Capitulo 5

CAPÍTULO

CONSTRUCCIONES
GEOMÉTRICAS 5

5-2 Construcciones Geométricas

5.1. GENERALIDADES

Muchas veces las líneas que, en su conjunto, constituyen un dibujo técnico, se pueden trazar
simplemente empleando los instrumentos (escuadras, reglas, goniómetros, compases, etc.) sin
necesidad de recurrir a técnicas especiales. Pero, en cambio, muchas veces es necesario recurrir a
construcciones geométricas especiales, que el dibujante debe conocer y saber ejecutar con
precisión y rapidez. Tales son, por ejemplo, la bisección y transporte de un ángulo, la construcción
de un polígono regular de cualquier número de lados, el trazado de una elipse, etc.

Las construcciones de este tipo expuestas en los manuales de dibujo técnico son numerosísimas.
En el presente texto sólo se tratará de las que tienen una notoria y efectiva importancia para el
dibujante técnico. P

Problema nº.1. Dada una recta r y un punto P fuera de la
misma, trazar por P la perpendicular a la recta r.
1. Haciendo centro en P, con una abertura de compás
cualquiera, pero suficiente (es decir, mayor que la
distancia de P a r), se corta la recta r en los puntos
1 y 2.
2. Haciendo centro primero en 1, después en 2, con r
una misma abertura de compás cualquiera, se 1 2
trazan dos arcos que se cortan en A.
3. Trazando una recta que pase por P y por A, queda
resuelto el problema.

A

Problema nº. 2. Dada una recta r y un punto P de la
misma, trazar por P la perpendicular a la recta r.
A 1. Haciendo centro en P, y con cualquier abertura
de compás, se traza la semicircunferencia 1-2.
2. Haciendo centro en 1 y en 2, con una misma
abertura cualquiera de compás, pero mayor que
la anterior, se trazan dos arcos que se cortan en
A.
r 3. La recta que pasa por P y A es la perpendicular
1 P 2 pedida.

Autor: Ing. Jaime Barbosa Pérez Dibujo Mecánico

CAPÌTULO 5. Construcciones geométricas 5-3

Problema nº. 3. Dado un segmento AB, trazar una
perpendicular por su extremo A.
3
1. Haciendo centro en A, con cualquier abertura de
compás, se traza el arco 1-2.
2. Con la misma abertura de compás, haciendo
centro en 1, se traza el arco A-2.
2 3. Se traza la recta 1-2, que se prolonga hacia
arriba.
4. Haciendo centro en 2 con radio 2-1. Se traza el
arco 1-A-3.
5. Uniendo A con 3, se obtiene la perpendicular
A 1 B pedida; en efecto, el ángulo 1-A-3 es recto
porque está inscrito en una semicircunferencia.

Problema nº. 4. Construir el eje de un segmento dado
AB.
Se recuerda la definición: eje de un segmento es la
perpendicular trazada al mismo por su punto medio.
1. Haciendo centro respectivamente en A y en B, con
una misma abertura cualquiera de compás, pero
mayor que la mitad del segmento dado se trazan por
cada uno de los dos centros dos arcos de
circunferencia que se cortan en C y D.
2. Uniendo C y D, se tiene el eje de AB pedido. …

Problema nº. 5. Dividir un segmento AB en un
1' 2' 3' 4' 5' 6' 7'
A número dado de partes iguales (en el ejemplo
B

1
las partes pedidas son 7).
2 1. Por A se traza a voluntad una semirrecta
3 AC.
4
2. Se marcan sobre AC, partiendo de A, 7
5
segmentos iguales A1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5,
6
7
C
5-6, 6-7 de cualquier longitud.
3. Se une el punto 7 con el punto B y por los
otros puntos de división 1, 2, 3, etc., se trazan otras tantas paralelas al segmento 7B. Estas
paralelas cortan el segmento dado AB en los puntos 1´, 2´, 3´, 4´, etc., que resuelven el
problema propuesto.



r1
Problema nº. 6. Bisección del ángulo formado por
dos semirrectas r1 y r2 partiendo de un punto A.
1
1. Haciendo centro en A, con una abertura
cualquiera de compás, se traza un arco que
corta a las semirrectas dadas en 1 y 2. A B
2. Haciendo centro respectivamente en 1 y en 2,
se trazan dos arcos con un mismo radio
cualquiera, que se cortan en B. 2
3. La semirrecta que pasa por A y B resuelve el
problema propuesto. r2

Problema nº. 7. Trisección de un ángulo recto dado.
1. Haciendo centro en el vértice del ángulo recto, con
B
1 cualquier abertura de compás, se traza el arco BC.
2. Haciendo centro en B y en C, y siempre con la misma
abertura de compás, se corta el arco BC en los puntos 1
2 y 2.
3. Uniendo el vértice del ángulo con los puntos 1 y 2, se
tienen las dos semirrectas que resuelven el problema.

A C

Problema nº. 8. Dividir un ángulo en 4 partes iguales. 1
Este problema se resuelve aplicando 3 veces consecutivas la B
construcción de la bisectriz de un ángulo.
3 C
1. Se traza la bisectriz del ángulo. A
2. Con la misma construcción se trazan las bisectrices de los D
ángulos 1AC y CA2, determinando así las otras dos 2
semirrectas AB y AD, que junto con la AC resuelven el
problema.

Problema nº. 9. Construcción de la bisectriz de un ángulo cuyo vértice es inaccesible.
1. Haciendo centro en dos puntos cualesquiera 1 y 2, uno de cada recta, con un mismo radio
cualquiera, se trazan dos semicircunferencias.
2. Se traza la recta 1-2, que cortará las dos semicircunferencias en M y N.
3. Se trazan las bisectrices de los ángulos P11M; M1Q1; P22N; N2Q2.



4. La recta que pasa por los puntos E y F de intersección de las bisectrices resuelve el problema.

r1 P1 1 Q1

M
D
A
F
N
E
B
Q2
2
P2

r2

Problema nº. 10. Construir un ángulo igual a otro
ángulo dado por 1A2… 1
1. Haciendo centro en A, con un radio cualquiera,
se traza el arco 12.
2. Sobre la semirrecta A´2´, haciendo centro en A´,
y con el mismo radio escogido anteriormente, se A 2
traza el arco 2´1´.
3. Con una abertura de compás exactamente igual
a la distancia entre los puntos 1 y 2, y haciendo 1'
centro en 2´, se corta el arco trazado
anteriormente en 1´.
4. Uniendo una recta 1 con A´ se obtiene el ángulo
1´A´2´, igual al ángulo dado. A' 2'

3
5 Problema nº. 11. Construir un ángulo que
1
sea la suma de dos o más ángulos dados
(en el ejemplo se consideran 3 ángulos 1A2,
A 2
B 4 C 6 3B4, 5C6).
a)
1. Se traza la semirrecta OD y se aplica 3
veces consecutivamente la
D construcción de otro, los tres ángulos
dados.
2. El ángulo DOE resuelve el problema.
7 8

9
Obsérvese que el resultado es
independiente del orden en que transporten
10 los ángulos (propiedad conmutativa).
O E
b)



Problema nº. 12. Trazar una paralela a una recta r por un punto P exterior a la misma.
1. Haciendo centro en A, escogido a voluntad, con
P B
radio AP, se traza un arco de circunferencia que
corte en C a la recta r.
2. Haciendo centro en P y con el mismo radio se
traza un arco AB.
3. Haciendo centro en C, se toma una abertura de
compás igual a la distancia CP.
4. Haciendo centro en A y con el radio CP se corta r
C A
en B el arco AB antes trazado.
5. Por los puntos P y B se traza la recta PB, que resuelve el problema.

Problema nº. 13. Trazar una paralela recta r a una distancia dada AB.
E F La paralela se puede trazar por encima o
por debajo de la recta r. En el ejemplo se
traza por encima de r.
1. Por dos puntos cualesquiera C y D de
H la recta r, se trazan dos
G
perpendiculares a dicha recta r.
2. Con una abertura de compás igual a
AB, y haciendo centro sucesivamente
r en C y D, se cortan las dos
1 C 2 1 D 2 perpendiculares los segmentos CE y
DF iguales a AB.
3. Uniendo E y F se tiene la paralela
A B
pedida.

5.2. GENERALIDADES SOBRE ENLACES Y CONSTRUCCIONES RELATIVAS A LOS MISMOS

Cuando se han de unir dos o más segmentos de curvas uno con otro, para formar una curva única, o
bien dos segmentos rectilíneos se han de juntar mediante un trazo curvo, se dice que se realiza un
enlace.

Para que un enlace sea perfecto es necesario que se verifique la continuidad de la curva en el punto
de enlace (Figura 5.1), es decir, que se evite un cambio brusco de dirección (Figura 5.2).



Figura 5.1. Cuando se hayan de enlazar entre sí
dos o más segmentos de curvas, es preciso que A
en el punto de enlace, indicado con A, se
verifique la continuidad de la curva.

Toda curva, en cada punto tiene su tangente, que puede definirse como una recta que une dos
puntos infinitamente próximos de la misma curva: estos dos puntos prácticamente coincidentes,
constituyen el punto de contacto entre la tangente y la curva.

Tracemos la perpendicular a la tangente en el punto de contacto, por la parte cóncava de la curva.
Imaginando que un arco pequeño de la curva correspondiente al punto de contacto se puede
sustituir por un arco de circunferencia, el centro de este arco se hallará evidentemente sobre la
perpendicular antes trazada, pues, como es sabido, la tangente a una circunferencia y el radio del
punto de contacto sor perpendiculares entre sí.

El radio del arco de circunferencia que puede sustituir un trazo de la curva se llama radio de
curvatura de la curva en el punto considerado.

Ahora bien, es evidente que:
a. La circunferencia es la única curva de radio de curvatura constante.
b. Todas las otras curvas tienen diferentes radios de curvatura en sus diversos segmentos.
c. Hay curvas que tienen todos sus diversos centros de curvatura situados a un mismo lado de la
curva (Figura 5.3), y caracterizados por el hecho de que ninguna de sus tangentes corta a la
curva. Esto ocurre, por ejemplo, en la elipse y, en general, en las curvas convexas. Pero hay
otra clase de curvas en las cuales el centro de curvatura se halla tan pronto a un lado como a
otro de la curva. Las curvas de este tipo se caracterizan por el hecho de que sus tangentes
pueden cortar la curva (Figura 5.4). Siempre que el centro de curvatura pasa de un lado a otro
de la curva, se dice que la curva presenta un punto de inflexión.

Por lo anteriormente expuesto, se puede afirmar que, para que e1 enlace de dos curvas sea
perfecto, es preciso que las dos curvas tengan, en el punto de enlace, la misma tangente.

Sobre tales consideraciones se basan las distintas construcciones geométricas ilustradas en las
figuras 5-14, aunque con frecuencia, en el dibujo industrial, los enlaces se efectúan generalmente
por métodos empíricos.

Figura 5.2. Si no se verifica la continuidad, es decir, si se observa
un brusco cambio de dirección en el punto de enlace, es que éste
está mal dibujado.

A



Figura 5.3. Toda curva, en cada uno de sus
puntos, tiene un radio de curvatura,
perpendicular a la tangente en dicho punto
e igual al radio de la circunferencia que, en
un trazo más o menos corto en torno a
dicho punto, se confunde con la curva
dada. En algunas curvas, el radio de
curvatura se halla siempre a un mismo lado
de la curva, como en esta figura.

Figura 5.4. En otras curvas, en cambio, el radio de curvatura se halla unas veces a un lado y otras al
otro lado de la curva. En el punto en que el radio de curvatura pasa de uno a otro lado de la curva,
se observa que la tangente corta la curva, como se puede ver en los puntos F1 y F2 de esta figura.
Estos puntos se llaman puntos de flexión.

F1
F2

Problema nº. 14. Enlazar dos segmentos AB y CD en
A
ángulo recto.
Se supone que los dos segmentos son de tal longitud que
prolongados hasta su intersección M, los segmentos BM y
CM resulten iguales. En caso de no ser así, se prolongará
uno de los dos segmentos hasta que se cumpla la condición
enunciada. Supuesto esto: O
B
1. Se hace centro en B y en C, con abertura de compás
igual a BM, y se trazan dos arcos que se cortan en O.
2. Con centro en O y la misma abertura de compás se
dibuja el arco de enlace.
M C D



Problema nº. 15. Enlazar dos rectas convergentes r1 y r2 con un arco de circunferencia de radio dado
R.
1. Se trazan dos paralelas a las rectas r1 y r2 a la distancia R; estas paralelas se cortan en O,
centro del empalme.
2. Desde O se trazan las perpendiculares OA y OB respectivamente a r1 y r2; se determinan así los
puntos A y B de los que sale el arco de enlace.
3. Con centro en O y radio OA se traza el enlace pedido.
El enlace puede también ser parabólico.

r1

A
R

O

R
B
r2

Problema nº. 16. Enlazar dos rectas
r2
convergentes, formando entre sí un ángulo
obtuso.
La construcción corresponde perfectamente
con la precedente.
O

B R
r1
A

Problema nº. 17. Enlazar los dos
segmentos paralelos AB y CD indicados en
la figura.
1. El enlace se ha de efectuar con dos arcos
C D de circunferencia de diferente radio. Por el
extremo C del segmento más alargado
O O1 hacia la zona del enlace, se traza una
perpendicular CE, hasta su encuentro con
la prolongación de AB.
F 2. Haciendo centro en E se transporta EF =
EA.
3. Se dibuja el eje del segmento CF
E A B prolongándolo hasta su intersección O1 con
la perpendicular A al segmento AB.



4. Los centros de los arcos de enlace son respectivamente O (radio OC) y O1 (radio OA).

Problema nº. 18. Enlazar dos circunferencias de centros O' y O" y radios R' y R" con un arco de radio
dado R.
1. Haciendo centro en O' se traza un
arco de radio R-R'. De igual modo,
haciendo centro en O", con radio
A
R-R" se traza un arco que corta el
precedente en O centro del enlace.
2. Uniendo O con O' y con O" se B
determina, sobre sus R' O' O'' R''
R-R
prolongaciones, los puntos A que '
delimitan el enlace.
3. Con centro en O y radio R se R''
R- R
dibuja el enlace pedido. O

Problema nº. 19. Enlazar una recta a con un arco
A a B
de circunferencia de radio R, mediante un arco de
O circunferencia de radio dado r.
1. Se traza una paralela a la recta “a” a la
R-

r
distancia r.
r

2. Con centro en O y radio R-r se traza un arco
R

O'
hasta cortar en O' a la paralela antes trazada.
O' es el centro del enlace.
3. Con centro en O' y radio r se traza el enlace
C BC.

Problema nº. 20. Enlazar una recta a con una
circunferencia de centro O y radio R, con un arco de O
R
radio r.
1. Se traza una paralela a “a”, a la distancia r.
2. Con centro en O, se traza un arco de radio R + r, R+r

hasta su intersección O' con la paralela trazada
r
anteriormente. O'
r
3. Haciendo centro en O' se traza el arco de enlace
AB de radio r. a
B



O Problema nº. 21. Enlazar una recta a y una circunfe-
R rencia de centro O y radio R, en la posición indicada en
1a figura mediante un arco de radio dado r.
r B
R+ 1. Se traza una paralela a “a”, a la distancia r.
r 2. Con centro en O, se traza un arco de radio R + r,
O' hasta su intersección O' con la paralela trazada
anteriormente.
3. Haciendo centro en O', con radio r, se traza el
r

a
A enlace pedido AB.

Problema nº. 22. Enlazar una circunferencia de
centro O y radio R con un segmento AB en el O
R
punto B.
1. Por B se traza la perpendicular a AB y
sobre ella se toma BC = R. A
F
2. Se une C con O y se dibuja el eje de CO, O'
que cortará en O´ la prolongación de BC.
3. Haciendo centro en O' y con radio O´B se B
traza el arco de enlace BF pedido.

C

Problema nº. 23. Enlazar en el punto P la
circunferencia de centro O y radio R con una recta
a.
O 1. Se traza el radio OP y su prolongación a la
R tangente t en P a la circunferencia, que cortará
en C la recta a.
P 2. Se traza la bisectriz b del ángulo formado por a
b O' y t, que cortará en O´ la prolongación de OP.
3. Haciendo centro en O´ con radio O´P se traza
el arco de enlace PS pedido.
a
S c



3

Problema nº. 24. Trazar la tangente a una
2
circunferencia en un punto P de la misma.
Recordando por la geometría que la tangente es
perpendicular al radio que pasa por el punto de
O
P
1
contacto, el problema se reduce a trazar la
perpendicular a un segmento OP por su extremo P.

Problema nº. 25. Dada una circunferencia c de
centro O, trazarle una tangente por un punto B
exterior P. c 1
1. Se determina el punto medio M del segmento 90°

OP.
2. Haciendo centro en M con radio OM, se traza
O M P
una circunferencia que corta en B y C la
circunferencia dada.
3. Las semirrectas PB y PC son las tangentes
pedidas, por ser rectos los ángulos formados 2
por las tangentes con los radios respectivos C
en los puntos de contacto, ya que están
inscritos en una semicircunferencia.

Problema nº. 26. Trazar una circunferencia de radio r,
tangente a un segmento CD en su extremo.
Este problema es el inverso del indicado en el número 14.
O
1. Por el extremo D del segmento dado se levanta una
3 perpendicular D3, con la construcción número 3.
2. Haciendo centro en D, con radio r, se corta esta
2
perpendicular en O.
3. Haciendo centro en O, y con el mismo radio r, se traza la
1 circunferencia, que resuelve el problema propuesto.
C D

A r B



Problema nº. 27. Trazar una circunferencia
3
1 que pase por tres puntos dados A, B y C,
B que no están en línea recta.
1. Se une A con B y B con C, trazando de
este modo dos cuerdas de la
C circunferencia.
2. Teniendo presente que los radios
A
perpendiculares a las cuerdas las
4
2 cortan en su punto medio, se trazan los
ejes de las cuerdas AB y BC. Su punto
de intersección será el centro O de la
circunferencia pedida, cuyo radio será
O
OA = OB = OC.

a
Problema nº. 28. Construir una media A B
b
proporcional a dos rectas o longitudes. A C
1. Dadas las rectas AB y AC de longitudes a y b
D
respectivamente, se suma una a continuación
de la otra.
2. En el punto medio 1 se describe una
semicircunferencia de radio A1.
3. En el punto B se traza una perpendicular hasta
cortar la semicircunferencia en el punto D.
4. La distancia BD es la media proporcional. A B C

Problema nº. 29. Construir la tercera proporcional
a dos rectas o longitudes.
1. Dadas las rectas AB y AC de longitudes a y b
a
A B respectivamente, sobre una recta se suman las
A
b longitudes a y b.
C
2. A partir de A formando un ángulo cualquiera se
A B C traza la longitud menor.
3. Se une con una recta los puntos B y D.
4. Se prolonga la longitud menor y paralela a BC,
se traza una recta por el punto de terminación
de la suma de las longitudes dadas, cortando a
la prolongación en le punto E.
5. La distancia CE es la tercera proporcional.



Problema nº. 30. Construir la cuarta proporcional a
tres rectas o longitudes.
c
b
1. Dadas las rectas AB, AC y AD de longitudes a,
B
a
b y c respectivamente; con las dos longitudes
mayores se traza un ángulo.
D 2. Sobre la longitud mayor se traza la longitud
menor.
3. Se une B y C y paralela a esta línea se traza
C E A una línea en el punto D, obteniendo el punto E.
4. La distancia AD es la cuarta proporcional.

Problema nº. 31. Rectificar un arco.
1. Dado el arco AB, se trazan rectas desde
A y B hasta el centro O. A
F
2. Por A o por B se traza una
perpendicular, en este caso se trazara
en B.
3. Una los puntos A y B con una recta y O C

encuentre su punto medio C.
4. Extiende la recta de unión de A y B una
distancia igual a la longitud AC = AB,
obteniendo el punto D. B

5. Con D como centro, se traza un arco a
partir de A que corte la perpendicular
trazada en B en el punto F. D
6. La distancia BF es la longitud rectificada
del arco AB.

Problema nº. 32. Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias dadas, externas una a otra y
de diferentes radios r y r´.
1. Se unen los puntos OO´ de ambas circunferencias y se determina el punto medio E de OO´ y el
punto P de intersección de la circunferencia mayor con OO´.
2. Con centro en E, se traza la circunferencia que pasa por O y O´.
3. Llevando desde P hacia O un segmento PQ igual a r´, se tiene en OQ la diferencia entre r y r´.
4. Se traza la circunferencia con centro en O y radio OQ, determinando las intersecciones R y S
con la circunferencia trazada en el número 2.
5. Uniendo R y S con O, se determina sobre la circunferencia mayor los puntos de contacto A y C
de las tangentes.
6. Trazando las rectas O´B y O´D respectivamente paralelas a OA y OC, se determinan sobre la
circunferencia menor los puntos de contacto B y D de las tangentes.



7. Uniendo A con B y C con D, se tienen las tangentes pedidas.

1
A
B
S

Q P
O E O'

R
D

C 2

Problema nº. 33. Trazar las tangentes interiores a dos circunferencias dadas con centros en O y O´
y radios r y r´, externas una a otra.
1. Se determina el punto medio E del segmento OO´ y se traza la circunferencia mayor, se corta la
circunferencia anteriormente trazada en F y G.
2. Haciendo centro en O y con radio O´P, distancia del centro O´ a la circunferencia mayor, se
corta la circunferencia anteriormente trazada en F y G.
3. Uniendo O con F y G se determinan los puntos de contacto A y D sobre la circunferencia mayor.
4. Trazando desde O´ las O´C y O´B respectivamente paralelas a OA y OD, se determinan los
puntos de contacto B y C sobre la circunferencia menor.
5. Las rectas que unan A con C y B con D son las tangentes pedidas.

F

A
1

B

O P E O'

C

D

G



E
Problema n.° 34. Construir un triángulo
equilátero, dado un lado AB.
1. Se traza la base CD del triángulo, igual a AB.
2. Con abertura del compás igual a AB y con
centro respectivamente en C y en D se
trazan dos arcos de circunferencia que se
cortan en E, tercer vértice del triángulo
pedido.
3. Uniendo C y D con E, se resuelve el
problema. C D

C A B

Problema nº. 35. Construir un triángulo isósceles, dada la
base A'B' y el lado l.
1. Se traza la base AB.
2. Con abertura de compás igual a l y con centro,
respectivamente en A y en B, se trazan dos arcos, que
se cortan en C, vértice del triángulo isósceles pedido.
3. Uniendo A y B con C, se resuelve el problema.
A B

A' B'
l

C
Problema n.° 36. Construir un triángulo escaleno, dados los tres
lados l1 l2 y l3.
1. Se traza la base AB del triángulo, igual, a l1.
2. Haciendo centro en A con radio l2 y en B con radio l3, se
trazan dos arcos de circunferencia que se cortan en C.
3. Uniendo A y B con C, se resuelve el problema
Nota: Intercambiando los lados l2 y l3 se obtienen dos triángulos,
aparentemente iguales, que son dos soluciones del problema
geométrico. A1 resolver los problemas técnicos se ha de poner
atención en este caso, porque generalmente uno solo de los dos A B
triángulos representa la solución de un problema tecnológico. l1
l2
l



Problema n.° 36 bis. Construir un triángulo
D
rectángulo, dado un cateto l y la hipotenusa l 1.
La construcción se basa en la propiedad de ser
recto el ángulo inscrito en una
semicircunferencia.
1. Trazando AB igual a l 1, y determinando su
punto medio C, se traza una
semicircunferencia de diámetro AB.
2. Haciendo centro en A con radio igual a l, se
A C B traza un arco que corta en D la
semicircunferencia.
l1 3. Uniendo D con A y con B se tiene el
triángulo rectángulo ABD pedido.
l

Problema n.° 37. Construir un triángulo,
dados dos lados λ y λ∋ y el ángulo
α
comprendido α.
Ο
1. Se traza un segmento AB de longitud
λ∋
igual a λ.
2. Se construye sobre el mismo el ángulo λ Χ
α.
3. Haciendo centro en A, con abertura de λ∋
compás igual a λ∋, se corta en X el
segundo lado del ángulo. α
4. Uniendo A, B, X, se resuelve el
Α Β
problema λ

D C

Problema n.° 38. Construir un cuadrado, dado su lado l.
1. Se traza el segmento AB, igual a l.
2. Por A se levanta la perpendicular a AB.
3. Haciendo centro en A, con abertura de compás igual
3
a l, se corta en D dicha perpendicular.
4. Haciendo centro en B y en D, siempre con la abertura
de compás igual a l, se trazan dos arcos de
2 circunferencia que se cortan en C, determinando así
el último vértice del cuadrado.
5. Uniendo A, B, C, D, se obtiene un cuadrado que
resuelve el problema.
A 1 B



Problema n. ° 39. Construir un pentágono
regular, dado el lado l.
1. Se traza el lado AB igual a l, y se prolonga D
desde B. Se traza el eje de AB dibujándose
con trazo y punto.
2. Haciendo centro en A y en B, con radio l, se
M
trazan dos arcos, algo mayores que 1/4 de E C
circunferencia.
3. Por el extremo B se levanta una
perpendicular, que cortará en M el arco de
l
centro A trazado anteriormente.
4. Con centro en O y radio ON, se traza el arco
que corta en N la prolongación de AB.
5. Haciendo centro respectivamente en A y en A O B N
B, con radio AN, se trazan dos arcos que se
cortarán en D, vértice superior del
pentágono.
6. Finalmente, haciendo centro en D, con radio igual a l, se cortan en C y E los arcos con centros B
y A trazados en el nº. 2.
7. Uniendo A, B, C, D, E, se obtiene el pentágono pedido.

Problema n. ° 39 bis. Construir un polígono
regular, dado su lado l (en el ejemplo se
D
considera un polígono de 5 lados).
1. Con el lado AB como radio y A como centro
se describe una semicircunferencia.
2. Se divide la semicircunferencia en cinco
E C partes iguales.
2 3 3. Por la segunda división a partir de la
izquierda, se traza una línea radial A2.
1 4
4. Por las divisiones 3, 4 y 5 se prolongan las
líneas radiales.
5. Con AB como radio y B como centro se
corta la línea A4 en C.
5
A 0 B 6. Con C como centro y el mismo radio, se
corta A3 en D.
l 7. Uniendo A, B, C, D, E y A se obtiene el
polígono pedido.



Problema nº. 40. Construir un hexágono, dado el
lado L.
E D La construcción se basa en la propiedad de que el
lado del hexágono es igual al radio de la
circunferencia circunscrita.
1. Se traza un lado AB igual a L.
2. Haciendo centro en A y B, se describen dos
arcos, que se cortan en O, centro de la
F C
circunferencia circunscrita.
3. Trazando la circunferencia circunscrita, se
obtienen otros dos vértices C y F del
hexágono, en la intersección de los arcos
antes trazados con la circunferencia.
4. Haciendo centro respectivamente en C y F,
B siempre con radio igual a L, se corta la
A
circunferencia en los puntos E y D, últimos
vértices buscados del hexágono.
5. Uniendo A, B, C, D, E, F, se resuelve el
problema.

Problema nº. 41. Construir un octágono regular, F E
dado el lado l.
1. Se traza un segmento AB, igual a l, y se traza el
eje, determinando el punto medio M de AB.
2. Con centro en M y radio MA, se traza media G D
circunferencia, que corta en E el eje de AB.
3. Haciendo centro en E, se describe una O
l
circunferencia de radio EA, que corta el eje de
AB en el punto O, centro de la circunferencia
circunscrita al octágono. H C
4. Transportando sucesivamente a partir de A el E
lado l, siete veces, se determinan sobre la
circunferencia los vértices H, G, F, E, D, C, M
uniendo los cuales se resuelve el problema. A B
A

Problema n.° 42. Inscribir en una circunferencia de radio
dado un triángulo equilátero.
1. Se traza un eje (p. ej., vertical) de la circunferencia.
Sean A y D las intersecciones de este eje con la
O circunferencia.
2. Con centro en D y radio igual al de la circunferencia se
traza un arco que determinará sobre la circunferencia
B C dos puntos B y C.
3. Uniendo A, B, C, se obtiene el triángulo pedido.



A
Problema n.° 43. Inscribir en una circunferencia un
hexágono regular.
1. Se traza un eje, por ejemplo, vertical de la
B F
circunferencia; sean A y D sus intersecciones
con la circunferencia dada.
2. Haciendo centro en A y en D, con radio igual al O
de la circunferencia dada, se corta esta última en
B, F, C, E.
3. Uniendo A, B, C, D, E, F, A, se obtiene el
hexágono pedido. C E

D
D

A Problema n.° 44. Inscribir en una circunferencia
un cuadrado.
1. Se traza un diámetro CE de la circunferencia,
que será una diagonal del cuadrado.
C E
2. Se traza el diámetro DF, perpendicular a CE.
3. Uniendo C, D, E, F, C, se tiene el cuadrado
pedido.
B

I
F

H L
A
Problema n.° 45. Inscribir en una circunferencia un C D
octágono regular.
1. Se trazan dos diámetros perpendiculares como en la
construcción anterior; quedando así determinados G
O M
sobre la circunferencia 4 vértices del octágono.
2. Se trazan luego las bisectrices de los círculos rectos
F E
formados por los diámetros antes trazados, con lo que
se determinan sobre la circunferencia los otros 4 B
vértices del octágono. Q
3. Uniendo consecutivamente los vértices así
determinados, se resuelve el problema. P

Problema n.° 46. Inscribir en una circunferencia un pentágono regular.
a) Primera construcción:
1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y HN.
2. Se determina el punto medio E del radio OB.
3. Haciendo centro en E, con radio EH, se traza el arco HF.
4. Con centro en H y radio HF, se traza el arco FG. La cuerda HG de la circunferencia es el lado
del pentágono pedido.



5. Transportando con el compás dicho lado, 4 veces consecutivas, se determinan los otros vértices
del pentágono.

b) Segunda construcción:
1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB, HE.
2. Se determina el punto medio C de OB y se traza una circunferencia con centro en C y radio
mitad del de la circunferencia dada; esta segunda circunferencia resultará tangente interna a la
dada, pasando por su centro.
3. Uniendo C con E se cortará a la circunferencia menor en el punto D.
4. Haciendo centro en E, con radio ED, se traza el arco FDL, que determina sobre la circunferencia
dada dos vértices consecutivos F y L del pentágono pedido.
5. Transportando sucesivamente con el compás la cuerda FL, se determinan los otros vértices del
pentágono.
N. B. Si se quieren determinar los vértices del decágono inscrito, bastará trazar las bisectrices de los
ángulos céntricos correspondientes a los lados del pentágono.
H H

I
G I G

A F O E B A O C B

D

M L F L

N E

a) b)

Problema nº. 47. Inscribir en una circunferencia un polígono regular de n lados.
a) Caso de que sean impares, por ejemplo, 7:
1. Se traza un diámetro AB de la circunferencia y se le divide en n partes iguales).
2. Haciendo centro en A y en B, con abertura de compás igual al diámetro AB, se trazan dos arcos
de circunferencia que se cortarán en C y D.
3. Desde C y D se trazan las semirrectas que, pasando por !os puntos de orden par (2, 4, 6, etc.)
de AB, cortarán a la circunferencia en los puntos E, F, G, L, I, H, que, junto con el punto A,
constituyen los vértices del polígono pedido.



A

1
L E
2

3
C D
4
I F
5

6
H G

B

b) Caso de que n sea par (por ejemplo, 10):
1. y 2. Se opera como en el caso anterior.
2. Desde C y D se trazan las semirrectas que pasan por los puntos de división
de orden impar. Se prosigue del mismo modo antes explicado.
Estas dos construcciones no son matemáticamente exactas, pero suficientes en la práctica.

I A L
1

2 M
H
3

4

C 5 D
G N
6
7

8
F O
9

E B P

Problema n.° 48. Construir un óvalo, dado su
eje menor. A
1. Se traza el eje del segmento AB (con trazo
y punto) y se determina su punto medio O;
con centro en el mismo, se transporta la 3 1

longitud OB a OE y OF.
2. Uniendo E y F con A y con B se prolongan C E O F
D
estas semirrectas más allá de E y de F.
3. Con centro en B y radio BA se describe el 2
arco 1A3; y con centro en A y el mismo
radio, el arco 2B4.
4. Con centro en E y F y con radio igual E3,
se trazan respectivamente los arcos 3C4 y B
1D2, que completan el óvalo pedido.



M
Problema n.° 49. Construir un óvalo, dado su eje
mayor.
1. Se traza el eje del segmento AB (con trazo y
punto), determinándose un punto medio O.
C
2. Se divide AB en 4 partes iguales y, haciendo
2
1 centro en O1, y O2 se describen dos
circunferencias de radio igual a O1O.
3. Haciendo centro en A y B respectivamente, con
O1 O2
A O
B radio igual a AO2, se trazan los arcos NO2M y
NO1M.
4. Se unen M y N con O1 y O2, prolongando estas
semirrectas hasta su intersección con las dos
4 3
D circunferencias trazadas en 2.
5. Con centro en M y N, con radio M4, se trazan
respectivamente los arcos 4D3 y 1C2.
6. Con centro en O1 y O2, se trazan los arcos 4A1 y
N 3B2, que completan el óvalo pedido.

Si se pide la construcción de un óvalo, dados los dos ejes, se procede del modo siguiente:
1. Se trazan los ejes AB y CD perpendiculares
entre sí y cortándose en O; se unen los puntos
B y C.
2. Se toma desde C la distancia CF igual a la C
diferencia entre los dos semiejes dados y se L
determina el punto medio G de FB. F
G
3. Se levanta por G la perpendicular a FB y se H B
buscan sus intersecciones con los ejes (o sus A O
prolongaciones) determinando los puntos H e I.
4. Con centro en I se traza el arco CL, y con
centro en H se traza el arco LB, quedando D
dibujado un cuarto del óvalo pedido.

Las otras tres partes del óvalo se trazan de modo
simétrico.
A

Problema n ° 50. Construir un ovoide dado su
1 eje menor AB.
1. Se traza el eje del segmento AB y se
O O' determina su punto medio.
C D
2. Se traza una circunferencia de diámetro
determinando el punto O'; la semicircun-
2 ferencia ACB nos dará la mitad del ovoide.
3. Se trazan las semirrectas AO' y BO'
prolongadas.
B


4. Haciendo centro en A y en B, con radio AB, se trazan respectivamente los arcos B2 y A1.
5. Haciendo centro en O', con radio O'1, se traza el arco 1D2 que completa el ovoide pedido.

Si fuesen dados los dos ejes, se efectuaría la construcción que indica la figura

1. Descrita la circunferencia cuyo C

diámetro es el eje menor, y trazados
los dos ejes perpendiculares,
convenientemente prolongados, se
toma CD igual al eje mayor, siendo
B G
AB el eje menor. A O

2. Se une A con D con un segmento
sobre el que se toma AF, igual a la
diferencia entre los dos ejes. F
3. Se traza el eje del segmento FD, E
que cortará en H y G el eje vertical y H
la prolongación del horizontal. I
4. Con centro en G se traza el arco AI,
y con centro en H se traza el arco
ID. D
La otra mitad del ovoide es simétrica.

Problema nº. 51. Construir una elipse, dados los dos ejes AB y DC.
1. Con centro en C y radio igual a la mitad del eje mayor, se traza el arco F1EF2, determinando los
dos focos F1 y F2.
2. Escogiendo sobre el eje mayor un punto 1 y haciendo centro en F2, con radio 1B se trazan dos
arquitos; con centro en F1 y radio Al se trazan otros dos arquitos que cortan a los anteriores
determinando los puntos M1 y M2; se tienen así dos puntos de la elipse. Al mismo tiempo se
pueden determinar los puntos M3 y M4 simétricos de los primeros respecto al eje CD.
3. Se repite la construcción cuantas veces se quiera, escogiendo el eje OB, los puntos 2, 3, 4, 5,
etc., a voluntad; cada vez se determinarán 4 puntos de la elipse.
4. Uniendo los puntos determinados con una línea continua, valiéndose de una plantilla para cur-
vas, se traza la elipse pedida.
Q1 Q3
P1 C P3
O1 O3
N1 N3
M1 M3

A F1 O F2 B
5 4 3 2 1

M4 M2

N4 E N2
O4 O2
P4 P2
Q4 D Q2



Problema n.° 52. Construir una elipse, dados los dos ejes AB y DC (otra construcción).
1. Haciendo centro en O, se trazan dos circunferencias cuyos diámetros sean respectivamente el
eje mayor y el eje menor de la elipse.
2. Se divide una de las circunferencias en un número cualquiera de partes (p. ej., 12), iguales o
desiguales, y se trazan los radios correspondientes.
3. Por los puntos de intersección de cada radio con la circunferencia menor se trazan paralelas al
eje mayor; por los puntos de intersección de cada radio con la circunferencia mayor se trazan
paralelas al eje menor. Las intersecciones de cada par de rectas así trazadas son otros tantos
puntos de la elipse.
4. Uniendo los puntos así determinados con una línea continua, sirviéndose de una plantilla para
curvas, se traza la elipse pedida.
R1 Q1

C
R Q
Q2 P1
R2

P2
P

B O A

D

Problema nº. 53. Construir una Elipse por el Método del Paralelogramo.
Este método puede usarse tanto cuando se conocen los ejes mayor y menor o bien un par
cualquiera de diámetros conjugados.
1. Sobre un par cualquiera de diámetros conjugados se construye un paralelogramo.
2. Se divide AO en un número cualquiera de partes iguales (a mayor número, mayor precisión),
numerando los puntos a partir de A.
3. Se divide AG en el mismo número de partes iguales. Al igual que el punto anterior, se numeran
los puntos a partir de A.
4. A partir del punto D se trazan rectas que lleguen hasta los puntos incluidos en la recta AG.
5. A partir del punto E, se trazan rectas que crucen los puntos incluidos en la recta AO y se hacen
llegar hasta las rectas creadas en el numeral anterior de igual valor. (Así se intersectarán el 1
con el 1, el 2 con el 2, y así sucesivamente).



6. Las intersecciones serán los puntos de la curva. Se repite el procedimiento anterior para crear la
otra mitad de la elipse.
D
3
2
1
A O
1 B
2 3

E

Problema nº. 54. Construir una Elipse por el
G
Método de Diámetros Conjugados. H F
1. Dados los diámetros conjugados AB Y DE,
se describe una circunferencia sobre el D

diámetro AB.
2. Desde diferentes puntos ubicados sobre la
circunferencia F, G y H se trazan
perpendiculares FF´, GO y HH´ al diámetro A H' O F' B
AB.
3. Desde H y F, etc., se trazan paralelas a GD,
y desde H’ y F’, paralelas a OD.
4. La intersección de las rectas que pasan por E
F y F’ da un punto de la elipse, la
intersección de las que pasan por H y H’
otro punto, y así sucesivamente.

Problema nº.55. Construir una hipérbola, dados los focos F1 y F2 y el eje transverso V1V2.
1. Se traza una circunferencia de centro O y diámetro F1F2.
2. Trazadas por V1 y V2, las perpendiculares a F1F2 se determinan los puntos A, B, C, D sobre la
circunferencia trazada anteriormente; uniendo A con B y C con D se determina el eje no trans-
verso MN.
3. Se marcan sobre el eje xx, desde uno de los dos focos, varios puntos arbitrarios 1, 2, 3, etcétera;
haciendo centro en F2 con radio V2l, se trazan dos arcos uno encima y otro debajo del eje;
haciendo centro en F1 con radio V1l, se trazan otros dos arcos que cortarán a los ya trazados en
P1, P2; análogamente, con los mismos radios e invirtiendo los centros, se obtienen los puntos P3,
P 4.



4. Cada construcción nos da, pues, 4 puntos de la hipérbola, los cuales uniremos después con una
línea continua, por medio de la plantilla para curvas, obteniendo la hipérbola pedida.

y

A M B
Q3 Q1
P3 P1

x F1 V1 O V2 F2 x
f f 1 2 3 4 5 6 7

P4 P2
Q4 Q2
N
D C
y

Problema nº. 56. Construir una rama de hipérbola equilátera, dadas las asíntotas Ox y Oy y un punto
A.
C A 1 2 3 4 5 6 7

1' P

2' Q
3' R
4' S T
6'

0 B X

1. Se trazan desde A las perpendiculares AB y AC a las asíntotas.
2. Tomando sobre la prolongación de AC un número arbitrario de puntos, 1, 2, 3, 4, etc., se unen
estos puntos con O.
3. Por los puntos de intersección 1', 2', 3', etc., de estas rectas con la perpendicular AB, se trazan
segmentos paralelos a la asíntota Ox; por los puntos l, 2, 3, etc., se trazan paralelas a la asíntota
Oy. Los puntos de intersección P, Q, R, S, etc., de cada par de segmentos son otros tantos pun-
tos de la hipérbola pedida, que se podrá trazar uniendo estos puntos mediante una línea
continua, valiéndose de una plantilla para curvas.



Problema n.° 57. Construir una parábola, dado el foco y la
directriz.
F
G 1. Trazada la directriz d, por F1 se le traza la perpendicular,
d
D
E que será el eje Ox, y se determina el vértice de la
C parábola en el punto medio del segmento OF1. A partir
B del foco, se señalan sobre el eje varios puntos
A
arbitrarios, 1, 2, 3, etcétera, por los que se levantan las
perpendiculares a Ox, que serán paralelas a la directriz.
O V F X
1
1 2 3 4 5 6 2. Con centro en F1 y radio OF1 se trazan dos arcos que
cortan en A y A' la perpendicular de F1; A y A' son puntos
A' de la parábola.
B' 3. Haciendo otra vez centro en F1 con radio O1, se trazan
C' dos arcos que cortarán en otros dos puntos de la
D'
E' parábola, B, B', a la perpendicular de 1. Se continúan
F'
G' determinando, de modo análogo, otros puntos de la
parábola.
4. Uniendo con una línea continua los puntos así de-
terminados, se obtiene la parábola pedida.

Problema n.° 58. Trazar una parábola, dados el vértice V, el eje Vx y un punto C.
1. Se busca el punto D, simétrico del C A 1 2 3 4 5 6 7 C
respecto al eje. Por V se levanta la 7
perpendicular al eje y por C y D se trazan 6
las paralelas al eje Vx, AC y BD. 5
4
T
S
2. Se dividen DB y AC en un número 3 R
cualquiera de partes iguales (por ejemplo, 21 P
Q

8); se dividen igualmente VA y VB en el x
V
mismo número de partes iguales.
3. Por cada punto de división de VA y VB se 1 P'
Q'
traza una paralela al eje; se unen luego 2 R'
3
con el vértice los puntos de división de 4 S'
T'
AC y BD. Los puntos de intersección PP', 6 5

QQ', RR', etc., de los segmentos V1, V2, 7
etc., con la correspondiente paralela al B 1 2 3 4 5 6 7 D
eje, son puntos de la parábola.
4. Uniendo los puntos así determinados con una línea continua y empleando la plantilla para
curvas, se obtiene la parábola medida.

Problema n.° 59. Dibujar la envolvente de una parábola dados el eje Ox, una tangente a y su punto
de contacto P con la misma (Figura 5.5 a).
1. Se traza la tangente b, simétrica de a respecto al eje, en la que se señala el punto Q de
contacto, simétrico de P.
2. Se dividen OP y OQ en el mismo número de partes iguales, por ejemplo, 12, que se numeran en
sentido contrario.
3. Uniendo los números correspondientes 1-1', 2-2', 3-3' etc., se obtiene la envolvente pedida.



Con una construcción muy semejante, se dibujan enlaces parabólicos (véase n.° 18), muy usados en
las aplicaciones mecánicas. La Figura 5.5 b indica la construcción de un enlace parabólico entre dos
segmentos AB y CD.

a
12 C
10
11 P
9
8
7
6
5
4
3 D6
2
1
x 5
O
12'
11' 4
10'
9'
8' 3
7'
6'
2
5'
4'
3' 1
2' Q
1'
A B 0
b 0 1 2 3 4 5 6

a) b)

Problema nº. 60. Construir una parábola por el método de los
A A'
alejamientos.
1. Dado el rectángulo circunscrito, puede trazarse la parábola
B B'
calculando los alejamientos de la curva medidos a partir de la
C C' recta OA. La longitud de estos alejamientos varía en razón
directa del cuadrado de las distancias a ellos desde el punto O.
D D' 2. Si se divide A en cuatro partes, DD’ será igual a un
dieciseisavo de AA’.
O
3. CC’, como está al doble de la distancia de O que DD’, será
igual a cuatro dieciseisavos de AA’, y BB’, igual a nueve
dieciseisavos.
4. Si se hubiera dividido OA en cinco partes, las relaciones serían
1/25, 4/25, 9/25 y 16/25, siendo el denominador de cada caso
el cuadrado del número de divisiones.
Este método lo utilizan los ingenieros civiles para trazar arcos
parabólicos.



3'
Problema n.° 61. Construir una espiral de 2' 4'
Arquímedes, dado el paso ON.
1. Se traza una circunferencia de radio ON y se
dividen circunferencia y paso en el mismo 1' 5'
número de partes iguales (por ejemplo, 12).
2. Con centro en O y radio O1, se traza un arco C D

1A, determinando un primer punto A de la B E
A
espiral sobre el radio O1'. N
12' 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O F 6'

3. De modo análogo se procede para los puntos
2, 3, 4, etc., determinando otros tantos puntos G
B, C, D, E de la espiral. M

4. Con ayuda de una plantilla para curvas se 11'
H
7'

unen con una línea continua los puntos de la L
I
espiral así determinados.
10' 8'

9'

Problema n.° 62. Construir una espiral, dado el
paso (construcción aproximada con sólo dos
centros).
1. Se traza la recta a, en la que se marca el paso
OB y se determina su punto medio O1.
2. Haciendo centro en O1 con radio O1B, se traza
G E C A
O O1
B D F H
a
una semicircunferencia AB.
3. Haciendo centro en O, con radio OB, se traza
una semicircunferencia BC, que enlace con la
anterior.
4. Haciendo centro en O1 con radio O1C, se traza
una nueva semicircunferencia, y así
sucesivamente.

Problema n.° 63. Construir una espiral, dado el paso
(construcción aproximada de 3 centros, llamada del
triángulo). c
1. Se dibuja un triángulo equilátero PQR, tuyos
lados sean iguales a 1/3 del paso; se prolongan C

sus lados dando las semirrectas a, b, c, luego con
centro en P y radio PR, se traza el arco RA.
2. Con centro en Q y radio QA, se traza el arco AB. R
P a
3. Con centro en R y radio RB, se traza d arco BC. Q A

4. Se prosigue del mismo modo, haciendo centro
sucesivamente en P, Q, R y aumentando B

correlativamente los radios, hasta haber dibujado b
el número de espiras deseado.



I

d
Problema n.° 64. Construir una espiral, dado
E
el paso (construcción aproximada de 4
centros, llamada del cuadrado).
1. Se dibuja un cuadrado PQRS, de lado
A
c S P
igual a un cuarto del paso dado,
H D a L prolongando los lados en las semirrectas
R Q B F
a, b, c, d.
2. Se continúa la construcción de modo
C análogo al indicado para el problema
b
anterior.
G

Problema nº. 65. Dibujar la envolvente de un círculo.
1. Se divide la circunferencia dada en un número cualquiera de partes iguales (por ejemplo, 16) y
se trazan los radios correspondientes a cada división.
2. Por los puntos de división 1, 2, 3, 4, etc., de la circunferencia se le trazan las tangentes.
3. Haciendo centro en 1, con radio igual a la longitud del arco 1P, se traza el arco PA.
4. Haciendo centro en 2, con radio igual a la longitud del arco 2A, se traza el arco AA1.
5. Análogamente se trazan los arcos A1A2, A2A3, A3A4, etcétera, con lo que se obtiene la
envolvente pedida.
De modo análogo se traza el desarrollo de un arco de cualquier curva.
A7
A6

A5
A8
A4

A3 4
3 5
2
A2 6
1
7 A9
A1 P
A 15 O 8

14 9
13 10
12 11 A10

Problema nº. 66. Dibujar una cicloide. Se recuerda que la cicloide es la curva geométrica descrita
por un punto dado de una circunferencia, al rodar, sin resbalar, sobre una recta.
1. Se dibujan la circunferencia generatriz de radio R y la recta r en la posición indicada en la figura,
y se divide la circunferencia en un número cualquiera de partes iguales, por ejemplo, 16; por los
puntos de división 1’, 2’, 3’, 4’, etc., se trazan las paralelas a r.
2. Se dibuja el desarrollo AB de la circunferencia, en el que se señalan los puntos de división 1, 2,
3, 4, etc.



3. Imagínese que la circunferencia rueda (sin resbalamiento) sobre la recta r. Cuando el punto de
división 1’ se superponga al 1, el punto A se habrá trasladado a A1. Este se determina haciendo
centro en O1 y trazando un arco de circunferencia de radio R hasta cortar la horizontal del punto
1’.
4. Cuando el punto 2’ de la circunferencia se confunda con 2, el punto A se habrá trasladado a A2,
otro punto de la cicloide. Para determinarlo, se procede de modo análogo, haciendo centro en
O2 y trazando el arco 2A2, hasta su intersección con la horizontal de 2’.
5. Análogamente se van determinando los otros puntos de la cicloide, que se puede dibujar
fácilmente con ayuda de la plantilla para curvas.

R O O1 O2 4' O3 O4
A4
A3 3'

A2 2'
A1 1'

A 1 2 3 4 5 6 r B

Problema n.° 67. Dibujar una epi- y una
hipocicloide. 1 2 3
4
La epicicloide y la hipocicloide son las 8'
1'
5
curvas descritas por un punto de una 7'
2' 6
circunferencia, cuando ésta rueda sobre O
O1 O2 O3
O4 7
otra circunferencia, sea por e1 exterior o 6' 3'

el interior de la misma. 8

Se repite la construcción precedente, 5'
4'

con la única diferencia de que la
rodadura de 1a circunferencia se realiza R
sobre una circunferencia (por el exterior
o el interior) en vez de hacerlo sobre una
recta; y por lo tanto, en lugar de trazar
las rectas paralelas a la recta r, se
dibujan las circunferencias concéntricas
con aquella sobre la que se efectúa el
rodamiento. El resto de la construcción O'

es idéntico.



5'
4'
6'
O 3'

7' 2'
1' O1
8'
O2
1
O3
2
3 O4
4
5
6

7
O' 8

Problema nº. 68. Trazar una curva en Perfil de Gola.
1. Se dan las dos rectas paralelas AB y CD.
2. Se unen B y C por medio de una recta y
luego se levantan perpendiculares en A B
dichos puntos.
3. Sobre la línea BC, se toma el punto E, por O1 F
donde se desea que pase la curva. E
4. Se bisecan BE y EC por sus mediatrices, y
O2
luego se extienden éstas hasta cruzarse G
con la perpendicular más cercana (puntos
F y G). C D
5. Con centro en la unión de la perpendicular
con su mediatriz (F) se traza el arco BE y
luego con centro en G se traza el arco EC.

Problema nº. 69. Trazar una Curva Tangente a
C E
Tres Líneas.
J D
I Se dan dos rectas AB y CD cortadas por una línea
M
EF en los puntos E y F.
G 1. Sobre la línea EF se toma un punto G, por
donde se desea que pase la curva.
H 2. Se traza una perpendicular bilateral HI a EF.
K
3. Con E como centro y radio de EG se corta a
A B CD en el punto J.
L F
4. Se traza una perpendicular desde el punto J
hasta cortarse HI en K.
5. Con F como centro y radio de FG se corta a



AB en el punto L.
6. Se traza una perpendicular desde el punto L hasta cortarse HI en M.
7. K y M son los centros para construir los arcos tangentes a las tres líneas.

Problema nº. 70. Trazar una Curva de talón entre dos líneas que no son paralelas.
1. Se dibuja una línea perpendicular a la línea AB y que pase por el punto B. Sobre la línea
perpendicular se define el centro de uno de los arcos como el punto H. Se dibuja el arco y una
línea GR perpendicular a la línea CD que pase por el punto C. El radio CG se hace igual al radio
BH. Se dibuja la línea HG.
2. Se construye un bisector perpendicular a la línea HG.
3. Se extiende este bisector perpendicular a la línea GR. Se marca el punto de intersección O. El
radio del segundo arco será igual a la línea CO, siendo O el centro del arco. Se dibuja el
segundo arco, el cual será tangente al primero. Esto completa la curva en talón.
D G D
C
C
H

A B A B R

Dadas Paso 1

G D G D
C C
H H

A B A B
O
R R
Paso 2 Paso
3

Problema nº. 71. Construir una hélice cilíndrica.
1. Las vistas de perfil e inferior del cilindro están dadas como se muestra en la figura. Se divide la
vista inferior del cilindro en varios segmentos iguales, por ejemplo 12.. Se dibuja una línea AB
igual a la circunferencia del cilindro y se divide en el mismo número de partes iguales.
2. En el punto 12, se dibuja una línea BC perpendicular a la línea AB con una longitud igual a la
altura del cilindro. La línea BC recibe el nombre de avance. Se dibuja la línea AC para formar el
ángulo de la hélice. En cada punto de la línea AB, se construye una línea perpendicular que
cruce a la línea AC (esta línea se conoce como línea del ángulo de paso).
3. Se proyectan líneas desde cada punto sobre la circunferencia de la vista inferior del cilindro
hacia la vista de perfil de éste. Se proyectan líneas desde las intersecciones sobre la línea del
ángulo de paso hasta la vista de perfil del cilindro. La línea de proyección desde el punto 1 del
círculo debe cruzar la línea de proyección del punto 1 sobre la línea AC, etc. Se unen los puntos
de intersección en la vista de perfil del cilindro con una curva suave para formar la hélice.



c
Angulo de la hélice 23º
Avance Avance

B

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Desarrollo del cilindro
7 6
8 5
9 4
10 3
11 2
12 1
7

Problema nº. 72. Construir una hélice cónica. 8 6

1. Dado el paso, el diámetro y la altura del cono, se construyen
las vistas de planta y frontal.
1 5
2. Se divide la circunferencia de la base (vista de planta) en un
número conveniente de partes (por ejemplo 8) y se designan
dichas partes. 2 4
3. Se proyectan estos puntos a la base de la vista frontal y se 3
designan dichos puntos.
4. Se trazan líneas suaves desde estos puntos hasta el vértice
del cono.
5. Se divide el paso en el mismo número de partes iguales y se
designan dichas partes como se indica en la figura.
6. Los puntos de intersección de las líneas con números 1
correspondientes pertenecen a la hélice cónica. Nota: como 8
7
los puntos 6 a 8 están en la parte posterior del cono, la curva 6
helicoidal cónica que parte de 5 y pasa por los puntos 6, 7, 8 y Paso 5

1 aparecerá como una línea oculta. 4
3
2
1
1 2 3 4 5
8 7 6


Capitulo 5

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Similar a Capitulo 5

Más de Adrian Perez

Capitulo 5