ejemplo el de la
población humana.
Este trabajo tuvo como fin, el explicar de manera sencilla a la hora de dar una
introducción al tema de las derivadas, además de dar a conocer sus tipos de cada una
de ellas

23. Bibliografía
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://entenderlasmates.blogspot.com/2017/11/aplicaciones-
de-la-derivada-en-la-vida.html
https://es.quora.com/Para-qu%C3%A9-sirven-las-derivadas
https://ekuatio.com/calculo-de-funciones-derivadas-ejemplos-y-
ejercicios-resueltos/