Este documento explica la transformada Z, que convierte señales discretas en el dominio del tiempo en representaciones en el dominio de la frecuencia. Describe el mapeo entre los planos S y Z, y define la transformada Z de funciones como el impulso, escalón, rampa y parábola unitarias. También cubre propiedades como linealidad, desplazamiento, diferenciación e integración, y cómo la transformada Z facilita el análisis de sistemas de control digital al convertir ecuaciones diferenciales en algebraicas.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
EXTENSIÓN MATURÍN
TRANSFORMADA Z
PROFESOR: REALIZADO POR:
Ing. Cristóbal Espinoza Tova. B. Johsmar. G. V-20.677.479
Maturín, 11 de Marzo de 2019

2. INDICE
Introducción. 3
Transformada Z. 4
Mapeo entre plano S y plano Z. 4
Transformada Z.
(Impulso, Escalón, Rampa y Parábola Unitaria). 6
Propiedades
(Linealidad, Desplazamiento, Similitud, Diferenciación, Integración y Convolución). 9
Transformada Z inversa. 10
Ejercicios Resueltos. 11
Conclusión. 16

3. INTRODUCCION
Una herramienta matemática muy utilizada en el análisis y la síntesis de control en tiempo
discreto es la transformada z. El papel de la transformada z en sistemas en tiempo discreto
es similar al de la transformada de Laplace en sistemas de tiempo continuo.
En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferencias lineal caracteriza
la dinámica del sistema. Para determinar la respuesta del sistema a una entrada dada, se
debe resolver dicha ecuación en diferencias. Con el método de la transformada z, las
soluciones a las ecuaciones en diferencias se convierten en un problema de naturaleza
algebraica.
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4. TRANSFORMADA Z
La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del
tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se
podría llamar “Transformada S” a la transformada de Laplace. Un nombre más adecuado
para la TZ podría haber sido “Transformada de Laurent”, ya que está basada en la serie de
Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de
tiempo continuo.
MAPEO ENTRE LOS PLANOS S Y Z
Recordando la forma de la transformada de Laplace de una señal muestreada, se tiene
que esta es una función periódica, con una frecuencia igual a:
Se demuestra de la siguiente manera:
Sea,
Pero como entonces (para todo k, n enteros) queda,
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5. La interpretación de este resultado es que existen bandas horizontales en el plano S,
Tales que lo que pasa con F* (s) en la banda fundamental se repite en el resto de las
bandas complementarias; entonces se puede hacer el siguiente recorrido:
Recorrido sobre la banda fundamental y dentro del lado de estabilidad en S:
Cualquier consideración que se haga bajo este recorrido, se repetirá dada la
periodicidad de la función F* (s).
El mapeo se da sobre la variable compleja, haciendo que
En general:
Es decir que Z tiene su modulo igual a y su fase como .
Así por ejemplo:
Gráficamente,
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6. Del mapeo se tienen las siguientes implicaciones:
 El semiplano izquierdo de S corresponde al área interior del circulo unitario
en Z (Región de estabilidad)
 Puntos hacia en S corresponden a un circulo de radio
infinitesimal en Z.
 Un lugar geométrico de parte real constante en S se corresponde con un
circulo de radio en Z:
 Un lugar geométrico de parte imaginaria constante en S se traslada como una
lineal recta con un ángulo en Z:
IMPULSO UNITARIO
La función impulso unitario d (n) tiene la transformada de z.
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7. ESCALON UNITARIO
Encuentre la transformada z de la función escalón unitario
X (t) = {1(t), 0 ≤ t / 0, t < 0
Como se puede observar en el muestreo de la función escalón unitario se supone que
esta función es continua por la derecha; esto es, 1(0)=1. Entonces, refiriéndose a las
primeras ecuaciones se tiene
Utilizando el hecho de que para una serie geométrica, |x|< 1 entonces
Con la condición 1/Z<1.
RAMPA UNITARIA
Considere la rampa unitaria:
Se obtiene finalmente la expresión de la transformada de una rampa:
Para una secuencia geométrica se tiene:
Derivando con respecto a Z:
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8. Así pues:
PARABOLA UNITARIA
La ecuación de una parábola z sus muestras se dan a continuación.
Su transformada Z se da formalmente como.
Multiplicando por z-1
Restar los resultados de las 2 ecuaciones anteriores en:
La primera expresión entre paréntesis puede sumarse utilizando el resultado de la rampa y
la segunda expresión entre paréntesis es un paso demorado que también puede sumase
fácilmente. Sumar y reorganizar da la siguiente expresión para la transformada Z de la
parábola.
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9. PROPIEDADES
LINEALIDAD
Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X [Z] y X2[Z], entonces:
Z (a1X1 [n]+a2X2 [n])=a1X1 [Z]+a2X2 [Z] siendo A1 y A2 constantes arbitrarias.
DESPLAZAMIENTO
Sea X[n] una secuencia casual con transformada X [Z]. Entonces, dado cualquier entero
n0>0, se tiene:
Simultáneamente, se puede demostrar que
DIFERENCIACION CON RESPECTO A Z
Si se deriva la expresión
Que es la transformada Z de una secuencia causal X[n], respecto a Z se tiene:
De la expresión anterior se deduce que:
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10. CONVOLUCION
La consolación de dos secuencias causales X[n] y Y[n] no es más que el producto normal
de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir, X[n]*Y[n] = X [Z] Y [Z]
En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y h[n] es la
respuesta al impulso, entonces se tendrá que:
Z [X[n]*h[n]]=y [Z]=X [Z] H [Z]
Donde H [Z] es la transformada de h[n].
Para obtener la salida y[n] bastara hallar la transformada inversa de y [Z].
TRANSFORMADA Z INVERSA
La transformada z en sistemas de control en tiempo discreto juega el mismo papel que la
transformada de Laplace en sistemas de tiempo continuo. Para la que la transformada z sea
útil, debemos estar familiarizados con los métodos para encontrar la transformada z inversa.
Se debe observar que a partir de la transformada z inversa solo se obtiene la secuencia de
tiempo en los instantes de muestreo. De esta manera, la transformada z inversa de X (z) de
cómo resultado una única x (k), pero no da una única x (t). esto significa que la
transformada z inversa da como resultado una secuencia de tiempo que especifica los
valores de x(t) solamente en los valores discretos de tiempo y no dice nada acerca de los
valores x(t) en todos los otros tiempos. Esto es, muchas funciones del tiempo x (t)
diferentes pueden tener la misma x (kT).
Cuando X (z), la transformada z de x (kT) o x (k), está dada la operación que determina la x
(kT o x (k) correspondiente se denomina transformada z inversa.
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16. CONCLUSION
Con el método de la transformada z, las ecuaciones diferenciales lineales e
invariantes en el tiempo se pueden transformar en ecuaciones algebraicas. Esto
facilita el análisis de la respuesta transitoria de los sistemas de control digital.
También el método de la transformada z permite el uso de las técnicas
convencionales de análisis y diseño posibles para sistemas de control analógicos (en
tiempo continuo), tales como la técnica del lugar geométrico de las raíces. El análisis
y diseño mediante la respuesta en frecuencia se puede llevar a cabo si se convierte el
plano z en el plano w.
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