Tema7(1)

1
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 7: Transformada Z17/11/99
TransformadaTransformada ZZ
ÌÌ DefiniciónDefinición yy PropiedadesPropiedades
ÌÌ Transformada InversaTransformada Inversa
ÌÌ FunciónFunción dede Transferencia DiscretaTransferencia Discreta
ÌÌ AnálisisAnálisis dede SistemasSistemas

2
DefiniciónDefinición yy PropiedadesPropiedades
Ì Se define la Transformada Z, X(z) de una secuencia x[n] :
Ì La cantidad compleja z generaliza el concepto de frecuencia al
dominio complejo, z=|r|exp(j2πfts).
Ì Para una secuencia x[n]={6 4 3 2 -3}, la Transformada Z es
X(z)=6z2+4z1+3z0+2z-1-3z-2. El valor z-1 es el operador de
retraso unidad.
Ì Ya que X(z) es una series de potencias, podría no converger
para todo z. Los valores de z para los cuales X(z) converge
definen la región de convergencia (ROC).
Ì Toda X(z) lleva asociada una ROC, ya que podría ocurrir que
dos secuencias distintas produzcan una X(z) idéntica con
diferentes ROCs.
( ) [ ]X z x k z k
k
= −
=−∞
∞
∑
n=0

3
Ì Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para
todo z, excepto para z=0 y/o z=∞ (dependiendo de si X(z)
tiene términos z-k y/o zk).
Ì Transformadas Z de algunas secuencias
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
( )
[ ] [ ]
( )
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( )
( )
α
α
αα
α
δ
>
−
===
=
>
−
=
−
==
=
≠≠
−
−
==
−−=
∞≤≤∞−=
=
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
∞
=
−
−
−−
=
−
zROC
z
z
zzzX
nunx
zROC
z
z
z
zzX
nunx
zROCz
z
z
zzX
Nnununx
zROCzX
nnx
k
k
k
kk
k
k
k
NN
k
k
:
lExponencia
1:
11
1
idadEscalon Un
0:1
1
1
rRectangulaPulso
:1
UnidadImpulso
00
1
0
1
1
0

4
Ì Transformadas Z de algunas secuencias (Continuación)
x En estos dos últimos ejemplos se observa que la Transformada Z es
idéntica para las dos secuencias. Sin embargo la ROC es distinta. Para
la secuencia causal, la ROC es |z|>|α|, mientras que para la anticausal
|z|<|α|. La ROC dependerá de si la señal es causal (definida en el eje
positivo), anticausal (eje negativo) o no causal (dos ejes).
[ ] [ ]
( ) ( )
( )
( )[ ] ( )
Exponencial x n u n n
X z z z z
z
z
z
z
ROC z
n
k k
k
m m
m
m
m
= − − − = − −
= − = − = −
= −
−
=
−
<
−
=−∞
−
−
=
∞
=
∞
∑ ∑ ∑
α
α α α
α
α α
α
1 1 2
1
1
1 1
, , ,...
:

5
Ì Propiedades de la Transformada Z
[ ] [ ] ( ) ( )
[ ] ( ) [ ]
[ ] ( ) [ ] [ ]
[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]
[ ] ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
( ) [ ] ( ){ }
Superposicion
Desplazamiento
Escalado
n
n
cos
2
ax n by n aX z bY z
x n z X z x
x n N z X z z x x N
x n N z X z z x z x zx N
x n X z
nx n z
dX z
dz
n x n z
d
dz
z
dX z
dz
n T x n X z j T
N N
N N N
n
+ ↔ +
− ↔ + −
− ↔ + − + + −
+ ↔ − − − − −
↔
× ↔ −
× ↔ − −






× ↔ +
−
− − −
−
1 1
1
0 1 1
1
1
1
2
0
1
2 0
( )
/
cos exp

α α
ω ω ( ){ }[ ]
( ) [ ] ( ){ } ( ){ }[ ]
X z j T
n T x n j X z j T X z j T
exp
sin exp exp
−
× ↔ − −
ω
ω ω ω
0
0
1
2 0 0sin

6
Secuencia Transformada Z ROC
[ ]δ n 1 todo z
[ ]δ n m m− , 0 z-m
|z|0
[ ]δ n m m+ , 0 zm
|z|∞
[ ]u n
( )
z
z −1
|z|1
[ ]− − −u n 1
( )
z
z −1
|z|1
[ ] [ ] ( ) ( )
[ ] [ ] ( ) ( )
[ ] ( )
[ ] ( ) ( )
Convolucion
Diferencia
Teorema Valor Inicial
Teorema del Valor Final lim
n
x n y n X z Y z
x n x n z X z
x X z
x n z X z
z
z
∗ ↔
− − ↔ −
=
= −
−
→∞
→∞ →
1 1
0
1
1
1
lim
lim

7
Secuencia Transformada Z ROC
[ ]a u nn
( )
z
z a− z|a|
[ ]− − −a u nn
1
( )
z
z a− z|a|
[ ]na u nn
( )
az
z a− 2 z|a|
[ ] [ ]cosn T u nω0
( )[ ]
( )
z z n T
z n T z
−
− +
cos
cos
ω
ω
0
2
02 1
|z|1
[ ] [ ]sinn T u nω0
( )
z n T
z n T z
sin
cos
ω
ω
0
2
02 1− + |z|1
[ ] [ ]r n T u nn
cos ω0
( )[ ]
( )
z z r n T
z r n T z r
−
− +
cos
cos
ω
ω
0
2
0
2
2
|z||r|
[ ] [ ]r n T u nn
sin ω0
( )
( )
zr n T
z r n T z r
cos
cos
ω
ω
0
2
0
2
2− +
|z||r|

8
TransformadaTransformada ZZ InversaInversa
Ì Realizaremos la Transformada Z Inversa utilizando fracciones
parciales. La Transformada Z Inversa de cada una de estas
fracciones parciales puede ser identificada fácilmente en las
tablas de Transformadas Z.
Ì Ejemplos
( )
( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]
X z
z z
X z
z z z z z z z
X z
z
z
z
z
x n n u n u n
n n
=
− −
⇒ =
− −
= −
−
+
−
⇒
= −
−
+
−
⇒ = − +
1 1 8 16 8
8
16 8
8 16 8
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2δ
( )
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]
X z
z
z z
X z
z z z
A
z
B
z
C
z
z z z
X z
z
z
z
z
z
z
x n u n nu n u nn
=
− −
⇒ =
− −
=
−
+
−
+
−
=
=
−
−
+
−
−
+
−
⇒ = −
−
−
−
+
−
⇒
= − − +
1 2
1
1 2 1 1 2
1
1
1
1
1
2 1 1 2
2
2 2 2
2 2

9
TransformadaTransformada ZZ InversaInversa
x
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]
X z
z z
z z z
X z
z
z
z z z
A
z
Bz C
z z
z
z
z z
X z
z
z
z z
z z
z
z
z z
z z
z
z z
x n u n n u n n u nn n n
=
−
− − +
⇒ =
−
− − +
=
−
+
+
− +
=
−
−
+
+
− +
⇒ =
−
−
+
+
− +
=
−
−
+
−
− +
+
− +
⇒
= − + +
2
2 2 2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
5
2
2
1
2
1
2 4
5
2 4
3
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
2
1
2 2 2
2
2 2
2
1
2 2 2 2
2 2 2cos sinπ π
( )
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]
X z
z
z z
X z
z
z
z z
z
z z
z z
X z
z
z
z
z
x n u n u n
n n
=
− −
⇒ =
− −
=
− +
=
−
+
+
⇒ =
−
+
+
⇒
= + −
2
2 1
6
1
6
2 1
6
1
6
1
2
1
3
3
5
1
2
2
5
1
3
3
5
1
2
2
5
1
3
3
5
1
2
2
5
1
3

10
FunciónFunción dede Transferencia DiscretaTransferencia Discreta
Ì Función de Transferencia Discreta
x La función de transferencia se define sólo para sistemas LTI con
condiciones iniciales nulas.
x Si la respuesta al impulso es h[n], la respuesta y[n] a una entrada
arbitraria x[n] es la convolución y[n]=x[n]*h[n]. Como la
convolución se transforma en un producto,
x Un sistema LTI también puede expresarse mediante una ecuación
diferencia :
x Aplicando la Transformada Z a ambos miembros, tenemos la función
de Transferencia discreta del sistema H(z),
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
Y z X z H z H z
Y z
X z
= → =
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
y n A y n A y n A y n N
B x n B x n B x n M
N
M
+ − + − + + −
= + − + + −
1 2
0 1
1 2
1

( )H z
B B z B z
A z A z
M
M
N
N
=
+ + +
+ + +
− −
− −
0 1
1
1
1
1

11
x Podemos expresar la función de Transferencia de forma factorizada,
x Se denominan polos del sistema a los valores p1,p2,...,pN. Determinan
la forma de la respuesta del sistema (modos naturales del sistema). Los
ceros del sistema (z1,z2,...,zM) determinan las frecuencias bloqueadas
por el sistema.
Ì El plano z y Estabilidad del Sistema
x La estabilidad de un sistema LTI discreto requiere que la respuesta al
impulso h[n] sea absolutamente sumable (integrable en continuo).
Esto quiere decir que h[n]=0 en n=∞. Para ello es necesario que los
polos de la función de transferencia H(z) estén todos dentro del círculo
unidad en el plano z (|pi|1). Esto evita que la respuesta tenga
exponenciales crecientes.
( )
( ) ( )
( ) ( )
H z
B B z B z
A z A z
K
z z z z
z p z p
M
M
N
N
M
N
=
+ + +
+ + +
=
− −
− −
− −
− −
0 1
1
1
1
1
11

12
x La estabilidad de una función de Transferencia puede determinarse
simplemente inspeccionando los coeficientes del denominador de la
función de Transferencia. Para ello, debe estar en forma de términos
de 2º Orden,
x Para cada uno de los términos de 2º Orden podemos calcular las raíces
(λ1i y λ2i) del denominador de la siguiente forma,
x Para las raíces del polinomio y los coeficientes se cumple,
x La raíces deben estar dentro del círculo unidad, por lo que |λ1i| 1 y
|λ2i| 1. Esto implica que el coeficiente |α2i|1.
( ) ( )
( ) int
1
0
2
2
1
1
2
2
1
1
0
2
1
,
1
1



 +
=





++
++
== ∏
−
=
−−
−−
N
L
zz
zz
a
zD
zN
zH
L
i ii
ii
αα
ββ
( ) ( ) ( )1
2
1
1
2
2
1
1 111 −−−−
−⋅−=++= zzzzzD iiiii λλαα
( )
iii
iii
212
211
λλα
λλα
⋅=
+−=

13
x Las raíces del polinomio son,
2
4
,
2
4 2
2
11
2
2
2
11
1
iii
i
iii
i
ααα
λ
ααα
λ
−−
−=
−+
−=
iiiiii
iii
iii
21
2
112
2
1
12
2
1
2
2
11
1444
241
2
4
αααααα
ααα
ααα
+⇒+−−
−−⇒
−+
α1i
α2i
-1
1
1-1 2-2

14
Ì Respuesta a sistemas con condiciones iniciales nulas
x Consideramos el sistema descrito por
y[n]=αy[n-1]+x[n] (1)
x El sistema es causal (depende de valores pasados o presentes). Quere-
mos conocer la respuesta del sistema a una entrada
x[n]=αnu[n] (2)
x Aplicamos la Transformada Z a ambos miembros de (1):
( )[ ] ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Y z z X z H z
Y z
X z z
z
z
1
1
1
1
1
− ⋅ = ⇒ = =
− ⋅
=
−
−
−
α
α α
( ) [ ]{ } [ ]{ } ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]
X z x n u n
z
z
Y z X z H z
z
z
Y z
z
z
z z z
Y z
z
z
z
z
y n u n n u n n u n
n
n n n
= = =
−
= =
−
⇒ =
−
=
−
+
−
⇒
=
−
+
−
⇒ = + = +
Z Z α
α
α α α
α
α
α
α
α
α α α
2
2 2 2
2
1
1

15
Ì Respuesta a sistemas con condiciones iniciales no nulas
x Considerar el sistema anterior en el que las condiciones iniciales son
y[-1]=2
x Aplicando el principio de superposición podemos calcular la respuesta
de un sistema con condiciones iniciales no nulas (ycin[n]), sumando la
respuesta del sistema con condiciones iniciales nulas más la respuesta
del sistema a entrada cero (x[n]=0) y condiciones iniciales
especificadas (yec[n]).
x En el apartado anterior hemos calculado ycin[n]
x La respuesta al estado cero es:
[ ] ( ) [ ]y n n u ncin
n
= +1 α
[ ] [ ]
( ) [ ] [ ]{ } ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
y n y n
Y z z Y z y Y z
y
z
y z
z
y n y u n u n
ec ec ec
ec
n n
= −
= + − ⇒ =
−
−
=
−
−
⇒
= − =
−
−
+
α
α
α
α
α
α
α α α
1
1
1
1
1
1 2
1
1
1

16
x La respuesta total del sistema es
x Comprobación
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( )y n y n y n n u n u n n u ncin ec
n n n
= + = + + = + ++
1 2 1 2 31
α α α α
y[n-1] x[n] y[n] (1) y[n] (3)
n=0 2 1 2α+1 2α+1
n=1 2α+1 α (2α+2)α (2α+2)α
n=2 (2α+2)α α2
(2α+3)α2
(2α+3)α2
n=3 (2α+3)α2
α3
(2α+4)α3
(2α+4)α3
n=4 (2α+4)α3
α4
(2α+5)α4
(2α+5)α4

17
Ì Función de Transferencia en el estado estacionario
x Si la función de Transferencia se evalúa para los valores de
z=exp(j2πfts), es decir, en el círculo unidad, se obtiene la función de
transferencia en el estado estacionario o la respuesta frecuencial del
sistema, H(f). Esta función H(f) es periódica con periodo ts=1/fs y es la
DTFT de h[n] (ver Tema 6, Transparencia nº 3).
x Para calcular la respuesta frecuencial de y[n]=αy[n-1]+x[n],
sustituimos z por exp(j2πfts), de forma que
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ){ }
( )
( )
( )
( )
( )
H z
z
H f
j ft ft j ft
H f
ft
f
ft
ft
s s s
s
s
s
=
−
⇒ =
− −
=
− +
=
− +








=
−







−
−
1
1
1
1 2
1
1 2 2
1
1 2 2
1 2
2
1
2
1 2
1
α α π α π α π
α π α
φ
α π
α π
exp cos sin
cos
tan
cos
sin

18
1
-1
-1
-0.5
0
0.5
10.50-0.5
abs(z)=1
z=exp(j2 πfts)
Ω=2πfts
z=1
Ω=0
f=0
z=j
Ω=0.5π
f=0.25fs
z=-1
Ω=π
f=0.5fs
z=-j
Ω=-0.5π
f=-0.25fs
Círculo unidad en el plano z

19
-0.5 0 0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
magnitude vs digital frequency F=f/fs α=0.8
-0.5 0 0.5
-100
-50
0
50
100 phase in degrees vs digital frequency F=f/fs α=0.8

Tema7(1)

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (17)

Similar a Tema7(1)

Similar a Tema7(1) (20)

Último

Último (20)

Tema7(1)