Este documento presenta modelos matemáticos que describen cuatro sistemas físicos: 1) la ecuación barométrica que relaciona la presión y altura de gases ideales, 2) el periodo de secado que describe la velocidad de evaporación del agua, 3) la transferencia de masa para lixiviación que modela la disolución de un sólido, y 4) la cinética de primer orden para la esterilización por calor que representa la extinción de microorganismos en función del tiempo y la temperatura.

1. 1.3 MODELOS MATEMÁTICOS QUE DESCRIBEN SISTEMAS FÍSICOS
ƒ Ecuación Barométrica Ã
Se aplica en el estudio de gases para establecer la relación de presiones. La
presión y la densidad de un gas ideal se relacionan por la siguiente ecuación:
PM
U , reemplazando U, en las dos ecuaciones anteriores y derivando y
RT
dP Mg
separando variables, se encuentra: dh , con T constante e integrando
P RT
entre dos estados obtenemos:
P gM
Ln 2 (h2 h1 )
P1 RT
Análisis dimensional R = constante de los gases ideales,
T = temperatura, °K atm˜m3˜kmol-1˜°K-1
H = altura, m Variable independiente: altura h
g = constante gravitacional, m˜s-2 Variable dependiente : presión P
M = peso molecular, kg˜kmol-1
P = presión, kg˜s-2˜m-1 ó atm
ƒ Periodo de velocidad de secado
Durante este periodo la velocidad con que desaparece agua de la superficie
del producto es igual a la velocidad con que llega desde el interior del mismo.
La transmisión de calor tiene lugar solamente por convección, la temperatura
de la superficie del sólido permanece constante e igual a la temperatura
húmeda del aire de secado.
La velocidad de secado es la de evaporación del agua, que es la transferencia
de materia y es proporcional al flujo de calor:
dw Q
Gw
dt AwOi
Análisis dimensional
T = tiempo de secado, s
Q = calor de transferencia, J˜s-1
dw/dt =velocidad de evaporación, kg˜m-2 s-1
Aw =superficie de evaporación, m2
w =agua evaporada por unidad de área, kg˜m-2
Gw =velocidad de transferencia de materia, kg˜s-1˜m-2
Oi = calor latente de vaporización a la temperatura de interface, J˜kg-1
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2. Variable independiente : tiempo, t
Variable independiente :agua evaporada, w
Parámetros : propiedades fisicoquímicas y geométricas del material a
secar, coeficiente de transferencia
ƒ Transferencia de masa para lixiviación Á
dM K ' A(Cs C )
dt b
Para un proceso discontinuo, en el cual el volumen total de la solución es
VdC K ' A(Cs C )
constante dM = VdC, entonces: , ordenando, se
dt b
dC K'A
encuentra: dt , integrando entre Co, C1, para t=0 y t, se obtiene:
Cs C Vb
Cs C K ' A
Ln t . Cuando se agrega disolvente puro Co = 0 y haciendo
Cs Co Vb
D
ª tº
D = K’A/b, resulta: C Cs «1 e V »
¬ ¼
Análisis dimensional
t = tiempo, s
K’ = coeficiente de difusión, m2˜s-1
A = área de interface sólido-líquido, m2
C = concentración del soluto en la solución, kg˜m-3
Cs = Concentración de la solución saturada en contacto con el sólido, kg˜m-3
b = espesor de la película de líquido adyacente al sólido, m
Variable independiente : tiempo, t
Variable dependiente : concentración del soluto C
Parámetros : coeficiente de transferencia de masa y geometría del
sistema.
ƒ Esterilización por calor …
Representa un cinética de primer orden para la extinción de microorganismos
de la siguiente manera:
dN
N d N
dt
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3. Nd se puede expresar de manera análoga a la ley de Arrhenius, en función de
E
la temperatura: N d ae RT
.
E
dN
De las ecuaciones anteriores se tiene: N d N aNe RT
dt
t t E
No
integrando, ’ Ln
N ³ N d dt
0
a³ e
0
RT
dt , en donde, ’ = reducción fraccional
de microorganismos.
Análisis dimensional
t = tiempo, s
N = número de microorganismos
Nd = constante de extinción térmica, s-1
T = temperatura, °K
E = energía de activación, cal/gmol
A = constante de Arrhenius
R = constante universal de los gases, cal/gmol°K
Variable independiente : tiempo t
Variable dependiente : número de microorganismos, N
Parámetros : constantes térmicas de resistencia de los
microorganismos, constantes fisicoquímicas del
medio, propiedades geométricas del sistema.
M
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