DESIGUALDADES LOGARITMOS MATRICES

1. MATEMÁTICAS I
II BIMESTRE
ESCUELA: CONTABILIDAD Y AUDITORIA
Docentes: Econ. Francisco Ochoa O.
Ing. Diana Cuenca
FECHA: OCTUBRE/08 – FEBRERO/09
1

2. Matemáticas I
 Temas a Tratar:
1. DESIGUALDADES
2. LOGARITMOS
3. MATRICES

3. Desigualdades o Inecuaciones
1. DESIGUALDADES
x > 20; A >100; 1000 > 500
2. Inecuación: Mas de una variable
20Y − 30 > 10; 2 x − 5 x − 7 > 5 x − 20
2
3

4. INTERVALOS
 Son conjunto de números reales
 Tipos
 Abiertos: (a,b)
 Semiabierto Por la Izquierda: (a,b]
 Semiabierto Por la Derecha : [a,b)
 Cerrrados: [a,b]
 Ejemplos

5. EJEMPLOS
 (0,5)
 (-3,2)

6. TIPOS DE INECUACIONES
 LINEALES
ax + b < 0
 CON VALOR ABSOLUTO
|x|<a
 CUADRATICAS
ax^2 + bx + c < 0

7. LOGARITMOS
 El logaritmo es el exponente (o potencia)
a la que un número fijo, llamado base, se
ha de elevar para obtener un número
dado
a =N
n
n = log a N

8. PROPIEDADES DE LOS
LOGARITMOS
1.
log b (mn) =log b m + log b n
m
2. log b ( ) =log b m − log b n
n
1
3. log b ( ) =− log b m
m
4. log b 1 =0

9. PROPIEDADES DE LOS
LOGARITMOS
 5
log b b =1
 6
log b b =r r
 7
b =m
log b m
 8 log a m
log b m =
log a b

10. MATRICES
 Generalidades
 Una matriz es un conjunto de objetos
matemáticos de varios tipos, ordenados en
una estructura de filas y columnas
2 4 6
A = 1 5
Designar con
letras
 3 
filas
mayúsculas
3
 5 4

columnas
10

11. MATRICES
 La dimensión u orden de una matriz está dado por el
número de filas y columnas que contengan, y se
expresa primero el número de filas y luego el
número de columnas, así:
211 412 613  Elemento de la
matriz ubicado
A = 121
 322 523 

en la posición
a13 cuyo valor
331
 532 433 
 corresponde a
6
Orden de la matriz = #_filas x #_columnas = 3 x 3
5

12. TIPOS DE MATRICES
 Matriz Fila
A1 X 4 = [ 2 3 5 6] Una sola fila y n
columnas
 Matriz Columna
1
A3x1 = − 4
 
Una sola columna
6 y n filas
 
 Matriz Unitaria
A1x1 = [ 5] Una sola fila y una
sola columna
12

13. TIPOS DE MATRICES
 Matriz Cuadrada
2 4 6
A = 1 5
Igual número de
 3  filas y columnas
3
 5 4

Diagonal secundaria Diagonal principal
 Matriz Rectangular
2 0
A = 3 6
Diferente número de
  filas y columnas
−1 3 
 
13

14. TIPOS DE MATRICES
 Matriz Traspuesta
2 0 2 5 3 Se cambia la fila por
A = 5 −1 A = 
t
−1 2
columna
3 
2  0 

 Matriz Opuesta
2 1 − 2 −1 
Se cambia cada
A = 3
 6 A = − 3
  − 6

elemento por su
opuesto
−1 3 
  1
 − 3

14

15. TIPOS DE MATRICES
 Matriz Diagonal
2 0 0 Todos los elementos
A = 0 0
de la matriz son
 3 
nulos excepto los de
la diagonal principal
0
 0 4
 Diagonal principal
 Matriz Nula
0 0
= 0 0
Todos sus
03 x 2   elementos son cero
0
 0

15

16. TIPOS DE MATRICES
 Matriz Triangular
2 0 0 2 3 4 Matriz cuadrada que
A = 5 4  A = 0 4 6 
0
tiene todos los
elementos nulos por
   encima o debajo de
3 2 3 0 0 3
 
  la diagonal principal
Triangular Inferior Triangular Superior
 Matriz Identidad Cuadrada
1 0 0 0 Todos sus
0 1 0 0 elementos son cero
A=  excepto los de la
0 0 1 0 diagonal principal
  que son 1
0 0 0 1 16

17. OPERACIONES CON MATRICES
 SUMA Y DIFERENCIA
211 412 613  311 312 613 
A =  21
1 322 5 23 
 B =  21
1 2 22 2 23 

331
 532 4 33 
  31
3 132 433 
 a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 
A + B = a21 + b11
 a22 + b22 a23 + b23 

a31 + b31
 a32 + b32 a33 + b33 

2 + 3 4 + 3 6 + 6  5 7 12
A + B =  1 + 1 3 + 2 5 + 2  A + B = 2 5 7 
   
3 + 3 5 + 1 4 + 4
  6 6 8 
  17

18. OPERACIONES CON MATRICES
 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA
MATRIZ 2 4 11
6 12 
13
A =  21
1 322 5 23 * 2

331
 532 4 33 

2 * a11 2 * a12 2 * a13 
2 A = 2 * a21
 2 * a22 2 * a23 

2 * a31
 2 * a32 2 * a33 

2 * 2 2*4 2 * 6 4 8 12
2 A =  2 *1
 2*3 2 * 52 A = 2 6 10
  
2 * 3
 2*5 2 * 4
 6 10 8 
  18

19. OPERACIONES CON MATRICES
 PRODUCTO DE DOS MATRICES
211 412  El número de filas
211 312 113  de la primera
A3 X 2 =  21
3 5 22  B2 X 3 =
2 21 122 123  matriz debe ser
   
231
 332  igual al número de
columnas de la
 (a11 * b11 ) + (a12 * b21 ) (a11 * b12 ) + (a12 * b22 ) (a11 * b13 ) + (a12 * b23 )  segunda matriz
A * B =  (a21 * b11 ) + (a22 * b21 ) (a21 * b12 ) + (a22 * b22 ) (a21 * b13 ) + (a22 * b23 )
para poder operar
 (a31 * b11 ) + (a32 * b21 ) (a31 * b12 ) + (a32 * b22 ) (a31 * b13 ) + (a32 * b23 ) 
 (2 * 2) + (4 * 2) (2 * 3) + (4 *1) (2 *1) + (4 *1)  4 + 8 6 + 4 2 + 4 12 10 6
A * B =  (3 * 2) + (5 * 2) (3 * 3) + (5 *1) (3 *1) + (5 *1)  A * B =  6 + 10 9 + 5 3 + 5  A * B = 16 14 8
 (2 * 2) + (3 * 2) (2 * 3) + (3 *1) (2 *1) + (3 *1)   4 + 6 6 + 3 2 + 3 10 9 5
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20. 20