Descripción de la construcción de rectas tangentes a circunferencias, circunferencias tangentes a otra, elipses y espirales.

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán
Rogelio Ugalde Hernández
Diseño y Comunicación Visual
1er Semestre
Geometría

2. PROBLEMA 1.
Dado el ángulo agudo ABC dividirlo por la mitad.
1ª Solución.
1.- Haz vértice en V y traza un arco de longitud arbitraria, que corte ambos
lados del ángulo. Los puntos de intersección con el ángulo denomínalos D y E.
2.- Traza sucesivamente haciendo eje en cada uno de los puntos D y E, arcos
arbitrarios pero iguales que se intercepten en F, dentro del ángulo y en el punto
más alejado del vértice B.
3.- Dibuja la línea FB, ésta es la resultante.
2ª Solución.
1.- Coloca el transportador de tal manera que el centro coincida con el vértice
B del ángulo dado, y alinea el cero con el lado inferior BC del ángulo.
2.- Mide cuántos grados tiene el ángulo; divide esta magnitud entre dos.
3.- Localiza la cantidad que te resultó en el cociente anterior y traza un punto D.
4.- Dibuja la línea BD y ésa es la resultante.

3. PROBLEMA 2.
Trazar la bisectriz del ángulo formado por las rectas AB y CD, cuyo vértice
cae fuera del campo de dibujo.
1ª Solución.
Traza dos líneas paralelas equidistantes a os lados y dentro del ángulo dado,
de manera que éstas se crucen dentro del campo de dibujo.
2.- Denomina el ángulo EFG, formado por las rectas que acabas de dibujar.
3.- Encuentra la bisectriz de EFG; ésa es la resultante.
2ª Solución.
1.- Traza dos puntos E y F, uno en cada segmento dado y de manera
arbitraria.
2.- Dibuja la recta EF para que se formen cuatro ángulos.
3.- Denomina los cuatro: AEF, BEF, CFE y DFE.
4.- Encuentra la bisectriz de cada uno de estos ángulos.
5.- Donde se interceptan las bisectrices de los ángulos AEF y CFE encuentra el
punto G.
6.- Donde se interceptan las bisectrices de los ángulos BEF y DFE encuentra el
punto H.
7.- Traza la recta GH, que es la resultante.

4. PROBLEMA 3.
Trazar la mediatriz del segmento AB.
1ª Solución.
1.- Haciendo sucesivamente eje en los puntos A y B, con un radio mayor que
la media del segmento dado, traza dos semicircunferencias que se corten
por arriba y por abajo del segmento.
2.- El punto de intersección superior denomínalo C y al punto de intersección
inferior denomínalo D.
3.- Traza la resultante, uniendo los puntos C y D; ésta es la mediatriz, porque
está formada por dos ángulos rectos convergentes.
2ª Solución.
1.- Alinea las escuadrasen primera posición con el segmento dado.
2.- Desliza la escuadra de 45 por debajo del segmento; manteniendo esta
escuadra como guía, pasa a la tercera posición.
3.- Por los puntos dados (usando la inclinación de 60 grados de la escuadra),
traza rectas con inclinaciones de 60 grados por el punto A y de 120 grados
por el punto B.
4.- La intersección denomínala C y traza una recta perpendicular al
segmento dado que pase por el punto C; ésa es la resultante.
3ª Solución.
1.-Calcula el punto medio de A y B sacando el promedio de las coordenadas, si
A(4,4) y B(8,8) entonces C(x1+x2/2,y1+y2/2), por lo tanto C(6,6)
C=(4+8/2,4+8/2)=(6,6)
2.- Calcula la inclinación de la recta, usando razones trigonométricas; por
ejemplo, tangente que es cateto opuesto (CO) ordenada Y, sobre cateto
adyacente (CA) abscisa X, CO=8-4=4, CA=8-4=4. Como la tangente es la razón
CO/CA=4/4=1, si consultas las tablas o usas la calculadora de tu computadora y
calculas la función inversa tangente de 1, InvTang=45.
3.- Calcula la inclinación de la bisectriz; a los 45 de la línea dada súmale 90,
45+90=135.
4.- Éstos son los datos que necesitas para dibujar una línea que pase por la mitad
y sea perpendicular; es una recta que pasa por el punto C(6,6) con una
inclinación de 135.

5. PROBLEMA 4.
Trazar, por un punto A de una circunferencia cuyo centro es B, una recta
tangente a la misma.
1ª Solución.
1.- Con centro en A y con un radio AB, traza un arco que corte a la
circunferencia en C.
2.- Traza una línea BC y prolóngala fuera de la circunferencia.
3.- Haciendo eje en C y con radio CA traza una semicircunferencia cuyo
diámetro es la recta dibujada en el punto anterior.
4.- En el extremo opuesto de B del diámetro localiza D; la resultante es la
línea que pasa por D y A. Por ser el ángulo BAD inscrito en una
semicircunferencia y por lo tanto recto, se demuestra que el radio BA es
perpendicular a la recta DA, y se comprueba el campo geométrico:
tangencia entre una recta y una circunferencia.
2ª Solución.
1.- Traza el radio BA con escuadras en primera posición.
2.- Gira la escuadra a la segunda posición y dibuja la resultante
perpendicular al radio por A.

6. PROBLEMA 5.
Trazar, por un punto A de un segmento BC, una circunferencia tangente a
la misma.
1ª Solución.
1.- Traza una recta perpendicular por el punto A, de acuerdo a uno de los
métodos vistos anteriormente.
2.- Localiza sobre la perpendicular un punto D.
3.- Haciendo eje en D con radio DA, dibuja la circunferencia resultante, ya
que siempre que el centro esté sobre la perpendicular y la circunferencia
pase por A, el radio de cualquier circunferencia será perpendicular a la
recta.

7. PROBLEMA 6.
Trazar una circunferencia externa y tangente a la circunferencia dada, de
centro A por el punto B.
1ª Solución.
1.- Prolonga el radio AB fuera de la circunferencia.
2.- Sobre la prolongación localiza el punto C.
3.- Haciendo eje en C y con radio CB, traza la circunferencia resultante, que
es tangente porque los radios se pueden superar vectorialmente.
2ª Solución.
Calcula el centro de la resultante, de tal manera que se encuentre alineado
con los puntos A y B dados. En este caso existen tres posibilidades.
1.- Si AB es paralela al eje X (horizontal), el valor de la coordenada en Y se
mantendrá y el de X se modificará para el centro de la circunferencia
resultante, en función de la longitud del radio; si A(2,3) y B(4,3) y r=1,
entonces C(5,3).
2.- Análogamente sucede cuando los puntos, de la circunferencia dada, se
alinean verticalmente; A(3,2), B(3,4) y C(3,5) si r=1.

8. PROBLEMA 6.
3ª Solución.
Para el caso en que la línea AB sea oblicua; A(0,0), B(6,4) y r=2. El cálculo se
muestra en radianes, que es un camino corto y con esos datos también se
ubica la posición del centro.
1.- Calcula la longitud AB aplicando el Teorema de Pitágoras.
a2+b2=c2, 36+16=c2, c=7.211102.
2.- Al segmento AB sumar r; 7.211102+2= 9.211102.
3.- Calcula la inclinación de AB usando la tangente trigonométrica:
Tang=CO/CA=4/6=0.6666667
4.- Consulta la inversa de la tangente y el ángulo es 33º.
5.- Con la longitud de origen al centro, la inclinación y el radio puedes
dibujar la circunferencia tangente.

9. PROBLEMA 7.
Trazar una circunferencia circunscrita tangente a la circunferencia dada,
de centro A, por el punto B.
1ª Solución.
1.- Sobre el radio de la circunferencia AB, localiza un punto C.
2.- haciendo eje en C y con radio CB, traza la circunferencia resultante.
2ª Solución.
Calcula el centro de la resultante, de manera que se encuentre alineada
con los puntos A y B:
1.- Si AB es paralela al eje Y (vertical) el valor de las coordenadas en X se
mantendrá y el de Y se modificará para el centro de la circunferencia
resultante, en función de la longitud del radio; si A(3,2) y B(3,4) y r=1,
entonces C(3,3).
2.- Análogamente sucede cuando los puntos, de la circunferencia dada, se
alinean horizontalmente; A(3,2), B(5,2) y C(4,2) si r=1.

10. PROBLEMA 7.
3ª Solución.
Para el caso en que AB sea oblicua; A(0,0), B(6,4) y r=2. El cálculo se muestra
en radianes, que es un camino corto y con esos datos también se ubica la
posición del centro.
1.- Calcula la longitud AB aplicando el Teorema de Pitágoras.
a2+b2=c2, 36+16=c2, c=7.211102.
2.- Al segmento AB sumar r; 7.211102-2= 5.211102.
3.- Calcula la inclinación de AB usando la tangente trigonométrica:
Tang=CO/CA=4/6=0.6666667
4.- Consulta la inversa de la tangente y el ángulo es 33º.
5.- Con la longitud de origen al centro, la inclinación y el radio puedes
dibujar la circunferencia tangente.

11. PROBLEMA 9.
Trazar una elipse isométrica.
1ª Solución.
1.- Dibuja una línea horizontal guía, colocando las escuadras en tercera posición.
2.- Con el vértice de 30º de la escuadra, trazar un ángulo cuyos lados tengan inclinaciones de 30º y 150º; de tal manera que
se intercepten en su parte baja; denomínalo A.
3.- Por A traza una línea vertical.
4.- Sobre la vertical localiza el punto B.
5.- Tomando como vértice superior a B, traza otro ángulo de inclinaciones en sus lados de 30º y 150º, de tal forma que sus
lados corten al primer ángulo (formando un rombo).
6.- Pasando por B y A traza sucesivamente líneas de 60º y 120º; en donde se cruzan éstas denomina los nodos C y D.
7.- En donde se cruzan las líneas del punto anterior con los lados del rombo, asigna los puntos tangenciales T1, T2, T3 y T4.
8.- Tomando como ejes sucesivamente A y B, con radio AT1, traza los arcos T1T2 y T3T4, para obtener los primeros dos arcos
componentes de la resultante.
9.- Haciendo eje en C y D, con radio CT1, traza los arcos T2T3 y T4T1, que cierran la elipse solicitada. Los arcos se conjugan
porque son tangentes, ya que sus radios se pueden sumar vectorialmente.

12. PROBLEMA 10.
Dibujar una elipse no isométrica.
1ª Solución.
1.- Traza dos líneas perpendiculares que se crucen por su centro; denomínalo A.
2.- Sobre cualquiera de las perpendiculares, equidistantes a A, localiza los nodos B y C (por ejemplo en la horizontal).
3.- Haciendo centros en B y C, con radios iguales, traza dos circunferencias C1 y C2.
4.- Sobre la perpendicular vertical, equidistantes a A, localiza los vértices D y E.
5.- Traza las rectas DB, DC, EB y EC, prolongándolos como diámetros de C1 y C2, localizando en los puntos más alejados de
los vértices los puntos tangenciales T1, T2, T3 y T4.
6.- Haciendo eje en D y en E respectivamente, traza los arcos T1T2 y T3T4.
7.- Por último borra la parte sobrante de C1 y C2 para que sólo quede la resultante.

13. PROBLEMA 11.
Trazar una espiral de un eje.
1ª Solución.
En la zona media de una recta localiza los puntos A y B con medio
centímetro de separación.
1.- Haciendo eje en A y con un radio AB traza una semicircunferencia que
toque en los puntos B y C a la recta.
2.- haciendo eje en B con radio BC traza otro semicírculo opuesto al anterior;
el último punto de intersección es D.
3.- Haciendo eje en C y con radio CD traza otro arco opuesto al inmediato
anterior, etc; etc.
2ª Solución.
1.- Sin importar la inclinación, siempre es más fácil calcular los puntos sobre
una paralela a cualquiera de los ejes, y una vez terminada la espiral, rotarla
a la posición deseada.
2.- Empezando desde el centro, calcula el valor de las coordenadas sobre un
eje horizontal.
3.- A(3,2), B(2,2), C(4,2), D(0,2) y E(8,2).

14. PROBLEMA 12.
Trazar una espiral de ejes múltiples de crecimiento áureo.
1ª Solución.
1.- Dibuja un cuadro de 1 x 1 de vértices A, B, C y D (denomina los vértices en
sentido contrario de las manecillas del reloj en todos los cuadros).
2.- Haciendo eje en A con radio AB dibuja el arco BD.
3.- Traza un cuadro de 2 x 2 adyacente al primero con vértice común D y
denomina los demás como E, F y G.
4.- Tomando como centro G con radio GD, traza el arco DF.
5.- Traza otro cuadro de 4 x 4 adyacente al de 2 x 2 con vértice común F y
denomina los demás H, I y J.
6.- Haz centro en J; con radio JF traza el arco FI.
7.- Dibuja otro cuadro de 8 x 8 adyacente al anterior con vértice común I y
nombra a los otros vértices K, L y M.
8.- Toma como centro M; con radio MI traza el arco IL.
2ª Solución.
1.- Realiza un esquema con los ejes a mano.
2.- Calcula las coordenadas: A(10,5), B(9,5), C(9,6), D(10,6), E(12,6), F(12,4),
G(10,4), H(12,0), I(8,0), J(8,4), K(0,0), L(0,8) y M(8,8).