Rect,planos,poligonos

9.1 MA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
PROYECCIONES ORTOGONALESPROYECCIONES ORTOGONALES
La proyección de un punto sobre un plano es el pie de
la perpendicular trazada desde el punto al plano.
La proyección de un segmento sobre un plano es el
conjunto de puntos que son las proyecciones de los puntos
del segmento sobre el plano.
P´; y´Q´P;É;ĆD;´BÁ L´ son las
proyecciones.
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANORECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
Una recta es perpendicular a un plano, cuando es
perpendicular a las infinitas rectas contenidas en dicho
plano.
Si: L ⊥ P
⇒ L ⊥ a
L ⊥ b
L ⊥ c
Observación:
Para que una recta sea perpendicular a un plano es
condición necesaria y suficiente que sea perpendicular a
dos rectas secantes contenidas en el plano.
Si: a ∩ b = {Q}
a y b ⊂ P;
L ⊥ a y L ⊥
b
⇒ L ⊥ P
TEOREMA DE LAS TRESTEOREMA DE LAS TRES
PERPENDICULARESPERPENDICULARES
Si por el pie de una recta perpendicular a un plano,
trazamos una recta perpendicular a una recta contenida en
dicho plano, entonces, toda recta que pase por el pie de la
segunda y por un punto cualquiera de la primera, será
perpendicular a la recta contenida en dicho plano.
Si: 1L ⊥ P;
a ⊂ P y
2L ⊥ a
⇒ 3L ⊥ a
Es decir: x = 90°
ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UNÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN
PLANOPLANO
El ángulo entre una recta y un plano, es el ángulo que
determinan la recta con su proyección sobre dicho plano.
m : proyección de L
sobre el P
θ : medida del ángulo
entre L y el P
DISTANCIA ENTRE 2 RECTASDISTANCIA ENTRE 2 RECTAS
ALABEADASALABEADAS
Sólo existe un segmento perpendicular a dos rectas
alabeadas cuyos extremos están en dichas rectas, quien
recibe el nombre de distancia entre ellas.
d: distancia entre 1L y
2L
PLANOS PERPENDICULARESPLANOS PERPENDICULARES
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
P
´´
A´
B´ DĆ
P
A
B D
Proyectante
E´
P
Q´ L´
E
P´
Q L
P
b
ca
L
P b
Qa
L
P
L1
a
L2
L3
x
L1
L2
d
P
L
m
θ
P
L1
a
L2
L3
x

Rectas, Planos y Poliedros Reg.
Dos planos son perpendiculares cuando dichos planos
determinan un ángulo diedro que mide 90°.
Si: θ = 90
⇒ P ⊥ Q
1. Sobre el vértice de un rectángulo de lados 3 y 4 se
levanta una perpendicular que mide 12. Hallar la
distancia del vértice opuesto a la perpendicular a la
parte superior de dicha perpendicular.
2. La proyección de un segmento AB, sobre un plano Q,
es el segmento AF. Si AF mide 12 cm y AB forma
con Q un ángulo de 37°, hallar la longitud de AB .
3. Las distancias de 2 puntos “A” y “B” a un plano “φ” son
de 6 y 2 m. Estando dichos puntos en diferentes
semiespacios del plano de tal manera que la
proyección de AB sobre el plano es de 15 m, hallar
AB.
4. La distancia de un punto E a un plano H es EF = 8 cm.
La distancia de E a una recta m, contenida en H, es
EM = 17 cm. Hallar FM.
5. Se tienen 2 cuadrados perpendiculares ABCD y
ADEF cuyos lados miden 2 3 . Calcular la distancia
de B a E.
6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la
altura BH , tal que AH = 2 y CH = 3. Luego, por el
vértice B se levanta BE = 10 , perpendicular al
plano del triángulo ABC. Calcular el área del triángulo
ACE.
DEFINICIÓNDEFINICIÓN
Es aquel sólido limitado por cuatro o más regiones
poligonales planas, dichas regiones se denominan caras
del poliedro, los lados de las caras se denominan aristas.
Poliedro Convexo Poliedro no Convexo
o Cóncavo
POLIEDROS REGULARESPOLIEDROS REGULARES
Definición
Es aquel poliedro en el cual sus caras son regiones
poligonales congruentes entre sí, de modo que en todos
sus vértices concurran el mismo número de aristas.
Sólo existen cinco poliedros regulares los cuales son:
TETRAEDRO REGULARTETRAEDRO REGULAR
Limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras.
Notación: Tetraedro regular L – ABC
Altura : LG =
3
6a
Área de la superficie : A = a2
3
Área lateral : AL = 3a2
4
3
Volumen : A =
12
2a3
Del gráfico:
G : baricentro de la región triangular ABC
Desarrollo de la superficie del tetraedro regular
- 2 -
P
θ
A B
C
L
a
G

HEXAEDRO REGULARHEXAEDRO REGULAR
Limitado por seis regiones cuadradas.
Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH
Diagonal : AG = a 3
Área de la superficie : A = 6a2
Área lateral : AL = 4a2
Volumen : V = a3
Observación: O : centro del hexaedro regular.
Desarrollo de la superficie del hexaedro regular
OCTAEDRO REGULAROCTAEDRO REGULAR
Limitado por ocho regiones triangulares equiláteras.
Notación: Octaedro regular M – ABCD – N
Diagonal : MN = a 2
Área de la superficie : A = 2a2
3
Volumen : V =
3
2a3
Observación:
O : centro del octaedro regular.
ABCD ; AMCN ; BMDN : cuadrados
Desarrollo de la superficie del octaedro regular
DODECAEDRO REGULARDODECAEDRO REGULAR
Limitado por doce regiones pentagonales regulares.
Desarrollo de la superficie del dodecaedro regular
ICOSAEDRO REGULARICOSAEDRO REGULAR
Limitado por veinte regiones triangulares equiláteras.
Desarrollo de la superficie del icosaedro regular
1. En un hexaedro regular, la longitud de una diagonal es
12 cm. El área de una cara es:
- 3 -
A
E
B C
D
G
H
F
O
a
a
a
A
B C
D
M
N
O
a

2. En un hexaedro regular cuya área total es 216 cm2
,
hallar la distancia entre los centros de dos caras
adyacentes.
3. Calcular el área lateral de un cubo, si tomamos en su
interior un punto de manera que la suma de las
distancias de dicho punto a todas las caras es 18.
4. El desarrollo de la superficie lateral de un cubo es un
rectángulo de diagonal 17 m. Calcular el volumen
del cubo.
5. En un tetraedro regular de arista 9 cm, hallar la
distancia del baricentro de una cara al plano de otra
cara.
6. Calcular la arista del hexaedro regular, en el cual la
distancia de un vértice a diagonal del cubo es 6 m.
7. Calcular el volumen de un tetraedro regular formado
por un triángulo equilátero de 36 3 m2
de área.
8. Calcular el área del triángulo MNL, si el volumen del
cubo es 64 y M, N , L son puntos medios.
1. A es un punto que está sobre un plano P. B es otro
punto fuera de P, tal que AB forma un ángulo de
30° con P. La distancia de B a P es 12. Hallar AB.
A) 6 B) 8 C) 12 D) 24 E) N.A.
2. ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. Se eleva AF ,
perpendicular al plano ABCD, tal que AF = 4 cm.
Hallar FC.
A) 4 2 cm C) 8 2 cm E) 6 cm
B) 8 cm D) 4 3 cm
3. Un plano P tiene un una inclinación de 60° sobre el
plano Q. ¿A qué distancia del plano Q se debe trazar
otro plano paralelo que corte a P, tal que sus
intersecciones disten 42 cm?
A) 21 cm C) 21 2 cm E) 42 2 cm
B) 31,5 cm D) 21 3 cm
4. Sean A y B dos puntos situados por encima de un
plano. Las perpendiculares bajadas desde A y B al
plano miden BP = 7 y AQ = 13. Calcular la distancia
de “M” al mismo plano, siendo M punto medio del
segmento AB .
A) 11 B) 9 C) 8 D) 10 E) 12
5. Se tiene un segmento de recta AB de 8 m situado
en un plano π y un punto P que dista 12 m de dicho
plano. Hallar la distancia de AB a la proyección del
punto P sobre el plano π si: AP = BP = 13 m.
A) 5 m B) 4 m C) 4,5 m D) 3 m E) 6 m
6. En un triángulo los catetos AB y BC miden 1 y 2
cm. Por el vértice B del ángulo recto se traza una
perpendicular BF = 10 cm, al plano del triángulo.
Calcular el área del triángulo AFC.
A) 6 cm2
C) 1,5 6 cm2
E) 0,5 6
cm2
B) 2 6 cm2
D) 2,5 6 cm2
7. Los triángulos equiláteros ABD y ABC de lado “a” se
sitúan en dos planos perpendiculares. Hallar la
distancia de baricentro del triángulo ABD al punto
medio de AC .
A) a 2 /3 C) a 3 /3 E) a 2 /2
B) a 3 /2 D) a 2 /4
8. Un triángulo equilátero ABC está en un plano
perpendicular a un cuadrado ABDE. El segmento de
recta que une el punto medio de AC con el punto
medio de AD mide 1 m. Hallar el área del
cuadrado.
A) 3 m2
B) 1 m2
C) 2 m2
D) 4 m2
E) 5 m2
9. En una circunferencia de 5 m de radio se traza un
diámetro AB y una cuerda AC de 8 m de
longitud. Por el punto B se levanta BF = 6 m,
perpendicular al plano de la circunferencia. Hallar el
área del triángulo FCA.
A) 24 2 m2
C) 36 m2
E) 48 2 m2
B) 24 m2
D) 48 m2
- 4 -
M
N
L

10. Existen _____ poliedros regulares cuyas caras son
triángulos equiláteros.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
11. Se da un icosaedro regular de 1 m de arista. Hallar el
área total.
A) 20 m2
C) 3 5 m2
E) 2 5 m2
B) 5 2 m2
D) 5 3 m2
12. Hallar el volumen de un octaedro regular de arista 3
cm.
A) 9 cm3
C) 9 6 cm3
E) 6 3 cm3
B) 9 3 cm3
D) 9 2 cm3
13. La altura de un tetraedro regular mide 2 cm. Hallar la
arista.
A) 2 6 cm C) 3 2 cm E) N.A.
B) 2 3 cm D) 6 cm
14. Hallar el ángulo formado por dos diagonales
cualesquiera de un octaedro regular.
A) 90° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°
15. ¿Cuánto debe medir la arista de un cubo para que su
diagonal sea igual a la altura de un tetraedro regular
de arista igual a “”?
A)  3 / 2 C)  2 / 2 E)  2 / 3
B)  6 / 3 D)  3 / 3
16. En el hexaedro regular de arista “a” mostrado, hallar el
área del triángulo ABM, siendo “M” punto medio de la
arista CD .
A) a2
6
B) a2
/ 2
C) a2
D) a2
3 / 2
E) a2
2
17. Hallar la razón entre las áreas de un cubo y un
octaedro que tiene como vértices los puntos centrales
de las caras del cubo.
A) 2 2 C) 3 E) 3 3
B) 3 2 D) 2 3
18. Encontrar el área total de un octaedro regular
sabiendo que el segmento que une dos vértices
opuestos del octaedro mide 1 m.
A) 3 m2
C) 4 3 m2
E) N.A.
B) 2 3 m2
D) 8 3 m2
19. ¿Que relación existe entre las áreas totales de dos
hexaedros regulares, si se sabe que la arista de uno
de ellos es igual a la diagonal del otro?
A) 1 : 2 C) 1 : 4 E) 1 : 3
B) 1 : 3 D) 1 : 6
20. El área de una cara de un tetraedro regular es de 40
cm2
. ¿Cuál es el área del polígono que se obtiene al
unir los puntos medios de tres aristas?
A) 20 cm2
C) 5 cm2
E) N.A.
B) 10 cm2
D) 2,5 cm2
21. Si partiendo de un cierto vértice de un cubo, se trazan
las diagonales de dos caras contiguas, hallar el ángulo
que forman.
A) 45° B) 30° C) 90° D) 60° E) 120°
22. En el cubo que se muestra, la arista mide 6 cm.
Determinar el área del rectángulo ABFE.
A) 36 cm2
B) 36 2 cm2
C) 18 2 cm2
D) 18 cm2
E) 72 cm2
23. Hallar el área de la región sombreada, si el sólido es
un cubo de arista “a”.
A) a2
2 / 2
B) a2
3 / 4
C) a2
3 / 8
D) a2
2 / 4
E) N.A.
24. En el cubo de arista “a”, GP = PQ = QD, hallar el área
de la región sombreada.
A) a2
2 / 4 D) 3 a2
2 / 4
B) 2a2
E) 3a2
C) 2a2
2 / 3
25. En el cubo mostrado, O es centro de la cara ABCD.
Hallar “x”.
- 5 -
A
B
C
D
M
A
B C
D
E
F
G
H
A
G
C
D
B
F
E
H
P
Q
A
G
C
B
D
F
E
x
O
2a

A)
2
7a
C) a 5 E)
2
6a
B) a 7 D) a 6
26. Calcular el volumen de un cubo, sabiendo que la
suma de sus diagonales es 12 3 .
A) 216 C) 64 E) 27
B) 9 3 D) 32
27. Hallar el volumen de un cubo, si la suma de una de
sus diagonales con la diagonal de una de sus caras es
3 + 2 .
A) 1 C) 2 E) N.A.
B) 3 D) 5 + 2 2
28. Hallar la distancia GH entre los baricentros de dos
caras contiguas de un tetraedro regular de arista “a”.
A) a/2
B) a/2
C) a/3
D) 2a/3
E) a 3 / 3
29. Dado un triángulo equilátero ABC, por el vértice B se
traza un segmento BQ perpendicular al plano del
triángulo. Si BQ = AC =2 2 cm y M es punto medio
de BC , hallar QM.
A) 10 cm C) 2 6 cm E) 11 cm
B) 2 5 cm D) 10 cm
30. En un tetraedro regular, de aristas con longitud “a”
cada una, hallar la distancia entre los puntos medios
de dos aristas opuestas.
A) a 2 C)
3
2a
E)
2
2a
B)
4
2a
D) a
31. Hallar el área de la proyección de una cara sobre otra,
en un tetraedro regular de arista con longitud “a”.
A)
4
3a2
C)
12
3a2
E)
9
3a2
B)
8
3a2
D)
16
3a2
32. En un tetraedro regular de arista lateral 27 cm, hallar
la longitud de la proyección de la altura sobre una
cara.
A) 12 cm C) 12 2 cm E) 9 3 cm
B) 12 3 cm D) 9 cm
33. En un hexaedro regular, hallar la distancia de un
vértice al centro de una cara que no lo contiene. El
volumen del hexaedro es 8 cm3
.
A) 3 cm C) 2 cm E) 5 cm
B) 6 cm D) 4 cm
34. Si se unen los centros de las caras de un hexaedro
regular, se forma un(a):
A) pirámide cuadrangular
B) tetraedro regular
C) hexaedro regular
D) dodecaedro regular
E) octaedro regular
35. ¿Cuántas caras tendrá el sólido que se forma al unir
los puntos medios de las aristas de un hexaedro
regular?
A) 12 B) 16 C) 14 D) 18 E) 15
36. Si se unen los baricentros de las caras de un octaedro
regular de arista 6 cm, se forma un sólido de volumen:
A) 16 cm3
C) 8 cm3
E) 8 2 cm3
B) 16 3 cm3
D) 16 2 cm3
37. Un cubo y un tetraedro regular tienen igual volumen.
Las aristas de estos sólidos tienen longitudes que son
entre sí como:
A) 1 B) 2 C) 6
72 D) 6
36 E)
6
18
38. Hallar la distancia entre los baricentros de dos caras
de un tetraedro regular, cuyas aristas tienen longitud
“a” cada una.
A) a B)
2
a
C)
4
a
D)
3
a
E)
3
2
a
- 6 -
G
H

39. Calcular la arista del hexaedro regular mostrado, si la
distancia del centro “O” de la cara superior a la
diagonal BC es 6 m.
A) 3 m
B) 2 3 m
C) 3 m
D) 3 2
E) 6 m
40. Sobre las aristas OCyOB,OA de un
tetraedro regular se ubican los puntos M, N y L de
modo que OM = 8 , NO = 6 y OL = 3. Calcular el
volumen del tetraedro O – MNL.
A) 6 B) 6 2 C) 12 D) 12 2 E)
N.A.
- 7 -
H
A
B
C
O

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