Este documento resume varias leyes y propiedades fundamentales de los conjuntos, incluyendo la idempotencia, la ley conmutativa, la involución, las leyes de Morgan, e identidades como A ∪ U = U y A ∩ ∅ = ∅. Se proveen definiciones formales de cada concepto junto con ejemplos ilustrativos.

2. La Idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinadas veces y aún así, seguir
obteniendo el mismo resultado.
En las leyes de conjuntos establece:
 A ∪ A = A
 A ∩ A = A
Ejemplo: Teniendo A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
A ∪ A = { 1, 2, 3, 4, 5 } A ∩ A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
(Unión del conjunto A con él mismo) (Intersección de A con él mismo)
Entonces: Entonces:
A ∪ A = A A ∩ A = A

3. Teniendo dos pares de conjuntos A y B, demostraremos la ley conmutativa que establece lo
siguiente:
 A ∪B = B ∪ A
 A ∩ B = B ∩ A
Ejemplos:
* A = { 1, 2, 3, 4, 9 } *A = { 2, 4, 6, 8, 9 }
* B = { 1, 3, 5, 6, 9 } *B = { 1, 2, 3, 5, 9 }
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 } A ∩ B = { 2, 9 }
B ∪ A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 } B ∩ A = {2, 9 }
Entonces: Entonces:
A ∪B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

4. La involución establece que si a una negación se le da una negación, esto da como resultado un
positivo.
En las leyes de conjuntos, esta propiedad establece:
 (A’)’ = A
Ejemplo:
Teniendo un conjunto universal: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } y un conjunto A = { 1, 3, 5, 9 }.
En cuyo conjunto A se aplicará la ley de involución.
A’ = { 2, 4, 6, 8, 10 } (A’)’ = { 1, 3, 5, 9 }
Entonces:
 (A’)’ = A

5. Las Leyes de Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia
válidas.
Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de
sí, vía negación.
 "no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)“ Ó A B = A B
y también,
 "no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)“ A B = A B
Ejemplo: Conjunto Universal: U = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j }
Y conjuntos A y B: A = { a, c, e, g } , B = { b, d, f, h } ,
Aplicando las leyes:
*A B = A B *A B = A B
A B = { a, b, c, d, e, f, g, h } A B = { i, j }
A B = ∅ A B = U
A = { b, d, f, h, i, j } A B = { i, j }
B = { a, c, e, g, i, j } A B = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j } = U

6. Una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valores
de las distintas variables empleadas. Las identidades suelen utilizarse para transformar una
expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación.
En las leyes de Conjuntos establece:
 A ∪ U = U
 A ∩ U = A
 A ∪ ∅ = A
 A ∩ ∅ = ∅
Ejemplo: Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario U = { a, b, c, d, e, f, g, h } y un
conjunto A = { a, c, e, f, h }
A ∪ U = { a, b, c, d, e, f, g, h } A ∪ U = U
A ∩ U = { a, c, e, f, h } A ∩ U = A
A ∪ ∅ = { a, c, e, f, h } A ∪ ∅ = A
A ∩ ∅ = { } A ∩ ∅ = ∅