En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden 3 utilizando el método de Gauss.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: MATRICES
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular la inversa de una matriz utilizando el método de Gauss.

2. ENUNCIADO
Calcula la inversa de la matriz 𝐴 =
3 −2 1
1 −1 1
2 0 3
mediante el método de Gauss.
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3. En primer lugar para hallar la inversa de la matriz A usando el método de Gauss, debemos expresar la matriz de la
forma siguiente:
3 −2 1
1 −1 1
2 0 3
⋮
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Obsérvese que la matriz de la izquierda es la matriz A, a la que queremos calcular la inversa, y la matriz de la
derecha es la matriz identidad.
Ahora mediante transformaciones elementales vamos a llegar a obtener en la parte de la izquierda la matriz
identidad, y en la derecha la matriz inversa de A.
Las transformaciones elementales son:
• Cambiar filas de lugar.
• Multiplicar una fila por un número
• Sumar o restar filas o una combinación lineal de ellas.
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4. 1. Para realizar el proceso, el primer paso que debemos realizar consiste en buscar en la primera columna un
elemento (si existe) con coeficiente 1, de no existir buscaremos el que nos sea más fácil para operar con él. A
continuación cambiamos la fila 1, por la fila que tiene ese elemento. En ningún caso el primer elemento debe
ser un 0.
En nuestro caso intercambiamos la primera fila y la segunda.
3 −2 1
1 −1 1
2 0 3
⋮
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 −1 1
3 −2 1
2 0 3
⋮
0 1 0
1 0 0
0 0 1
2. A continuación debemos hacer cero el elemento 𝑎21
1 −1 1
3 −2 1
2 0 3
⋮
0 1 0
1 0 0
0 0 1
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𝐹1 ↔ 𝐹2

5. Para ello le restamos a la segunda fila una combinación lineal de la primera, esto es hacemos (−3𝐹1 + 𝐹2) y el
resultado lo ponemos en la segunda fila.
1 −1 1
3 −2 1
2 0 3
⋮
0 1 0
1 0 0
0 0 1
1 −1 1
0 1 −2
2 0 3
⋮
0 1 0
1 −3 0
0 0 1
Ya tenemos el elemento 𝑎21 = 0
3. Ahora hacemos cero el elemento 𝑎31, para ello usamos también como referencia la primera fila. En nuestro
caso haremos −2 𝐹1 + 𝐹3.
1 −1 1
0 1 −2
2 0 3
⋮
0 1 0
1 −3 0
0 0 1
1 −1 1
0 1 −2
0 2 1
⋮
0 1 0
1 −3 0
0 −2 1
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(-3)𝐹1 + 𝐹2
(-2)𝐹1 + 𝐹3

6. No olvidemos que la idea del método es conseguir en la parte de la izquierda la matriz identidad. Ya tenemos los
ceros del primer elemento de la segunda y tercera fila.
4. A continuación hacemos cero el elemento 𝑎32. Para ello utilizamos la segunda fila.
1 −1 1
0 1 −2
0 2 1
⋮
0 1 0
1 −3 0
0 −2 1
1 −1 1
0 1 −2
0 0 5
⋮
0 1 0
1 −3 0
−2 4 1
5. A continuación en el siguiente paso haremos que la diagonal de la matriz de la izquierda sea 1, para ello
dividiremos cada fila por el número que aparezca en su elemento de la diagonal.
En nuestro caso sólo tenemos que dividir la tercera fila por 5, ya que en la primera y la segunda ya tenemos un 1
en la diagonal.
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(-2)𝐹2 + 𝐹3

7. 1 −1 1
0 1 −2
0 0 5
⋮
0 1 0
1 −3 0
−2 4 1
1 −1 1
0 1 −2
0 0 1
⋮
0 1 0
1 −3 0
−2/5 4/5 1/5
6. Hacemos cero el elemento 𝑎23 para ello utilizaremos la fila 3.
1 −1 1
0 1 −2
0 0 1
⋮
0 1 0
1 −3 0
−2/5 4/5 1/5
1 −1 1
0 1 0
0 0 1
⋮
0 1 0
1/5 −7/5 2/5
−2/5 4/5 1/5
7. Ahora hacemos cero el elemento 𝑎13
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1
5
𝐹3
2𝐹3 + 𝐹2

8. 1 −1 1
0 1 0
0 0 1
⋮
0 1 0
1/5 −7/5 2/5
−2/5 4/5 1/5
1 −1 0
0 1 0
0 0 1
⋮
2/5 1/5 −1/5
1/5 −7/5 2/5
−2/5 4/5 1/5
8. Finalmente en el último paso hacemos cero el elemento 𝑎12. Para ello usaremos la segunda fila.
1 −1 0
0 1 0
0 0 1
⋮
2/5 1/5 −1/5
1/5 −7/5 2/5
−2/5 4/5 1/5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⋮
3/5 −6/5 1/5
1/5 −7/5 2/5
−2/5 4/5 1/5
De esta forma hemos llegado a que la matriz de la izquierda es la matriz identidad.
Por lo tanto la matriz de la derecha será la inversa de A, es decir:
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-𝐹3 + 𝐹1
𝐹2 + 𝐹1

9. 𝐴−1 =
3
5
−6
5
1
5
1
5
−7
5
2
5
−2
5
4
5
1
5
O equivalentemente:
𝐴−1 =
1
5
3 −6 1
1 −7 2
−2 4 1
Para comprobar el resultado es suficiente con probar que:
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼
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