El documento analiza las inconsistencias lógicas en las matemáticas desde sus inicios, como las críticas al cálculo infinitesimal. También examina la aparición de paradojas lógicas a inicios del siglo XX que pusieron en duda la fundamentación de las matemáticas, así como los esfuerzos posteriores por demostrar la consistencia de los axiomas matemáticos.

1. PASO 4
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SONIA ESPERANZA TRIANA
VALERIA SANDOVAL LOZANO

2. INTRODUCCIÓN
 Este archivo es Paso 4, contiene información sobre la rigurosidad de las
matemáticas y los efectos que esta tuvo desde la perspectiva de varios
autores y acontecimiento destacados sobre la fundamentación de las
matemáticas, este trabajo fue hecho por las alumnas Sonia Esperanza
Triana y Valeria Sandoval Lozano dando lo mejor de sí.

3. OBJETIVOS
 Analizar los problemas de la fundamentación de las matemáticas
 Analizar el reduccionismo
 Comprender las problemáticas en momentos claves de la historia.

4. Inconsistencias lógicas de los
infitesimos
 "Desde sus mismos inicios, las inconsistencias lógicas de los infitesimos fueron
objeto de criticas. Una de las mas demoledoras se debe al obispo irlandés G.
Berkeley (1685-1753), en su ensayo The Analyst (1734), en el que se acusa a los
seguidores de Newton y Leibniz de utilizar métodos que no comprenden. basados
en inconsistencias lógicas y conceptos ambiguos, aunque reconoce que los
resultados obtenidos pueden ser correctos, como consecuencia de una cierta
"compensación de errores". Curiosamente esta explicación se iba a repetir
posteriormente por quienes intentaron encontrar una base solida para la
fundamentación del cálculo, incluyendo a personajes de la talla de Maclaurin,
Lagrange o L. Carnot. " (Gordon 2010)

5. Aparición de las paradojas lógicas
 Javier De Lorenzo :“La célebre crisis de fundamentos en matemáticas, durante el
primer tercio del siglo XX.
 La historia popular de este último episodio habla del esfuerzo y los sufrimientos
de unos pocos por introducir rigor lógico en matemáticas, y por investigar lo
infinito bajo la forma de la teoría de conjuntos; de la dramática aparición hacia
1900 de las paradojas lógicas o conjuntistas, que pusieron en tela de juicio el
objetivo apenas logrado”(José M. Ferreirós, 2000)

6. Confiabilidad de la inferencia
matemática:
 "Durante algún tiempo se pensó que la lógica y la teoría de los conjuntos iban a
proporcionar una salida base sobre lo que construir todo el edificio de las
matemáticas. Pero los numerosos antinomios y paradojas que surgieron motivaron
que también aquí se optara por restringir la noción de conjunto y se axiomatizara la
teoría. Las axiomáticas habituales, como la de Zermelo Franenkel, resultaban
adecuadas para el desarrollo de las matemáticas usadas y citaban las paradojas
conocidas. Pero tenían un defecto: su consistencia (es decir ausencia de
contradicción) no había sido demostrada.
 Esta situación era claramente insatisfactoria. Y por ello, uno de los mejores
matemáticos de la época, D. Hilbert (1862- 1943), ya que había abordado el
problema de la consistencia de la geometría, propuso un programa para
dar demostración de la consistencia de la matemática por métodos puramente
finitistas." (Gordon 2010).

7. Surgimiento de paradojas y
antinomias:
 "Hacia finales del siglo XIX, el lógico Gottled Frege, y el matemático Georg Cantor
trataron de dar una definición reduciendo la noción de número a las "mas primitiva" de
conjunto o agregado, siguiendo el modo de funcionamiento de nuestro cerebro que
entiende los números contando los elementos de los conjuntos. No obstante, Cantor
se dio cuenta enseguida de que el uso ingenuo de la noción de conjunto llevaba a
ciertas antinomias que era preciso dilucidar.
 Sin embargo, fue Bertrand Rusell quien popularizó una paradoja especialmente clara y
sencilla que mostraba las carencias de esa fundamentación conjuntista. Definió un
conjunto ordinario como aquel que no se contiene a si mismo como elemento; el caso
contrario recibe el nombre de extraordinario... Esta paradoja y otras de índole parecida
dieron lugar a la llamada crisis de los fundamentos y propiciaron el desarrollo de la
lógica matemática." (Cordoba 2020)

8. Consistencia de los Axiomas
 “En aquella época, esta disciplina atravesaba una crisis de fundamentos, pues se
había puesto en duda la consistencia de los axiomas, es decir, la posibilidad de
hallar contradicciones en un enunciado formal. Las paradojas existentes en
diversos enunciados lógicos y semánticos habían puesto en tela de juicio que
los sistemas matemáticos” (Zamorano, E. (2021))

9. REFERENCIAS
 Cordoba, A. (2020). Bertrand Rusell y los fundamentos de la matemática. El
Pais. Recuperado de: https://elpais.com/ciencia/cafe_y_teoremas/2020-02-
28/bertrand-russell-y-los-fundamentos-de-las-matematicas.html
 Gordon, F. (2010). Rigor y demostración en matemáticas. Recuperado de:
file:///C:/Users/user/Downloads/00902.pdf
 Ruiz, A. (1987). Boole y las matemáticas del siglo XX. Recuperado de:
http://www.centroedumatematica.com/aruiz/Articulos/Boole%20y%20las%20mate
maticas%20del%20siglo%20XIX.pdf

10.  ¿Hubo una crisis en la matemática del siglo XX? por (José M. Ferreirós, 2000)
Recuperado de: https://www.revistadelibros.com/javier-de-lorenzo-y-la-crisis-de-
fundamentos-en-matematicas/
 Zamorano, E. (2021). Kurt Godel, el matemático de las paradojas que “hackeo” la
constitución americana. Alma, Corazón, Vida. Recuperado de:
https://www.elconfidencial.com/alma-corazon-vida/2021-07-24/kurt-godel-
matematicas-constitucion-americana_3193143/