Este documento describe el método de las imágenes para resolver problemas electrostáticos. Este método reemplaza cargas reales por cargas reales e imágenes para satisfacer las condiciones de frontera en conductores. Se explica cómo determinar el potencial eléctrico, campo eléctrico y densidad de carga inducida para una carga puntual sobre un plano conductor. También se muestra cómo aplicar el método a una carga entre dos planos conductores para determinar el potencial y la fuerza sobre la carga.
LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB
INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO
CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA VOLUMÉTRICA
CAMPO DE UNA LÍNEA DE CARGA
CAMPO DE UNA LÁMINA DE CARGA
LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO
LEY DE GAUSS
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
DIVERGENCIA
PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA]
OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB
INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO
CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA VOLUMÉTRICA
CAMPO DE UNA LÍNEA DE CARGA
CAMPO DE UNA LÁMINA DE CARGA
LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO
LEY DE GAUSS
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
DIVERGENCIA
PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA]
OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
ENERGÍA Y POTENCIAL
ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO
DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL
CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA
GRADIENTE DE POTENCIAL
EL DIPOLO
DENSIDAD DE ENERGÍA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO
DIELÉCTRICOS Y CAPACITANCIA
NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS
CONDICIONES DE FRONTERA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS
CAPACITANCIA
EJEMPLOS DE CAPACITANCIA
CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS HILOS
Se consideran circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o tres elementos pasivos (R, L, C).
Los circuitos RC y RL se analizarán aplicando las leyes de Kirchhoff.
El análisis de circuitos resistivos da como resultado ecuaciones algebraicas. Sin embargo, los circuitos RC y RL producen ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales resultantes del análisis de circuitos RC y RL son de primer orden. Por ello, se les denomina Circuitos de Primer Orden.
En la segunda parte se estudian los circuitos que tienen dos elementos de almacenamiento (L y C) conjuntamente con una R. A estos circuitos se les conoce como Circuitos de Segundo Orden porque se describen mediante ecuaciones diferenciales que contienen derivadas segundas.
En concreto, se estudia la respuesta de circuitos RLC, con fuente independiente.
Teoría de Campos Electromagnéticos
Tema 3: Campos eléctricos en el espacio material
- Corriente de conducción y convección
- Conductores
- Dieléctricos
- Ecuación de continuidad y tiempo de relajación
- Condiciones en la frontera
Teoría de Campos Electromagnéticos
Tema 4: Problemas electrostática con valor en frontera
- Ecuaciones de Poisson y Laplace
- Teorema de unicidad
- Resistencia y capacitancia
Métodos de imágenes
ENERGÍA Y POTENCIAL
ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO
DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL
CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA
GRADIENTE DE POTENCIAL
EL DIPOLO
DENSIDAD DE ENERGÍA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO
DIELÉCTRICOS Y CAPACITANCIA
NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS
CONDICIONES DE FRONTERA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS
CAPACITANCIA
EJEMPLOS DE CAPACITANCIA
CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS HILOS
Se consideran circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o tres elementos pasivos (R, L, C).
Los circuitos RC y RL se analizarán aplicando las leyes de Kirchhoff.
El análisis de circuitos resistivos da como resultado ecuaciones algebraicas. Sin embargo, los circuitos RC y RL producen ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales resultantes del análisis de circuitos RC y RL son de primer orden. Por ello, se les denomina Circuitos de Primer Orden.
En la segunda parte se estudian los circuitos que tienen dos elementos de almacenamiento (L y C) conjuntamente con una R. A estos circuitos se les conoce como Circuitos de Segundo Orden porque se describen mediante ecuaciones diferenciales que contienen derivadas segundas.
En concreto, se estudia la respuesta de circuitos RLC, con fuente independiente.
Teoría de Campos Electromagnéticos
Tema 3: Campos eléctricos en el espacio material
- Corriente de conducción y convección
- Conductores
- Dieléctricos
- Ecuación de continuidad y tiempo de relajación
- Condiciones en la frontera
Teoría de Campos Electromagnéticos
Tema 4: Problemas electrostática con valor en frontera
- Ecuaciones de Poisson y Laplace
- Teorema de unicidad
- Resistencia y capacitancia
Métodos de imágenes
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
1. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO
ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL
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MÉTODO DE LAS IMÁGENES
Ideado por Lord Kelvin en 1848. El método de imágenes, es de uso frecuente para deter-
minar , E , D y debidos a cargas en presencia de conductores. Este método
prescinde de la ecuación de Poisson o Laplace, pues se fundamenta en el supuesto de
una superficie conductora equipotencial. Aunque no es aplicable a cualquier problema
electrostático, puede simplificar problemas muy complejos.
La teoría de las imágenes establece que una configuración de carga dada sobre un plano
conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la propia
configuración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución del plano
conductor.
En la figura (a), se muestran ejemplos comunes de distribuciones de carga puntual, lineal y
volumétrica, mientras que en la figura (b), aparecen sus correspondientes configuraciones
de imagen.
Q Q
Q
a b
La aplicación del método de imágenes, exige invariablemente el cumplimiento de dos
condiciones:
1. La carga o cargas de imágenes deben situarse en la región conductora.
2. La carga o cargas de imágenes deben situarse de tal forma que en la superficie o
superficies conductoras el potencial sea de cero o constante.
La primera condición es necesaria para satisfacer la ecuación de Poisson, en tanto que la
segunda garantiza la satisfacción de las condiciones en la frontera.
Apliquemos la teoría de las imágenes al caso de una carga puntual sobre un plano
conductor a tierra.
En la siguiente figura se esquematizan las líneas de campo para la carga original y para el
conjunto de carga original + carga imagen. Las líneas de campo son perpendiculares a la
superficie límite donde se induce una carga.
2. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO
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Carga Puntual sobre un plano conductor a tierra
Consideremos la existencia de una carga puntual Q colocada a una distancia h de un plano
conductor perfecto de extensión infinita, tal como se observa en la figura a . La
configuración de imágenes es mostrada en la figura b .
Líneas de
campo eléctrico
h h
h
a b
Se requiere determinar el campo E y el potencial eléctrico producido por dicha carga
puntual en un punto de estudio M x, y, z . Adicionalmente, se determinará la densidad de
carga superficial inducida por sobre el plano conductor.
E M E M E M
1 Q r1 1 Q r2
E M
4 | r1 | 4 | r2 |3
3
M x, y , z
r1
Q 0, 0, h
r2
Q 0, 0, h
3. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO
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Donde los vectores r1 y r2 están dados por:
r1 x, y, z 0, 0, h x, y, z h x x y y z h z
r2 x, y, z 0, 0, h x, y, z h x x y y z h z
Q x x y y z h z x x y y z h z
E M
4 x 2 y 2 z h 2 3/ 2 x 2 y 2 z h 2 3/ 2
Nótese el hecho de que cuando z 0 , E M solo cuenta con la componente z , lo que
confirma que el campo eléctrico es normal a la superficie conductora, tal como se aprecia en
la siguiente figura.
A continuación pasaremos a determinar el potencial aplicando nuevamente el principio de
superposición, es decir:
Q Q
M M M
4 | r1 | 4 | r2 |
Q 1 1 , donde x, y, z 0 si z 0
M
4 x2 y 2 z h
2
x2 y 2 z h
2
Para obtener la densidad de carga inducida en el
plano conductor infinito, dicha densidad puede ser
determinada por aplicación del Teorema de Gauss
a un cilindro recto de altura muy pequeña y bases
paralelas a la frontera, una a cada lado, tal como se
muestra en la siguiente figura. Alternativamente,
también puede ser determinada mediante la
segunda condición de frontera.
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| Dsale | | Dhinca | Libre
Q 2h
Libre | Dhinca |z 0 | E |z 0
4 x 2 y 2 h 2 3/ 2
Qh
Libre C /m 2
2 x y h
2 2
2 3/ 2
Nótese que la densidad de carga inducida es negativa, porque el campo y la normal a la
superficie gaussiana tienen sentidos opuestos. La siguiente figura esquematiza la ecuación
de la densidad superficial de carga inducida sobre el plano conductor infinito,
A continuación, vamos a comprobar que la carga inducida en el plano conductor infinito es
idéntica a la carga inductora pero con signo opuesto.
y x
Qh dx dy
Qind Libre dS
2 x 2 y 2 h 2
3/ 2
A y x
Haremos el siguiente cambio de variable para facilitar la obtención de la integral:
r 2 x 2 y 2 , z 0, dx dy r dr d , resultando
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y 2 r r r
Qh r dr d Qh r dr r dr
Qind 2 Qh
2 r
2 3/ 2 2 r
2 3/ 2
r h2
3/ 2
0 r 0
2
h r 0
2
h r 0
2
Qh r
Qind | r 0
Q l.q.q.d .
r 2 h2
2.4 Una carga puntual Q se localiza en el punto a, 0, b entre dos planos conductores
semiinfinitos que intersecan en ángulo recto, tal como se muestra en la figura. Determine el
potencial eléctrico producido en el punto M x, y, z y la fuerza que actúa sobre Q .
z
a Q
b
x
Los diagramas correspondientes para la determinación del potencial eléctrico y la fuerza
eléctrica, se aprecian en los esquemas a y b siguientes.
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z z
M x, y , z F3
r2
r1 F2
Q Q Q
Q
F1
b r3 b
r4
x x
a a
Q Q Q Q
a b
La configuración de imágenes se muestra en el esquema a , donde se aprecian que tres
cargas imagen son necesarias para satisfacer las condiciones enunciadas en el presente
capítulo. El potencial eléctrico en el punto de observación M x, y, z es la superposición
de los potenciales producidos por las cuatro cargas puntuales, es decir:
Q 1 1 1 1
M , donde:
4 o | r1 | | r2 | | r3 | | r4 |
1/ 2
| r1 | x a y 2 z b
2 2
1/ 2
| r2 | x a y 2 z b
2 2
1/ 2
| r3 | x a y 2 z b
2 2
1/ 2
| r4 | x a y 2 z b
2 2
Para la determinación de la fuerza que actúa sobre Q , se tomará como referencia la figura
mostrada en el esquema b , de donde:
FR F1 F2 F3
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Q2 Q2 Q2
FR z x 2ax 2bz
4 o 2b 4 o 2a
2 2 3/ 2
4 o 2a 2b
2 2
Q2 Q2 Q2
FR z x 2ax 2bz
16 ob 2 16 o a 2 32 o a 2 b 2
3/ 2
Q2 1 1 a b
FR 2 z 2 x x z
16 o b a 2 b2 a 2 b2
3/ 2 3/ 2
a
Q2 a 1 b 1
FR 2 x 2 z
16 o a 2 b 2 3/ 2
a a 2 b2 3/ 2
b
Se deja como ejercicio para el lector, la obtención de la intensidad de campo eléctrico
producido en el punto de observación M x, y, z , así como también la determinación de la
carga inducida en los planos conductores.
En general, cuando la metodología de las imágenes se aplica a un sistema consistente en
una carga puntual entre dos planos conductores semiinfinitos inclinados en un ángulo ,
medido en grados, el número de imágenes N está dado por:
Q
360o
N 1
Q Q
60o
En la gráfica anexa, se muestra una carga
puntual Q contenida entre dos paredes
conductoras semiinfinitas e inclinadas entre
sí en un ángulo 60o . Se aprecia que el
Q Q número de cargas imagen son cinco.
Q