Tema de Álgebra I

1. INTRODUCCION A LA LOGICA
SIMBOLICA
UNIDAD I
Proposición.- Es todo fraccionamiento o pensamiento lógico del cual se tiene sentido
afirmar o negar el mismo por lo tanto toda proposición tendrá un determinado valor de
verdad.
Las proposiciones se simbolizan con una letra mayúscula de P a Z con su respectivo
valor de verdad.
V (P) 2+4=8
P
V (P) = F
La gravedad vale 9.81m/s2.
q
V (q) = V
Clasificación de una preposición.- de acuerdo a su naturaleza una proposición se
puede clasificar en:
a) Declarativas.- Son racionamientos que declara o narra un suceso.
b) Afirmativas.- Son racionamientos que afirman un resultado o un suceso.
c) De negación.- Son razonamientos que niegan un resultado o un suceso.
NOTA.- no son considerados proposiciones aquellas oraciones o pensamientos
que sean de interrogación, de admiración de orden o deseo.
Ejemplo.
-¿Cuál es tu nombre?
-¡¡¡¡viva santa Cruz!!!!

2. Formulas proposicionales.- Una formula proposicional es la representación simbólica
y matemática de un racionamiento lógico o de varios racionamientos los cuales pueden
unirse a través de conectivos lógicos ocasionando que la sumatoria de estos
racionamientos pueda ser una veracidad = tautología, pueda ser una falsedad = anti-
tautología y también pueda ser carente de sentido = contingencia.
a) Tautología.- Se denomina tautología cuando una formula proposicional tiene como
conclusión final una veracidad (su resultado es totalmente verdadero).
b) Anti tautología.- Se denomina anti tautología o contradicción cuando una formula
proposicional tiene como conclusión final una falsedad (su resultado es
totalmente falso).
c) Contingencia.- Se denomina contingencia cuando una formula proposicional tiene
como conclusión final ni una veracidad o ni una falsedad o sea carece de sentido (su
resultado so es ni verdadero ni falso por lo tanto se lo conoce también
como un racionamiento no valido).
Métodos para determinar la conclusión de una formula proposicional.- Hablar de
fórmulas proposicionales necesariamente estamos hablando de una serie de
racionamientos lógicos los cuales individualmente cada uno de ellos tiene un
determinado valor de verdad. Por lo tanto la lógica simbólica ofrece una serie de reglas
(conectivos lógicos) que van a permitir encontrar una conclusión final la cual satisfaga a
todo el conjunto de racionamientos dichas reglas son las siguientes:
a) Conjunción (^).- Es aquel conectivo lógico que une uno o más racionamientos
lógicos a través de las letras (y; e; pero) cuya regla general dice que si el
antecedente y el consecuente son verdaderos la conclusión final es verdadera
caso contrario es falsa.
Ejemplo.
El valor de la gravedad 9,81m/s2 y el valor de 𝜋 es 3,1416.
P (^) q
p ^ q = V ^ V
p ^ q = V

3. b) Disyunción (v).- Es aquel conectivo lógico que une uno o más racionamientos
lógicos a través de las letras (o; u; ambas) cuya regla general dice que si el
antecedente y el consecuente son falsedades la conclusión final es una falsedad
caso contrario es considerada veracidad.
Ejemplo.
2 + 3 = 7 o 5 + 8 = 15.
p (v) q.
p v q = F v F
p v p = F
c) Implicación Lógica ().- Es aquel conectivo lógico a través de las palabras
(entonces; porque; cuando; es suficiente; si) cuya regla general dice que si el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso la conclusión final es una
falsedad caso contrario se considera verdadera.
p q p (^) q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q p ^ q
V V V
V F V
F V V
F F F

4. Ejemplo.
Cristóbal Colon descubrió América entonces el continente se llama Colon.

p () q
p  q = V  F
p  q = V
d) Bi condicional ().- Es aquel conectivo lógico que une uno o más
racionamientos lógicos a través de las palabras (si y solo sí; sí o sí; siempre y
cuando) cuya regla general dice que si el antecedente y el antecedente y el
consecuente tiene el mismo valor de verdad la conclusión final es verdadera caso
contrario es falsa.
Ejemplo.
La gravedad vale 9,81 si y solo sus unidades son en m/s2.
P () q
p  q = V  V
p q p  q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p  q
V V V
V F F
F V F

5. p  q = V
Tabla de verdad.- Es la representación de todas las combinaciones posibles que pueden
tener los racionamientos lógicos presentes en una formula proposicional para poder
determinar si ese conjunto a través de sus valores de verdad estará sujeta a la siguiente
formula.
TV = 2n
Donde n es la cantidad de racionamientos en la formula proposicional.
Ejemplo.
a. Dada la siguiente formula proposicional clasificar a través de la tabla de verdad
que tipo es.
pq v p  p  q
Paso 1. Poner los valores en la tabla de verdad.
TV = 2n 22 = 4
p  q v p  p  q
V V F V V
V F F V F
F V V F V
F F V F F
Paso 2. Comenzar por los paréntesis y los corchetes.
F F V

6. Paso 3. Mi formulario.
V  V = V
F v F = F
V  F = F
V  V = V
F  F = V
p  q v p  p  q
V V V V F V V V V
V F F F F F V F F
F V V V V V F V V
F V F V V V F V F
El razonamiento es una contingencia o sea carece de sentido.
2.- Dada la siguiente formula proposicional clasificar a través de la tabla de verdad.
[p v (q ^ r)]  (p v q) ^ (p v q)
TV = 23 23 = 8
p q r
V
V
V
V
V
F
V
F
V

7. V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
[p v (q ^ r)]  (p v q) ^ (p v q)
V V V V V V V V V V V V V
V V V F F V V V V V V V V
V V F F V V V V F V V V F
V V F F F V V V F V V V F
F V V V V V F V V V F V V
F F V F F F F V V V F V V
F F F F V V F F F F F F F
F F F F F V F F F F F F F
Contingencia carece de sentido.