Este documento describe diferentes tipos de poliedros, incluyendo prismas, pirámides, cilindros y conos. Explica que un prisma tiene dos caras poligonales paralelas y congruentes unidas por paralelogramos laterales. También describe cómo calcular el área lateral, total y volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y troncos de pirámide y cono.
1.Poliedros
1.1 concepto
Los poliedros son elementos geométricos que disponen de caras planas y que albergan un volumen que no es infinito. Las raíces etimológicas del término, que se hallan en la lengua griega, refieren a “muchas caras”.
Puede entenderse a un poliedro como un cuerpo sólido y tridimensional. Cuando todas sus caras y ángulos son iguales, se lo califica como un poliedro regular. De lo contrario, será un poliedro irregular.
1.2 En un poliedro podemos distinguir los siguientes elementos:
Caras: son los polígonos que forman el poliedro.
Aristas: son los segmentos donde hacen intersección las caras.
Vértices: son los puntos donde hacen intersección las aristas.
Además podemos citar los ángulos diedros delimitados por dos caras que se cortan.
Ángulo diedro es la región del espacio delimitada por los semiplanos que contienen dos caras que se cortan.
Hay tantos como número de aristas.
También encontramos ángulos poliedros determinados por las caras que inciden en un mismo vértice.
Ángulo poliedro es la región del espacio delimitada por los semiplanos que contienen las caras que inciden en un vértice.
Hay tantos como número de vértices.
1.3 Clases de poliedros:
Existen infinitos poliedros y pueden ser clasificados en muchos grupos.
Según sus características, se distinguen:
Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.
Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Por ejemplo tetraedro (4 caras), pentaedro (5 caras), hexaedro (6 caras), heptaedro (7 caras), ... icosaedro (20 caras), etcétera.
2. Poliedros regulares
Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes, que se juntan en la misma forma alrededor de cada vértice del polígono.
Un poliedro regular es identificado por su símbolo de Schläfli de la forma {n, m}, donde n es el número de lados en una cara, y m el número de caras que se encuentran en un vértice.
Los nueve poliedros regulares
Existen nueve tipos de poliedros regulares, y se dividen en dos familias: Los poliedros convexos y los poliedros cóncavos.
Poliedros regulares convexos
Existen cinco poliedros regulares convexos.
Tetraedro {3, 3}
Hexaedro {4, 3}
Octaedro {3, 4}
Dodecaedro {5, 3}
Icosaedro {3, 5}
Los cinco poliedros regulares convexos fueron observados por Platón, quien maravillado por sus propiedades, asoció cada uno de ellos a un "elemento" primigenio de su filosofía (aire, agua, tierra y fuego). Curiosamente, asoció el dodecaedro al "quinto elemento" o ente espiritual de su teoría de la materia.
En esta estructura de pensamiento muchos ven la génesis de la teoría molecular, pues muchos elementos cristalinos tienen una estructura atómica que obedece a la forma de tales poliedros.
Los poliedros regulares convexos son los únicos poliedros puramente regulares, ya que todos sus ángulos son igua
Se trata de unas diapositivas donde hay ejemplos y graficos para entender los cuerpos de revolucion, el cilindro, cono y esfera con sus respectivas formulas
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
2. Prismas
Un poliedro con dos caras
poligonales, paralelas y
congruentes entre sí, cuyos
lados se unen mediante
paralelogramos. Las caras
paralelas son las bases y los
paralelogramos son las caras
laterales.
3. Áreas y volumen de un prisma recto
Un prisma es recto
cuando las aristas
laterales son
perpendiculares a las
bases. Su desarrollo
plano está compuesto
por un rectángulo y dos
polígonos congruentes
que son las bases.
Área lateral Área total Volumen
AL= Pb x h AT= AL+2.Ab V=Ab x h
4. Pirámides
Un poliedro con una sola cara
poligonal y varias caras
laterales que son triángulos y
que tienen un vértice en
común , que es el vértice de la
pirámide. La altura de la
pirámide es la distancia de ese
vértice a la base.
5. Áreas y volumen de una pirámide recta
Una pirámide es recta
cuando sus caras
laterales están formadas
por triángulos isósceles.
Su desarrollo plano esta
compuesto por el
polígono de la base y
tantos triángulos
isósceles como lados
tenga la base.
Área lateral Área total Volumen
AL= (Pb x Ap)/2 AT= AL + Ab V=(Ab x h)/3
6. Áreas y volumen de un Troco de pirámide
Si se corta una pirámide
recta por un plano paralelo
a la base, se obtiene un
tronco de pirámide. Su
desarrollo plano está
compuesto por dos
polígonos semejantes y
tantos trapecios
congruentes como lados
tenga la base.
Área lateral Área total Volumen
AL= [n(l’ + l)]/2 x Ap’ AT= AL + Ab1 + Ab2 V=h/3(Ab1 + Ab2 +¬/Ab1 x Ab2)
7. Cilindros y conos
CILINDROS:
Es un solido de revolución
generado por un rectangulo
que gira alrededor de uno de
sus lados.
CONOS:
El cono recto es un solido de
revolución generado por un
triangulo rectángulo que gira
alrededor de uno de sus
catetos.
8. Áreas y volumen de un cilindro recto
El desarrollo de un cilindro
es un rectangulo y dos
círculos. El rectangulo tiene
por base la longitud de la
circunferencia (2π.r) y por
altura la generatriz (h=p).
Las bases del cilindro son
dos círculos congruentes y
su área lateral es igual al
área del rectangulo.
Área lateral Área total Volumen
AL= 2πr.g AT= 2πr(g + r) V=πr2 . h
9. Áreas y volumen de un cono recto
El desarrollo de un cono esta
formado por un sector circular
y un circulo.
El arco del sector circular tiene
de longitud 2π.r ( siendo r el
radio del cono(, ya que es la
longitud de la circunferencia
de la base.
El radio del sector circular es la
generatriz (g).
Área lateral Área total Volumen
AL= πr.g AT= πr(g + r) V=[πr2 . H]/3
10. Áreas y volumen de un Troco de cono
Es la porción de cono
comprendida entre la base y la
sección transversal determinada
por un plano paralelo a la base.
El desarrollo de un tronco de
cono esta formado por un
trapecio circular y dos círculos
de radio r y R.
El trapecio circular tiene por
bases las longitudes de ambas
circunferencias (2 πR y 2 πr).
Área lateral Área total Volumen
AL=[2πR + 2πr]/2 x g AT=πg(r + R) + πr2 + πR2 V=[πh’(r2 + R2 + r.R)]/3