El documento presenta un trabajo sobre el módulo de un número real. Explica que el módulo es la distancia de un número hasta cero, y provee ejemplos para números positivos y negativos. También cubre propiedades del módulo como que es no negativo y igual al módulo de su opuesto. Resuelve ecuaciones y desigualdades utilizando estas propiedades del módulo.

1.  Nombre y apellido: Lucas Maidana
 Profesora: Juliana Ísola
 Materia: Matemática
 Curso: 4° 1ra Humanidades
 Trabajo: Módulo de un número real
 Bibliografía: ◊ Carpeta de Matemáticas
◊Wikipedia
◊ Matematicaylisto.webcindario.com

2. Módulo de un número
de real
Llamamos módulo o valor absoluto de un número real x a la distancia entre dicho número
y cero. Lo simbolizamos así: |x|
Ejemplo 1: Los números 6 y -6 son opuestos ya que tienen distinto sigo e igual módulo,
porque están a la misma distancia del cero.
Es decir que: |6| = |-6| = 6
Por otra parte, como la distancia desde el número 0 hasta si mismo es 0, resulta: |0| = 0
Es decir que tanto el módulo de 0 como el de un número positivo es el mismo número,
mientras que el módulo de un número negativo es el opuesto de ese número.
En síntesis: Si x > 0 |x| = x
Si x < 0 |x| = -x
Es importante tener en claro que –x es positivo cuando x es negativo.

3. Existe otra forma de expresar el módulo de un número real, en la que interviene la raíz
cuadrada de x2.
|x| = √x2
Esta expresión del módulo de un número real nos resultara útil cuando en una ecuación
sea necesario despejar una incógnita que esté elevada a una potencia par.
Ejemplo 2: Resolvamos la ecuación x2 – 6 = 10
• Despejemos x2 x2 = 19 + 6 x2 = 25
• Aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad √x2 = √25
• Sustituimos el primer miembro utilizando el módulo y calculamos |x| = 5
• Entonces, x puede tomar dos valores, que son: x = 5 o x = -5
• Reemplazamos cada uno de esos valores en la ecuación original para comprobar si se
cumple la igualdad:
Para x = (-5)2 = 25 Para x = 52 = 25

4. Distancia entre dos números
Para expresar la distancia d entre dos números reales a y b, calculamos la diferencia entre el
mayor y el menor, es decir que si a < b , la distancia es b – a, y si a > b, es a – b.
Si consideramos el hecho de que el módulo es una distancia, podemos expresar d así:
d = |b – a| = |a – b| Distancia entre a y b
Ejemplo: La distancia entre 5 y -3 es: |-5 – 3| = |-5 – 3| = 8
|5 –(-3)|
-3 0 5

5. Propiedades del módulo
Los módulos poseen ciertas propiedades que nos resultarán útiles cuando resolvamos
ecuaciones e inecuaciones que los incluyan.
 El módulo de un número real es igual al de su opuesto y, además, es no negativo.
|x| = |-x| ≥ 0
 El módulo del producto de dos números reales es igual al producto de los módulos de
esos números.
En símbolos: |a . b| = |a| . |b|
 El módulo del cociente de dos números reales es igual al cociente de los módulos de esos
números.
En símbolos: |a/b| = a/b

6.  Analizemos que ocurre con el módulo de la suma de dos números reales y la suma de
los módulos de esos números:
Ejemplo 1: |6+4| = |10| = 10 Ejemplo 2: |-6 +4| = |-2| = 2
|6| + |4| = 6 + 4 = 10 |-6| + |4| = 6 + 4 = 10
Entonces, |6+4| ≤ |6| + |4| Entonces, |-6+4| < |-6| + |4|
En síntesis, el modulo de la suma de dos números reales es igual o menor que la suma de los
módulos de esos números. Esta propiedad se denomina desigualdad triangular.
En símbolos: |a + b| ≤ |a| + |b|

7.  Analicemos que ocurre con el módulo de la diferencia de dos números reales y la
diferencia de los módulos de esos números.
Ejemplo 1: |8-3| = |5| = 5 Ejemplo 2: |8-(-3)| = |11| = 11
|8| - |3| = 8 – 3 = 5 |8| - |-3| = 8 – 3 = 5
Entonces: |8 – 3| ≥ |8| - |3| Entonces: |8-(-3) > |8| - |-3|
En síntesis, el módulo de la diferencia de dos números reales es igual o mayor que la
diferencia de los módulos de esos números.
En símbolos: |a – b| ≥ |a| - |b|

8. Ecuaciones con módulo
Para resolver las ecuaciones con módulo se debe tener en cuenta las
propiedades y la definición de módulo.
Ejemplo : |5x| + |-x| + |x/2| = 10 S= {20/13, -20/13}
|5| |x| + |x| +|x/2| = 10
5|x| + |x| +1/2|x| = 10
(10|x| + 2|x| + 1|x|) : 2 = 10
13/2|x| = 10
|x| = 20/13
x= 20/13 x=-20/13

9. Inecuaciones con módulo
Propiedades
1) |2x + 3| > 4
Por la propiedad 1), tenemos que:
2x + 3 < -4 ó 2x + 3 > 4
Luego, resolvemos las dos inecuaciones ésas, que ya no tienen módulo:
2x + 3 < -4
2x < -4 - 3
2x < -7
x < -7/2
ó
2x + 3 > 4
2x > 4 - 3
2x > 1
x > 1/2
La solución de esa inecuación con módulo son los números que cumplen con eso:
x < -7/2 ó x > 1/2
Los gráficamos en la recta numérica, para visualizar los intervalos donde están esos
números:
La solución es la unión de esos dos intervalos:
S = (-∞; -7/2) U (1/2 ; +∞)

10. 2) |3x - 1| < 8
Por la propiedad 2), tenemos que:
-8 < 3x - 1 < 8
Esa "fusión" de dos inecuaciones se pueden resolver simultáneamente, o por
separado. Lo hago "simultáneamente":
-8 + 1 < 3x < 8 + 1
-7 < 3x < 9
-7/3 < x < 9/3
-7/3 < x < 3
Represento en la recta numérica:
La solución es el intervalo:
S = (-7/3 ; 3)