Este documento presenta diferentes medidas de dispersión para datos agrupados, incluyendo amplitud de variación, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación y asimetría. Explica cómo calcular estas medidas a partir de tablas de frecuencias y provee un ejemplo numérico para ilustrar los cálculos. También interpreta el significado de la desviación estándar y cómo se puede usar para comparar la dispersión entre conjuntos de datos.

1. Medidas de dispersión
(datos agrupados)
 Ing. Luis Delgado

2. Amplitud o intervalo de variación
Para calcular la amplitud de variación a partir de datos
agrupados en una distribución de frecuencias, se resta el límite
inferior de la clase más baja, del limite superior de la clase más
alta.
Expresándolo como fórmula seria :
=AMPLITUD DE
VARIACIÓN
Limite superior
clase más alta
- Limite inferior clase
más baja

3. Varianza y desviación estándar
Recordando la fórmula directa de la varianza:
𝑠2
=
σ 𝑥2
−
(σ 𝑥)
𝑛
2
𝑛 − 1
Se saca la conclusión que por cada x en datos agrupados
( En este caso x serian las marcas de clases) estaría
acompañada por su frecuencia.
𝑠2
=
σ 𝑓𝑥2
−
(σ 𝑓𝑥)
𝑛
2
𝑛 − 1
𝑠 =
σ 𝑓𝑥2 −
(σ 𝑓𝑥)
𝑛
2
𝑛 − 1
Varianza desviación estándar

4. Ejemplo
De la siguiente tabla de inversores se quisiera
saber la cantidad invertida promedio y su
desviación estándar
Cantidad
Invertida
Número de
Empleados
30 hasta 35
35 hasta 40
40 hasta 45
45 hasta 50
50 hasta 55
55 hasta 60
60 hasta 65
65 hasta 70
3
7
11
22
40
24
9
4

5. Cantidad
Invertida
Frecuencia
(f)
Punto
medio
(X)
𝒇𝒙 𝒇𝒙 𝟐
30 hasta 35
35 hasta 40
40 hasta 45
45 hasta 50
50 hasta 55
55 hasta 60
60 hasta 65
65 hasta 70
3
7
11
22
40
24
9
4
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
97,5
262,5
467,5
1045,0
2100,0
1380,0
562,5
270,0
3168,75
9843,75
19868,75
49637,50
110250,00
79350,00
35156,25
18225,00
Total 120 6185,0 325500,00
𝑠2 =
σ 𝑓𝑥2 −
(σ 𝑓𝑥)
𝑛
2
𝑛 − 1
𝑠2
=
325500 −
(6185)
120
2
120 − 1
𝑠2 =
325500 − 318785,2
119
𝑠2 =
6714,8
119
=56,43
𝑠 = 56,43=7,51

6. Interpretación y usos de
la desviación estándar
Ing, Luis Delgado Alvarez

7. Teorema de Chebyshev: regla Empírica
En una distribución de frecuencias simétricas, con forma de campana,
aproximadamente 68% de las observaciones estarán entre una y menos
una desviación estándar desde la media, aproximadamente 95% de las
observaciones se encontrarán entre mas dos y menos dos desviaciones
estándares desde la media; prácticamente todas las observaciones (99,7
%) se hallaran entre más tres y menos tres desviaciones estándares, a
partir del valor medio

8. Dispersión relativa
Coeficiente de variación, Es la razón (cociente) de la
desviación estándar y la media aritmética como un
porcentaje,
• COEFICIENTE DE VARIACIÓN :
𝐶𝑉 =
𝑠
ҧ𝑥
Para comparación directa de dos o más
medias de dispersión,

9. Ejemplo
Se va a comparar la variación en los ingresos anuales
de varios ejecutivos con la variación en los ingresos de
trabajadores no calificados, EN una muestra de
ejecutivos ҧ𝑥= 500000 y s=50000, Para una muestra de
empleados no calificados ҧ𝑥 = 32000 y s=3200, Hacer una
comparación significativa de las variaciones en los
ingresos anuales
Para los ejecutivos
𝐶𝑉 =
𝑆
ҧ𝑥
100
=
50000
500000
100
=10%
Para los trabajadores
no calificados
𝐶𝑉 =
𝑆
ҧ𝑥
100
=
3200
32000
100
=10%
No existe diferencia en la dispersión relativa de los dos
grupos

10. Asimetría
Sabemos que hay cuatro formas en las que se forman los datos comúnmente: simétrica,
positivamente asimétrica, negativa mente asimétrica y bimodal
• Coeficiente de asimetría :
𝐶𝐴 =
3(𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎)
𝑠

11. Ejemplo
A continuación se dan las ganancias por acción en el año 2000, de
una muestra de15 empresas productoras de computadores
Calcule la media, la mediana y la
desviación estándar. Encuentra el
coeficiente de asimetría usando la
estimación de Pearson y los
métodos usados por los paquetes
de software ¿Qué se concluye
respecto a la forma de la
distribución?
ҧ𝑥 =
0,09 + 3,50 + ´ … + 16,40
15
= 4,95
0,09 0,51 1,49 6,36 10,13
0,13 1,12 3,18 7,83 12,99
0,41 1,2 3,5 8,92 16,4
𝑠 =1,395𝑀𝑒𝑑 =3,18
𝐶𝐴 =
3(4,95 − 3,18)
1,395
= 3,81
Se concluye que la distribución es
asimétrica positiva