El documento explica el cálculo de la derivada de funciones, centrándose en la ecuación de la recta tangente a la curva de la función y= x²−2x+2 en el punto (0,2), donde se determina que la pendiente es -2. Asimismo, se detalla la definición y notación de la derivada puntual, proporcionando un ejemplo de cálculo de la derivada de la función y= x²+3x−1 en x0=1, resultando en un valor de 5. Se utilizan conceptos de límites y rectas secantes para ilustrar el proceso de obtención de la derivada.

1. Calculo Diferencial e Integral I
La Derivada
(Primera parte)
Ciclo escolar 2014-2015

2. Rectas Tangentes a Curvas
•Actividad. Grafique la función 푦=푥2−2푥+2 y encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (0,2).
–Del curso de geometría analítica; para hallar la ecuación de una recta son necesarios un punto en la recta y la pendiente. Como el punto ya lo tenemos, el problema siguiente es encontrar la pendiente.
–La idea es primero auxiliarse en rectas que pasen por el punto (0,2) y que pasen también por otro punto de la parábola (rectas secantes), e ir acercando esos puntos al punto fijo (0,2). Esto es nuevamente la definición intuitiva de límite.
–Es decir, la pendiente de la recta secante es
푚= 푦−2 푥−0= 푦−2 푥

3. Rectas Tangentes a Curvas
–Y la pendiente de la recta tangente es 푚푡=lim 푥→0 푦−2 푥−0=lim 푥→0(푥2−2푥+2)−2 푥 =lim 푥→0 푥2−2푥 푥 =lim 푥→0 푥푥−2 푥 =lim 푥→0 푥−2=0−2=−2
–Por lo que la ecuación de la recta es
푦−푦0=푚푡푥−푥0
푦−2=−2푥−0
푦−2=−2푥
푦=−2푥+2

4. Derivada puntual como límite.
•Definicion-Notacion. La derivada puntual de una función 푦=푓푥 en 푥0 se define y denota como
푓’(푥0)=lim 푥→푥0 푓푥−푓푥0 푥−푥0

5. Ejemplo
•Escriba aquí la ecuación. Calcule la derivada puntual de
푦=푥2+3푥−1 cuando 푥0=1 푓′1=lim 푥→1 푓푥−푓1 푥−1=lim 푥→1 푥2+3푥−1−12+31−1 푥−1=lim 푥→1 푥2+3푥−1−3 푥−1=lim 푥→1 푥2+3푥−4 푥−1=lim 푥→1 푥+4푥−1 푥−1=lim 푥→1 푥+4=1+4=5
푓’1=5