1) El documento explica cómo calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto, encontrando primero la pendiente como límite. 2) La pendiente de la recta tangente a la curva y(x)=x^2-2x+2 en el punto (0,2) es -2. 3) Se definen conceptos como derivada puntual y reglas para calcular derivadas de funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

1. Calculo Diferencial e Integral I
La Derivada
Ciclo escolar 2014-2015

2. Rectas Tangentes a Curvas
•Actividad. Grafique la función 푦=푥2−2푥+2 y encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (0,2).
–Del curso de geometría analítica; para hallar la ecuación de una recta son necesarios un punto en la recta y la pendiente. Como el punto ya lo tenemos, el problema siguiente es encontrar la pendiente.
–La idea es primero auxiliarse en rectas que pasen por el punto (0,2) y que pasen también por otro punto de la parábola (rectas secantes), e ir acercando esos puntos al punto fijo (0,2). Esto es nuevamente la definición intuitiva de límite.
–Es decir, la pendiente de la recta secante es
푚= 푦−2 푥−0= 푦−2 푥

3. Rectas Tangentes a Curvas
–Y la pendiente de la recta tangente es 푚푡=lim 푥→0 푦−2 푥−0=lim 푥→0(푥2−2푥+2)−2 푥 =lim 푥→0 푥2−2푥 푥 =lim 푥→0 푥푥−2 푥 =lim 푥→0 푥−2=0−2=−2
–Por lo que la ecuación de la recta es
푦−푦0=푚푡푥−푥0
푦−2=−2푥−0
푦−2=−2푥
푦=−2푥+2

4. Derivada Puntual como Límite.
•Definición - Notación. La derivada puntual de una función 푦=푓푥 en 푥0 se define y denota como
푓’(푥0)=lim 푥→푥0 푓푥−푓푥0 푥−푥0
•Una función se dice derivable en x_0 si el límite anterior existe. Si la función es derivable en cada valor real, simplemente se dice que es derivable.

5. Ejemplo
•Escriba aquí la ecuación. Calcule la derivada puntual de
푦=푥2+3푥−1 cuando 푥0=1 푓′1=lim 푥→1 푓푥−푓1 푥−1=lim 푥→1 푥2+3푥−1−12+31−1 푥−1=lim 푥→1 푥2+3푥−1−3 푥−1=lim 푥→1 푥2+3푥−4 푥−1=lim 푥→1 푥+4푥−1 푥−1=lim 푥→1 푥+4=1+4=5
푓’1=5

6. Derivada de Funciones Definición Formal
•A una función 푦=푓푥 que es derivable le corresponde otra función a la cual se le acostumbra llamar la derivada de 푦 (o la derivada de 푓푥). Dicha función se puede obtener calculando el siguiente límite en dos variables limΔ푥→0 푓푥+Δ푥−푓푥 Δ푥
•La derivada suele tener distintas notaciones, siendo las mas comunes
푦’ 푓’푥 푑푦 푑푥 푑 푑푥 푓푥 푑 푑푥 푦

7. Regla de los cuatro pasos
•Existen diversas estrategias de aprendizaje en un curso de calculo. Uno de los mas populares es el de la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada de una función, que pueden enunciarse de la siguiente forma:
1.Escribir los incrementos en las funciones.
2.Restar la función original
3.Dividir entre Δ푥
4.Calcular el límite cuando Δ푥 tiende a cero

8. Ejemplos
1. Escribir los incrementos
3. Dividir entre Δ푥
2. Restar la función original
4. Calcular el límite cuando Δ푥 tiende a cero

9. Reglas de derivación
•Una vez comprendido el concepto de derivada, resulta practico el uso de reglas de derivación en lugar de calcularlo en forma de límite, ya que en la mayoría de los casos esto suele ser muy complicado.
•Aquí estudiaremos poco a poco las formulas de derivación que nos servirán para el calculo de derivadas en funciones algebraicas, y luego las de funciones trascendentales.
•Las primeras formulas nos ayudan por ejemplo al calculo de derivadas de polinomios.

10. Reglas de derivación para funciones algebraicas
1) 푑 푑푥 푐=0
2) 푑 푑푥 푥=1
3) 푑 푑푥 푢+푣−푤= 푑 푑푥 푢+ 푑 푑푥 푣− 푑 푑푥 푤
4) 푑 푑푥 푐푣=푐 푑 푑푥 푣
5) 푑 푑푥 푣푛=푛푣푛−1푑 푑푥 푣
5.1) 푑 푑푥 푥푛=푛푥푛−1
6) 푑 푑푥 푢푣=푢 푑 푑푥 푣+푣 푑 푑푥 푢
7) 푑 푑푥 푢 푣 = 푣 푑 푑푥 푢−푢 푑 푑푥 푣 푣2

11. Identidades Trigonométricas
•Identidades Trigonométricas
tan훼= sen훼 cos훼
cot훼= 1tan훼 = cos(훼) sen훼
sec훼= 1cos훼
csc훼= 1sec훼
•Pitagóricas
sen2훼+cos2훼=1
tan2훼+1=sec2훼
1+cot2훼=csc2훼
•Suma y Resta de ángulos
sen훼+훽=sen훼cos훽+sen훽cos훼
sen훼−훽=sen훼cos훽−sen훽cos훼
cos훼+훽=cos훼cos훽−sen훼sen훽
cos훼−훽=cos훼cos훽+sen훼sen훽
•Ángulos Duplos
sen2훼=2sen훼cos훼
cos2훼=cos2훼−sen2훼
=2cos2훼−1
=1−2sen2훼

12. Reglas de derivación para Funciones Trigonométricas
8) 푑 푑푥 sen푣=cos푣 푑 푑푥 푣
9) 푑 푑푥 cos푣=−sen푣 푑 푑푥 푣
10) 푑 푑푥 tan푣=sec2푣 푑 푑푥 푣
11) 푑 푑푥 cot푣=−csc2푣 푑 푑푥 푣
12) 푑 푑푥 sec푣=sec푣tan푣 푑 푑푥 푣
13) 푑 푑푥 csc푣=−csc푣cot푣 푑 푑푥 푣

13. Propiedades de los Exponentes y Logaritmos
Para a>0, y b>0, son ciertas las siguientes afirmaciones
푎0=1
푎1=푎
푎log푎(푥)=푥
푎푚푎푛=푎푚+푛
푎푚 푎푛=푎푚+푛
푎푚푛=푎푚푛
푎푚푛=푎 푚 푛
푏푛=푎푛log푎푏
log푎1=0
log푎푎=1
log푎푎푛=푛
log푎푢푣=log푎푢+log푎푣
log푎 푢 푣 =log푎푢+log푎푣
log푎푢푛=log푎푢
log푎푢푛 = 1 푛 log푎푢
log푏푢= log푎푢 log푎푏

14. Reglas de derivación para funciones exponenciales y logarítmicas
14) 푑 푑푥 ln푣= 1 푣 푑 푑푥 푣
15) 푑 푑푥 log푎푣= log푎푒 푣 푑 푑푥 푣
16) 푑 푑푥 푒푣=푒푣푑 푑푥 푣
17) 푑 푑푥 푎푣=푎푣ln푎 푑 푑푥 푣
18) 푑 푑푥 푢푣=푢푣ln푢 푑 푑푥 푣+푣푢푣−1푑 푑푥 푣