4. Problemas de movimiento ondulatorio

Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
HOJA
4
–
MOVIMIENTO
ONDULATORIO
TIPO
20
LIBRO
PÁGINAS
54,
55
y
56:
ejercicios
1,
2,
5,
12,
19,
27
y
39.
4.1. Dibuja
dos
ondas
que
cumplan
con
las
condiciones
que
se
especifican
en
cada
caso:
a) Que
tengan
la
misma
amplitud
y
una
doble
longitud
de
onda
que
la
otra.
b) Que
tengan
la
misma
longitud
de
onda
y
una
doble
amplitud
que
la
otra.
c) Que
tengan
la
misma
amplitud
y
la
misma
longitud
de
onda,
pero
desfasadas
180o.
4.2. La
ecuación
de
una
onda
transversal
que
avanza
por
una
cuerda
viene
dada
por
y
=
0’1·∙sin
(6t
+
0’3x),
donde
x
se
mide
en
metros
y
t
en
segundos.
Calcula:
a) Amplitud
y
frecuencia
de
la
onda.
b) Velocidad
de
propagación
y
longitud
de
onda.
c) La
máxima
velocidad
transversal
de
una
partícula
de
la
cuerda.
Sol:
a)
풚 풙, 풕 = ퟎ!ퟐ · 퐬퐢퐧 ퟒퟎퟎ 흅 · 풕 + ퟖ 흅 · 풙 풎
b)
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de
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푨 = ퟎ!ퟏ 풎, 풇 = ퟑ
흅 풎;
b)
풗푷 = ퟐퟎ 풎/풔, 흀 = ퟐퟎ′ퟗퟒ 풎;
c)
풗풎풂풙 = ퟎ!ퟔ 풎/풔
4.3. Una
onda
armónica
en
un
hilo
tiene
una
amplitud
de
0’015
m,
una
longitud
de
2’4
m
y
una
velocidad
de
3’5
m/s.
Determina:
a) El
periodo,
la
frecuencia
y
el
número
de
onda.
b) La
función
de
onda
tomando
como
sentido
positivo
del
eje
X
el
sentido
de
propagación
de
la
onda.
Sol:
a)
푻 = ퟎ!ퟔퟗ 풔, 풇 = ퟏ!ퟒퟔ 푯풛, 풌 = ퟐ!ퟔퟐ 풎!ퟏ;
b)
풚 풙, 풕 = ퟎ!ퟎퟏퟓ · 퐬퐢퐧 ퟗ!ퟏퟔ · 풕 − ퟐ!ퟔퟐ · 풙 풎
4.4. Escribe
la
ecuación
de
onda
que
avanza
en
sentido
negativo
a
lo
largo
del
eje
=X
y
que
posee
una
amplitud
de
0’2
m,
una
frecuencia
de
500
Hz
y
una
velocidad
de
2
m/s.
Determina,
asimismo,
la
velocidad
máxima
de
las
partículas
del
medio.
Sol:
풚 풙, 풕 = ퟎ!ퟐ · 퐬퐢퐧 ퟏퟎퟎퟎ 흅 · 풕 + ퟓퟎퟎ 흅 · 풙 풎, 풗풎풂풙 = ퟐퟎퟎ 흅 풎/풔
4.5. Una
onda
sonora
se
propaga
sin
amortiguamiento
en
el
sentido
negativo
a
lo
largo
del
eje
X
con
una
velocidad
de
50
m/s.
Si
la
amplitud
es
de
20
cm
y
su
frecuencia
de
200
Hz,
calcula:
a) La
ecuación
de
propagación
de
onda.
b) La
elongación,
la
velocidad
y
la
aceleración
de
un
punto
del
medio
situado
a
10
cm
del
foco
emisor
al
cabo
de
0’5
s.
Sol:
a)
풚 = ퟎ!ퟏퟐ 풎, 풗 = −ퟐퟎퟑ!ퟑퟑ 풎/풔, 풂 = ퟏퟖퟓퟔퟑퟖ!ퟔퟓ 풎/풔ퟐ
4.6. Una
partícula
oscila
armónicamente
a
lo
largo
del
eje
OX
alrededor
de
la
posición
de
equilibrio
x
=
0,
con
f
=
200
Hz.
a) Si
en
el
instante
inicial
(t
=
0),
la
posición
de
la
partícula
es
x0
=
10
mm
y
su
velocidad
es
nula,
determina
en
qué
instante
será
máxima
la
velocidad
de
la
misma.
b) Si
la
partícula
forma
parte
de
una
medio
material
¿cuál
será
la
longitud
de
onda
del
movimiento
que
se
propaga
a
lo
largo
del
eje
OX
sabiendo
que
su
velocidad
de
propagación
es
de
340
m/s?
Sol:
a)
풕 = ퟏ!ퟐퟓ · ퟏퟎ!ퟑ 풔;
b)
흀 = ퟏ!ퟕ 풎

ퟖ 퐜퐨퐬 흅
ퟐ 풕 − 흅
ퟓ 풙 풎/풔, 풂 = −흅ퟐ
ퟏퟔ 퐬퐢퐧 흅
ퟐ 풕 − 흅
ퟓ 풙 풎/풔ퟐ;
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4.7. La
ecuación
de
una
onda
transversal
es
푦 = 0!25 · sin 휋 0!5푡 − 0′2푥
(en
unidades
del
S.I.).
Calcula:
a) Amplitud,
nº
de
onda,
frecuencia,
periodo
y
longitud
de
onda.
b) La
velocidad
de
propagación
de
la
onda.
c) La
aceleración
y
la
velocidad
de
las
partículas
vibrantes.
d) Elongación,
velocidad
y
aceleración
de
una
partícula
situada
a
5
m
al
cabo
de
10
s
de
empezar
a
vibrar.
Sol:
a)
푨 = ퟎ!ퟐퟓ 풎, 풌 = 흅
ퟓ 풎!ퟏ, 풇 = ퟎ!ퟐퟓ 푯풛, 푻 = ퟒ 풔, 흀 = ퟏퟎ 풎;
b)
풗푷 = ퟐ!ퟓ 풎/풔
c)
풗 = 흅
d)
풚 = ퟎ 풎, 풗 = 흅
ퟖ 풎/풔, 풂 = ퟎ 풎/풔ퟐ
4.8. Una
onda
se
propaga
por
una
cuerda
con
una
velocidad
de
10
m/s,
una
amplitud
de
1’5
cm
y
una
frecuencia
de
20
Hz.
Calcula:
a) El
periodo
y
la
longitud
de
onda.
b) La
ecuación
de
propagación
de
la
onda.
c) La
ecuación
de
la
velocidad
de
un
punto
de
la
cuerda
en
función
del
tiempo.
¿Cuál
es
su
velocidad
máxima?
Sol:
a)
푻 = ퟎ!ퟎퟓ 풔, 흀 = ퟎ!ퟓ 풎;
b)
풚 풙, 풕 = ퟎ!ퟎퟏퟓ · 퐬퐢퐧 ퟐ흅 풕
ퟎ!ퟎퟓ − 풙
ퟎ!ퟓ 풎;
c)
풗풎풂풙 = ퟎ!ퟔ 흅 풎/풔
4.9. Un
extremo
de
una
cuerda
de
3
m
de
longitud
está
sometido
a
un
movimiento
oscilatorio
armónico.
En
el
instante
t
=
4
s,
la
elongación
de
ese
punto
es
de
2
cm.
Se
comprueba
que
la
onda
tarda
0’9
s
en
llegar
de
un
extremo
a
otro
de
la
cuerda
y
que
la
longitud
de
onda
es
de
1
m.
Calcula:
a) La
amplitud
del
movimiento
ondulatorio.
b) La
velocidad
de
vibración
en
el
punto
medio
de
la
cuerda
para
t
=
1
s.
Sol:
a)
푨 = ퟎ!ퟎퟐퟑ 풎;
b)
풗 = ퟎ!ퟐퟒ 풎/풔
4.10. Sea
una
cuerda
tensa
muy
larga.
Hacemos
que
uno
de
los
extremos
(O)
realice
un
movimiento
armónico
simple
en
una
dirección
perpendicular
a
la
cuerda,
de
amplitud
A
=
0’3
m
y
frecuencia
f
=
2
Hz,
de
forma
que
la
perturbación
se
propaga
a
lo
largo
de
la
cuerda
con
una
velocidad
de
5
m/s.
Sabiendo
que
en
el
instante
inicial
la
elongación
del
punto
O
es
nula:
a) Escribir
la
ecuación
de
onda.
b) Hallar
la
elongación
y
velocidad
transversal
de
un
punto
P
situado
a
10
m
de
O,
4
s
después
de
iniciado
el
movimiento.
Interpretar
el
resultado.
Sol:
a)
풚 풙, 풕 = ퟎ!ퟑ 풎 · 퐬퐢퐧 ퟒ흅풕 − ퟒ흅
ퟓ 풙 ;
b)
풚 ퟏퟎ풎, ퟒ풔 = ퟎ 퐦; 퐯 ퟏퟎ풎, ퟒ풔 = ퟏ!ퟐ훑 퐦/퐬
4.11. La
ecuación
de
una
onda
armónica
transversal
que
se
propaga
por
una
cuerda,
expresada
en
unidades
del
S.I.
es:
풚 풙, 풕 = ퟓ · 퐬퐢퐧 흅
ퟑ 풕 − 흅
ퟓ 풙 .
Determina:
a) La
frecuencia,
la
longitud
de
onda
y
la
velocidad
de
propagación.
b) La
aceleración
máxima.
a) Si
comparamos
la
ecuación
que
nos
dan
en
el
problema
con
la
ecuación
general
de
una
onda
podemos
obtener
la
frecuencia
휔 푟푎푑/푠
y
el
número
de
onda
휅 푟푎푑/푚 :
푦 푥, 푡 = 퐴 · sin 휔푡 − 휅푥 ⟹ 휔 =
휋
3
푟푎푑/푠 푦 휅 =
휋
5
푟푎푑/푚
Podemos
calcular
entonces
la
frecuencia
y
la
longitud
de
onda:
휈 =
휔
2휋
=
휋
3 · 2휋
퐻푧 ⟶ 흂 =
ퟏ
ퟔ
푯풛

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휆 =
2휋
휅
=
5 · 2휋
휋
푚 ⟶ 흀 = ퟏퟎ 풎
Una
vez
conocidas
la
frecuencia
y
la
longitud
de
onda
podemos
calcular
la
velocidad
de
propagación:
푣 =
휆
푇
= 휆 · 휈 = 10 푚 ·
1
6
푠!! ⟶ 풗 =
ퟓ
ퟑ
풎/풔
b) Para
calcular
la
aceleración
máxima
antes
calculamos
la
aceleración
derivando
la
expresión
de
la
elongación
respecto
del
tiempo:
푑!푦 푥, 푡
푑푡! = −
5휋!
9
· sin
휋
3
푡 −
휋
5
푥
Para
que
esta
aceleración
sea
máxima
(en
valor
absoluto)
se
debe
cumplir
que
sin !
! 푡 − !
! 푥 = ±1:
풂풎풂풙 =
ퟓ흅ퟐ
ퟗ
풎/풔ퟐ
TIPO
21
LIBRO
PÁGINAS
54
y
55:
ejercicios
8,
9,
20,
25
y
30.
4.12. Una
onda
transversal
se
propaga
según
la
ecuación
푦 = 4 sin 2휋 푡/4 + 푥/1′8
(en
unidades
del
S.I.)
Determine:
a) La
velocidad
de
propagación
de
la
onda
y
la
velocidad
de
vibración
máxima
de
un
punto
alcanzado
por
la
onda.
b) La
diferencia
de
fase,
en
un
instante
dado,
de
dos
puntos
separados
1
m
en
la
dirección
de
avance
de
la
onda.
Sol:
a)
풗푷 = ퟎ!ퟒퟓ 풎/풔, 풗풎풂풙 = ퟐ흅 풎/풔;
b)
횫흋 = ퟑ!ퟒퟗ 풓풂풅
4.13. La
ecuación
de
una
onda
transversal
que
se
propaga
por
una
cuerda
tensa
de
gran
longitud
es
푦 = 16 sin 2휋 0′8푡 + 1′25푥
(x,
y
en
cm
y
t
en
s).
Determine:
a) Velocidad
de
fase
de
la
onda.
b) Velocidad
y
aceleración
máximas
de
oscilación
en
un
punto
cualquiera
de
la
onda.
c) Distancia
que
separa
los
puntos
de
la
cuerda
que
oscilan
en
oposición
de
fase.
Sol:
a)
풗푷 = ퟎ!ퟔퟒ 풄풎/풔;
b)
풗풎풂풙 = ퟐퟓ!ퟔ 흅 풄풎/풔, 풂풎풂풙 = ퟒퟎ!ퟗퟔ 흅 풄풎/풔ퟐ;
c)
횫풙 = ퟎ!ퟒ 풄풎
4.14. El
periodo
de
una
onda
que
se
propaga
a
lo
largo
del
eje
X
es
de
3·∙10-‐3
s
y
la
distancia
entre
los
dos
puntos
más
próximos
cuya
diferencia
de
fase
es
2π
rad
es
20
cm.
a) Calcula
la
longitud
de
onda
y
la
velocidad
de
propagación
de
la
onda.
b) Si
el
periodo
se
duplicase,
¿qué
le
ocurriría
a
las
magnitudes
del
apartado
anterior?
Sol:
a)
흀 = ퟎ!ퟐ 풎, 풗푷 = ퟔퟔ′ퟔ 풎/풔
4.15. Una
onda
armónica
sinusoidal
se
propaga
en
el
sentido
positivo
del
eje
OX
con
una
frecuencia
de
100
Hz,
con
una
velocidad
de
500
m/s
y
tiene
una
amplitud
de
15
cm.
Calcular:
a) La
ecuación
de
onda
más
general.
b) La
separación
entre
dos
puntos
cuya
diferencia
de
fase,
en
un
cierto
instante,
es
de
π/5
radianes.
c) La
diferencia
de
fase
entre
dos
vibraciones
de
un
mismo
punto
del
espacio
separadas
por
un
intervalo
de
tiempo
de
2’5·∙10-‐3
s.
Sol:
a)
풚 풙, 풕 = ퟎ!ퟏퟓ · 퐬퐢퐧 ퟐퟎퟎ흅 · 풕 − ퟐ흅
ퟓ 풙 풎;
b)
횫풙 = ퟎ!ퟓ 풎;
c)
횫흋 = 흅/ퟐ

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de
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Piedad,
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4.16. Cierta
onda
está
descrita
por
la
ecuación
푊 푥, 푡 = 0!02 · sin 푡 − !
!
(en
unidades
del
S.I.).
Determina:
a) La
frecuencia
de
la
onda
y
su
velocidad
de
propagación.
b) La
velocidad
y
aceleración
de
vibración
máximas
de
un
punto
alcanzado
por
la
onda,
así
como
la
velocidad
de
un
punto
situado
a
4
m
del
foco
y
a
los
7’28
s
de
iniciarse
el
movimiento.
c) La
distancia
existente
entre
dos
puntos
consecutivos
que
vibran
con
una
diferencia
de
fase
de
120o.
Sol:
a)
풇 = ퟎ!ퟏퟔ 푯풛, 풗푷 = ퟒ 풎/풔;
b)
풗풎풂풙 = ퟎ!ퟎퟐ 풎/풔, 풂풎풂풙 = ퟎ!ퟎퟐ 풎/풔ퟐ, 풗 ≈ 풗풎풂풙;
c)
횫풙 = ퟖ흅
ퟑ 풎
4.17. Una
onda
armónica
transversal
de
periodo
T
=2
s,
se
propaga
con
velocidad
60
cm/s
en
una
cuerda
tensa
orientada
según
el
eje
X,
y
en
sentido
positivo.
Sabiendo
que
el
punto
de
la
cuerda
de
abscisa
x
=
30
cm
oscila
en
la
dirección
del
eje
Y,
de
forma
que
en
instante
t
=
1s
la
elongación
es
nula
y
la
velocidad
con
la
que
oscila
positiva,
y
en
el
instante
t
=
1’5
s,
su
elongación
es
5
cm
y
su
velocidad
nula.
Determina:
a) La
frecuencia
y
la
longitud
de
onda.
b) La
fase
inicial
y
la
amplitud
de
la
onda.
c) La
expresión
matemática
de
la
onda.
d) La
diferencia
de
fase
de
oscilación,
en
un
mismo
instante,
entre
dos
puntos
dela
cuerda
que
distan
entre
sí
un
cuarto
de
la
longitud
de
onda.
Sol:
풂) 흎 = ퟎ!ퟓ 푯풛, 흀 = ퟏ!ퟐ 풎; 풃) 푨 = ퟎ!ퟎퟓ 풎, 흋풐 = ퟑ흅
ퟐ 풓풂풅; 풄) 풚 풙, 풕 = ퟎ!ퟎퟓ · 퐬퐢퐧 흅풕 − ퟓ흅
ퟑ 풙 + ퟑ흅
ퟐ 풎
풅) 횫흋 = 흅
ퟐ 풓풂풅
4.18. En
un
extremo
de
una
cuerda
tensa
horizontal
de
5
m,
se
provoca
un
movimiento
oscilatorio
armónico
perpendicular
a
la
dirección
de
la
cuerda,
cuya
elongación
es
de
8
cm
cuando
han
transcurrido
0,5
s
desde
su
comienzo.
Se
observa
que
la
onda
producida
tarda
en
llegar
al
otro
extremo
2
s
y
que
la
distancia
entre
dos
crestas
sucesivas
es
de
1,5
m.
a) Determine
la
frecuencia,
longitud
de
onda
y
amplitud
del
movimiento
ondulatorio.
b) Calcule
la
velocidad
de
un
punto
situado
a
1,5
m
del
origen
de
la
onda
al
cabo
de
0,6
s
de
iniciado
el
movimiento
ondulatorio.
c) Hallar
el
desfase
entre
dos
puntos
separados
2
m.
퐿 = 5 푚,
푦 푥 = 0, 푡 = 0,5 푠 = 0!08 푚,
Tiempo
de
extremo
a
extremo
푡 = 2 푠,
흀 = ퟏ!ퟓ 풎
a) La
longitud
de
onda
ya
la
conocemos
pues
es
uno
de
los
datos
que
nos
dan
en
el
problema
(distancia
entre
dos
crestas
consecutivas).
Calculamos
primero
la
frecuencia:
휈 = !
!
para
calcular
la
frecuencia
necesitamos
conocer
el
periodo
푇 = !
!!
ahora,
la
longitud
de
onda
la
conocemos
y
la
velocidad
de
propagación
la
podemos
calcular,
ya
que
nos
dicen
la
longitud
de
la
cuerda
y
el
tiempo
que
tarda
la
onda
en
recorrerla:
푣! =
퐿
푡
=
5 푚
2 푠
=
5
2
푚/푠 ⟹ 푇 =
1!5 푚
!!
푚/푠
=
3
5
푠
Por
lo
tanto,
la
frecuencia
será:
흂 =
ퟓ
ퟑ
푯풛

Ahora
para
calcular
la
amplitud,
necesitamos
expresar
la
ecuación
de
la
onda,
para
ello
tenemos
que
conocer
el
número
de
onda
Δ푡 = 0.
Δ휑 = 휑! − 휑! = 휔푡 − 푘푥! − 휔푡 − 푘푥! = 휔푡 − 푘푥! − 휔푡 + 푘푥!
Camino
de
la
Piedad,
8
-‐
C.P.
40002
-‐
Segovia
-‐
Tlfns.
921
43
67
61
-‐
Fax:
921
44
34
47
|
(푘)
y
la
pulsación
휔 .
푘 =
2휋
휆
=
2휋
1!5 푚
=
4휋
3
푚!!
휔 = 2휋휈 = 2휋 ·
5
3
퐻푧 =
10휋
3
푟푎푑/푠
Expresamos
la
ecuación
de
onda:
푦 푥, 푡 = 퐴 sin 휔푡 − 푘푥
y
sustituimos
las
constantes
y
las
condiciones
iniciales
y
de
contorno:
푦 0 푚, 0!5 푠 = 퐴 sin
10휋
3
· 0!5 −
4휋
3
· 0 = 0!08 푚
푦 0 푚, 0!5 푠 = 퐴 sin
10휋
6
= 퐴 sin
5휋
3
= 0!08 푚
퐴 · −0′866 = 0!08 푚
푨 = ퟎ!ퟎퟗ 풎 퐿푎 푎푚푝푙푖푡푢푑 푠푒 푡표푚푎 푝표푠푖푡푖푣푎 .
b) 푥! = 1!5 푚, 푡! = 0!6 푠
La
velocidad
de
vibración
se
calcula
como
la
derivada
de
la
elongación
respecto
del
tiempo:
푣 푥, 푡 =
휕푦 푥, 푡
휕푡
= 퐴휔 cos 휔푡 − 푘푥
Sustituimos
las
constantes
y
los
datos:
푣 1!5푚, 0′6푠 = 0!09 푚 ·
10휋
3
!"#
! cos
10휋
3
· 0!6 −
4휋
3
· 1′5 = 0!3휋!
! · cos 2휋 − 2휋
푣 1!5푚, 0′6푠 = 0!3휋!
! · cos 0 = 0!3휋!
! · 1
풗 ퟏ!ퟓ풎, ퟎ′ퟔ풔 = ퟎ!ퟑ흅 풎/풔
c) Como
nos
piden
calcular
el
desfase
entre
dos
puntos
separados
2
m
suponemos
que
es
en
el
mismo
instante,
por
lo
tanto
Δ휑 = 푘 푥! − 푥! =
4휋
3
푚!! · 2 푚
횫흋 =
ퟖ흅
ퟑ
풓풂풅
Como
es
mayor
que
2휋:
횫흋 =
8휋
3
− 2휋 푟푎푑 =
ퟐ흅
ퟑ
풓풂풅

TIPO
22
LIBRO
PÁGINA
56:
ejercicios
36
y
43
(errata:
la
recta
es
perpendicular,
no
paralela).
4.19. En
una
habitación
tenemos
dos
altavoces
separados
una
distancia
de
5
m.
Emiten
dos
señales
idénticas
de
80
Hz
y
con
una
amplitud
de
5
cm.
Determina
cuál
será
el
valor
de
la
amplitud
en
los
puntos
de
la
habitación
señalados
en
el
dibujo.
Sol:
Camino
de
la
Piedad,
8
-‐
C.P.
40002
-‐
Segovia
-‐
Tlfns.
921
43
67
61
-‐
Fax:
921
44
34
47
|
퐀ퟏ = −ퟑ!ퟐ 퐜퐦;
퐀ퟐ = −ퟔ!ퟕ 퐜퐦;
퐀ퟑ = −ퟔ!ퟕ 퐜퐦;
퐀ퟒ = −ퟎ!ퟗퟒ 퐜퐦
4.20. Dos
ondas
que
se
mueven
por
una
cuerda
en
la
misma
dirección
y
sentido
tienen
la
misma
frecuencia
de
100
Hz,
una
longitud
de
onda
de
2
cm
y
una
amplitud
de
0’02
m.
Determina
la
ecuación
de
la
onda
resultante
y
su
amplitud
si
las
dos
ondas
difieren
en
fase:
a) En
휋/6.
b) En
휋/3.
Sol:
a)
푨ퟏ = ퟎ!ퟎퟒ · 퐜퐨퐬 ퟏퟎퟎ흅· 풙ퟐ!풙ퟏ
ퟐ + 흅
ퟏퟐ 풎;
a)
푨ퟐ = ퟎ!ퟎퟒ · 퐜퐨퐬 ퟏퟎퟎ흅· 풙ퟐ!풙ퟏ
ퟐ + 흅
ퟔ 풎
4.21. El
fenómeno
por
el
cual
dos
o
más
ondas
se
superponen
para
formar
una
onda
resultante
se
conoce
como
interferencia.
c) Deduce
la
expresión
general
de
la
interferencia
de
dos
ondas
coherentes
(misma
longitud
de
onda,
frecuencia
y
amplitud)
en
un
punto
cualquiera
P,
a
partir
de
la
relación
trigonométrica:
퐬퐢퐧 풂 + 퐬퐢퐧 풃 = ퟐ · 퐬퐢퐧
풂 + 풃
ퟐ
· 퐜퐨퐬
풂 − 풃
ퟐ
d) Por
una
cuerda
tensa
situada
a
lo
largo
del
eje
OX
se
propagan
dos
ondas
armónicas
transversales:
풚ퟏ = 푨 퐬퐢퐧 흎풕 − 휿풙
e
풚ퟐ = 푨 퐬퐢퐧 흎풕 − 휿풙 + 흋ퟎ ,
con
A
=
1mm.
¿cuál
es
la
amplitud
de
la
onda
resultante?
¿Para
qué
valores
del
desfase
흋ퟎ
interfieren
constructivamente
y
destructivamente
estas
dos
ondas?
¿Cuál
será
en
estos
casos
la
amplitud
de
la
onda
resultante?
a) Tenemos
dos
ondas
coherentes:
푦! = 퐴 sin 휔푡 − 휅푥!
Aplicamos
el
principio
de
superposición
푦! + 푦!:
푦! = 퐴 sin 휔푡 − 휅푥!
푦! + 푦! = 푦 푥, 푡 = 퐴 · sin 휔푡 − 휅푥! + sin 휔푡 − 휅푥!
sin 푎 + sin 푏 = 2 · sin
푎 + 푏
2
· cos
푎 − 푏
2
푦 푥, 푡 = 2퐴 · sin
휔푡 − 휅푥! + 휔푡 − 휅푥!
2
· cos
휔푡 − 휅푥! − 휔푡 + 휅푥!
2
풚 풙, 풕 = ퟐ푨 퐜퐨퐬 휿
풙ퟐ − 풙ퟏ
ퟐ
· 퐬퐢퐧 흎풕 − 휿
풙ퟏ + 풙ퟐ
ퟐ

b) A
partir
de
la
expresión
obtenida
en
el
apartado
anterior,
y
teniendo
en
cuenta
las
particularidades
de
las
Camino
de
la
Piedad,
8
-‐
C.P.
40002
-‐
Segovia
-‐
Tlfns.
921
43
67
61
-‐
Fax:
921
44
34
47
|
dos
ondas
señaladas
푥! = 푥! 푦 휑! ,
escribimos
la
ecuación
de
la
interferencia:
푦 푥, 푡 = 2퐴 cos
−휅푥 + 휅푥 − 휑!
2
· sin
휔푡 − 휅푥 + 휔푡 − 휅푥 + 휑!
2
푦 푥, 푡 = 2퐴 cos
−휑!
2
· sin 휔푡 − 휅푥 +
휑!
2
Por
lo
tanto,
la
amplitud
de
la
onda
resultante
es
푨푹 = ퟐ푨 퐜퐨퐬 !흋ퟎ
ퟐ .
Si
흋ퟎ = ퟎ, ퟐ흅, ퟒ흅…ퟐ풏흅 → 푨푹 = ퟐ푨 →
Interferencia
constructiva.
Si
흋ퟎ = 흅, ퟑ흅, ퟓ흅… ퟐ풏 + ퟏ 흅 → 푨푹 = ퟎ →
Interferencia
destructiva.
TIPO
23
LIBRO
PÁGINAS
54,
55
y
56:
ejercicios
21,
22,
28,
33,
35
y
41.
4.22. Responde
a
estas
cuestiones
sobre
ondas
estacionarias:
a) ¿Qué
es
una
onda
estacionaria?
Explica
qué
condiciones
deben
cumplirse
para
que
se
forme
una
onda
estacionaria
en
una
cuerda
tensa
y
fija
por
sus
dos
extremos.
b) Una
cuerda
de
guitarra
de
longitud
퐿 = 65 푐푚
vibra
estacionariamente
en
su
modo
fundamental
a
una
frecuencia
푓 = 440 퐻푧.
Representa
gráficamente
el
perfil
de
esta
onda
indicando
la
posición
de
nodos
y
vientres,
y
calcula
la
velocidad
de
propagación
de
ondas
transversales
en
esta
cuerda.
Sol:
b)
nodos:
퐱ퟏ = ퟎ 풎; 풙ퟑ = ퟎ!ퟔퟓ 풎;
vientre:
풙ퟐ = ퟎ!ퟑퟐퟓ 풎;
풗푷 = ퟓퟕퟐ 풎/풔
4.23. En
la
primera
cuerda
de
una
guitarra
las
ondas
se
propagan
a
422
m/s.
La
cuerda
mide
64
cm
entre
sus
extremos
fijos.
¿Cuánto
vale
la
frecuencia
en
el
modo
fundamental?
Sol:
풇ퟎ = ퟑퟐퟗ!ퟕ 푯풛
4.24. Una
cuerda
tensa,
fija
por
sus
dos
extremos,
tiene
una
longitud
퐿 = 1!2 푚.
Cuando
esta
cuerda
se
excita
transversalmente
a
una
frecuencia
푓 = 80 퐻푧,
se
forma
una
onda
estacionaria
con
dos
vientres.
a) Representa
esta
onda
y
calcula
su
longitud
de
onda
y
su
velocidad
de
propagación
en
esta
cuerda.
b) Para
qué
frecuencia
inferior
a
la
dada
se
formará
otra
onda
estacionaria
en
la
cuerda?
Representa
esta
onda.
Sol:
a)
훌ퟐ = ퟏ!ퟐ 퐦;
풗푷 = ퟗퟔ 풎/풔;
b)
풇ퟏ = ퟑퟑ′ퟑ 푯풛
4.25. Una
cuerda
de
40
cm
con
sus
dos
extremos
fijos
vibra
en
un
modo
con
dos
nodos
internos.
Representa
esta
onda.
¿Cuál
es
la
longitud
de
onda
de
la
vibración?
Sol:
a)
훌 = ퟎ!ퟐퟔퟕ 퐦
4.26. Indique,
justificando
en
cada
caso,
cuáles
de
las
siguientes
funciones
pueden
representar
una
onda
estacionaria
y
cuáles
no:
a) sin 퐴푥 · cos 퐵푥
b) sin 퐴푥 · cos 퐵푡
c) cos 100푡 · sin 푥
d) sin 퐴푥 + cos 퐵푥
e) sin 퐴푥/휆 · cos 퐵푡/푇
f) sin 2휋 푥/휆 + 푡/푇

4.27. Una
onda
estacionaria
sobre
una
cuerda
tiene
por
ecuación
푦 푥, 푡 = 0!02 · cos !
! 푥 · cos 40휋 · 푡
Camino
de
la
Piedad,
8
-‐
C.P.
40002
-‐
Segovia
-‐
Tlfns.
921
43
67
61
-‐
Fax:
921
44
34
47
|
donde
y,
x,
t
se
expresan
en
unidades
del
S.I.
a)
Escribe
las
funciones
de
onda
de
dos
trenes
de
ondas
que
al
superponerse
produzcan
esta
onda
estacionaria.
b) Calcula
la
distancia
entre
dos
nodos
consecutivos.
c) Determina
la
velocidad
de
vibración
de
un
segmento
de
la
cuerda
situado
en
el
punto
푥 = 1 푚
en
cualquier
instante.
Sol:
a)
퐲ퟏ = ퟎ!ퟎퟏ · 퐬퐢퐧 ퟒퟎ흅 · 풕 + 흅
ퟐ 풙 − 흅
ퟐ ;
퐲ퟐ = ퟎ!ퟎퟏ · 퐬퐢퐧 ퟒퟎ흅 · 풕 − 흅
ퟐ 풙 − 흅
ퟐ ;
b)
풅 = ퟐ 풎;
c)
풗 = ퟎ 풎/풔
4.28. Un
onda
estacionaria
se
puede
describir
mediante
la
ecuación
풚 풙, 풕 = ퟎ!ퟎퟐ · 퐬퐢퐧 ퟏퟎ흅
ퟑ 풙 · 퐜퐨퐬 ퟒퟎ흅 · 풕
donde
풚, 풙, 풕
se
expresan
en
unidades
del
S.I.
Calcula:
a) La
velocidad
y
la
amplitud
de
las
ondas
que,
por
superposición,
pueden
dar
lugar
a
esta
onda
estacionaria.
b) La
distancia
entre
dos
nodos
consecutivos
de
la
cuerda.
c) La
velocidad
máxima
que
presenta
el
punto
medio
entre
dos
nodos
consecutivos.
a) La
ecuación
general
de
las
ondas
estacionarias
es
푦 푥, 푡 = 2퐴 · cos 푘푥 · sin 휔푡 .
La
onda
que
nos
dan
en
el
problema
puede
ser
reescrita
de
tal
manera
que
coincida
con
la
expresión
general:
푦 푥, 푡 = 0!02 · cos
10휋
3
푥 +
휋
2
· sen 40휋 · 푡 −
휋
2
Comparando
ambas
expresiones:
• 2퐴 = 0!02 푚 → 푨 = ퟎ!ퟎퟏ 풎
• 푘 = !!
! = !"!
! → 휆 = !
! 푚 = 0!6 푚
• 휔 = !!
! = 40휋 → 푇 = !
!" 푠 = 0!05 푠
Por
lo
tanto,
la
velocidad
de
propagación
será:
푣! =
휆
푇
=
0!6 푚
0!05 푠
→ 풗푷 = ퟏퟐ 풎/풔
b) En
una
onda
estacionaria,
la
distancia
entre
nodos
consecutivos
es:
푑 =
휆
2
=
0!6 푚
2
→ 풅 = ퟎ!ퟑ 풎
El
primer
nodo
estará
en
el
origen
(ya
que
푦 0, 푡 = 0 푚),
por
lo
tanto,
el
siguiente
nodo
se
encontrará
en
la
posición
푥 = 0 푚 + 0!3 푚 = 0!3 푚.
c) La
expresión
para
la
velocidad
de
vibración
de
cualquier
punto
de
la
onda
será:
푣 푥, 푡 =
휕푦 푥, 푡
휕푡
= −40휋 · 0!02 · sin
10휋
3
푥 · sen 40휋 · 푡
푣 푥, 푡 = −0!8휋 · sin
10휋
3
푥 · sen 40휋 · 푡

Podemos
comprobar
que
la
velocidad
en
cualquiera
de
los
nodos
es
nula
independientemente
del
tiempo:
• 푥 = 0 푚 → 푣 0, 푡 = −0!8휋 · sin 0 · sen 40휋 · 푡 = 0 푚/푠
• 푥 = 0′3 푚 → 푣 0′3, 푡 = −0!8휋 · sin !"!
! · !
!" · sen 40휋 · 푡 = 0 푚/푠
La
velocidad
de
vibración
de
un
punto
medio
entre
dos
nodos
(푥 = 0!15 푚
por
ejemplo)
será
la
velocidad
de
vibración
de
los
vientres
de
la
onda
estacionaria:
Camino
de
la
Piedad,
8
-‐
C.P.
40002
-‐
Segovia
-‐
Tlfns.
921
43
67
61
-‐
Fax:
921
44
34
47
|
푣 0′15, 푡 = −0!8휋 · sin
10휋
3
·
15
100
· sen 40휋 · 푡 = −0!8휋 · sin
휋
2
· sen 40휋 · 푡
푣 0′15, 푡 = −0!8휋 · sen 40휋 · 푡 푚/푠
La
velocidad
máxima
se
obtendrá
para
aquellos
valores
del
tiempo
que
hagan
que
sen 40휋 · 푡 = ±1:
풗 ퟎ′ퟏퟓ, 풕 풎풂풙 = ퟎ!ퟖ흅 풎/풔
TIPO
24
4.29. En
una
onda
plana
que
atraviesa
un
medio
absorbente
con
coeficiente
de
absorción
β
=
115
m-‐1,
si
inicialmente
la
intensidad
de
la
onda
es
I0,
¿qué
intensidad
tendrá
después
de
recorrer
2
cm?
Sol:
푰 = ퟎ!ퟏ · 푰ퟎ
4.30. Un
muro
de
60
cm
tiene
un
coeficiente
de
absorción
휷 = ퟎ!ퟖퟕ 풎!ퟏ.
a) Si
al
muro
llega
una
onda
de
ퟓ 푾/풎ퟐ,
¿qué
intensidad
llega
a
la
segunda
cara
del
muro?
b) ¿Qué
espesor
debería
tener
para
que
la
intensidad
del
sonido
se
reduzca
un
80%?
a) Aplicamos
la
ecuación
para
la
absorción
de
ondas
planas:
퐼 푥 = 퐼! · 푒!!" = 5 푊/푚! · 푒!!!!"·!!! → 푰 = ퟐ′ퟗퟕ 푾/풎ퟐ
b) Buscamos
el
espesor
que
haga
que
la
intensidad
final
sea
un
20%
de
la
inicial:
0!2 · 퐼! = 퐼! · 푒!!" → ln 0′2 = −훽푥 → 푥 = −
ln 0!2
훽
→ 풙 = ퟏ!ퟖퟓ 풎
TIPO
25
LIBRO
PÁGINAS
54
y
56:
ejercicios
10,
13,
15,
16,
18
y
37.
4.31. El
sonido
emitido
por
un
altavoz
tiene
un
nivel
de
intensidad
(sonoridad)
de
60
dB
a
una
distancia
de
2
m
de
él.
Si
el
altavoz
se
considera
como
una
fuente
puntual,
determina:
a) La
potencia
del
sonido
emitido
por
el
altavoz.
b) ¿A
qué
distancia
el
nivel
de
intensidad
sonora
es
de
30
dB,
y
a
qué
distancia
es
imperceptible
el
sonido?.
Dato:
El
umbral
de
audición
es:
퐼! = 10!!" 푊/푚!.
Sol:
풂) ퟓ!ퟎퟑ · ퟏퟎ!ퟓ 푾; 풃) 푹ퟐ = ퟔퟑ!ퟐퟓ 풎, 푹ퟑ = ퟐퟎퟎퟎ 풎

4.32. Se
realizan
dos
mediciones
del
nivel
de
intensidad
sonora
en
las
proximidades
de
un
foco
sonoro
puntual,
siendo
la
primera
de
100
dB
a
una
distancia
x
del
foco,
y
la
segunda
de
80
dB
al
alejarse
en
la
misma
dirección
100
m
más.
a) Obtén
las
distancias
al
foco
desde
donde
se
efectúan
las
mediciones.
b) Determina
la
potencia
sonora
del
foco.
Dato:
El
umbral
de
audición
es:
Camino
de
la
Piedad,
8
-‐
C.P.
40002
-‐
Segovia
-‐
Tlfns.
921
43
67
61
-‐
Fax:
921
44
34
47
|
퐼! = 10!!" 푊/푚!.
Sol:
풂) 푹ퟏ = ퟏퟏ!ퟏퟏ 풎, 푹ퟐ = ퟏퟏퟏ!ퟏퟏ 풎; 풃) 푷 = ퟏퟓ!ퟓퟏ 푾
4.33. En
un
partido
de
fútbol
sala
un
espectador
canta
un
gol
con
una
sonoridad
de
40
dB.
¿Cuál
será
la
sonoridad
si
gritaran
a
la
vez
y
con
la
misma
intensidad
sonora
los
10000
espectadores
que
se
encuentran
viendo
el
partido?
Dato:
El
umbral
de
audición
es:
퐼! = 10!!" 푊/푚!.
Sol:
푳 = ퟖퟎ 풅푩
4.34. La
potencia
sonora
del
ladrido
de
un
perro
es
aproximadamente
1
mW
y
dicha
potencia
se
distribuye
uniformemente
en
todas
las
direcciones.
Calcula:
a) La
intensidad
y
el
nivel
de
intensidad
sonora
a
una
distancia
de
10
m
del
lugar
donde
se
produce
es
ladrido.
b) El
nivel
de
intensidad
sonora
producido
por
el
ladrido
de
5
perros
a
20
m
de
distancia
de
los
mismos.
Supón
que
todos
los
perros
emiten
sus
ladridos
en
el
mismo
punto
del
espacio.
Dato:
El
umbral
de
audición
es:
퐼! = 10!!" 푊/푚!.
Sol:
풂) 푰 = ퟕퟗ!ퟓퟖ · ퟏퟎ!ퟖ 푾/풎ퟐ, 푳 = ퟓퟗ 풅푩; 풃) 푳푻 = ퟔퟎ 풅푩
4.35. En
un
concierto
se
utiliza
un
altavoz
que
emite
con
una
potencia
de
50
W.
a) ¿Cuál
es
la
intensidad
del
sonido
que
se
percibe
a
50
m
del
mismo?
b) La
organización
quiere
impedir
que
el
público
se
aproxime
a
una
distancia
menor
que
el
doble
de
la
correspondiente
al
umbral
del
dolor.
¿Dónde
deben
poner
el
límite
de
seguridad?
Umbral
del
dolor:
I0
=
100
W/m2.
a) Para
una
onda
esférica
tridimensional,
la
intensidad
a
una
determinada
distancia
al
foco
viene
dada
por
la
expresión:
푰 =
푃
푆
=
푃
4휋 · 푅! =
50 푊
4휋 · 50 푚 ! = ퟏ!ퟓퟗ · ퟏퟎ!ퟑ 푾/풎ퟐ
b) Primero
tenemos
que
estudiar
a
qué
distancia
del
foco
se
alcanza
el
umbral
del
dolor:
퐼! =
푃
4휋 · 푅! → 푅 =
푃
4휋 · 퐼!
=
50 푊
4휋 · 100 푊/푚! = 0!2 푚
Por
lo
tanto,
el
límite
debe
ponerse
al
menos
al
doble
de
esa
distancia:
푹풎풊풏 = ퟎ!ퟒ 풎

4.36. Al
dejar
caer
una
piedra
en
la
superficie
de
agua
en
calma
de
un
estanque
obtenemos
una
onda
Camino
de
la
Piedad,
8
-‐
C.P.
40002
-‐
Segovia
-‐
Tlfns.
921
43
67
61
-‐
Fax:
921
44
34
47
|
con
퐴 = 25 푐푚.
Suponiendo
que
no
hubiese
rozamiento
entre
las
partículas
del
medio,
¿cuál
será
la
amplitud
cuando
la
onda
haya
avanzado
2
m
desde
el
origen?
Nota:
suponer
que
a
1
cm
del
foco
la
amplitud
sigue
siendo
25
cm.
La
onda
que
se
propaga
por
la
superficie
de
un
estanque
es
bidimensional,
en
este
caso,
cada
circunferencia
que
se
forma
aumenta
el
radio
repartiendo
la
energía
entre
un
mayor
número
de
puntos,
ya
que
la
longitud
de
la
circunferencia
que
define
el
frente
de
onda
es
cada
vez
mayor:
푅! → 푆! = 2휋푅! 푅! → 푆! = 2휋푅!
Como
퐼 = !
!·! → 퐼! = !/!
!!
퐼! = !/!
!!
sabiendo
que
!
! = 푐푡푒:
!
! = 퐼! · 2휋푅! !
! = 퐼! · 2휋푅!
퐼! · 2휋푅! = 퐼! · 2휋푅! →
퐼!
퐼!
=
푅!
푅!
Como
sabemos
que
la
intensidad
es
proporcional
al
cuadrado
de
la
amplitud
퐼 ∝ 퐴!:
푨ퟏퟐ
푨ퟐퟐ
=
푹ퟐ
푹ퟏ
Con
esta
expresión
ya
podemos
calcular
la
amplitud
de
la
onda
a
los
dos
metros:
! = 퐴!
퐴!
! ·
푅!
푅!
→ 퐴! = 퐴! ·
푅!
푅!
= 25 푐푚 ·
0!01 푚
20 푚
푨ퟐ = ퟏ!ퟖ 풄풎
TIPO
26
LIBRO
PÁGINA
48:
ejercicio
34.
4.37. Una
ambulancia
viaja
por
una
carretera
a
40 푚/푠.
Su
sirena
emite
un
sonido
con
una
frecuencia
de
400
Hz.
¿Con
qué
frecuencia
escucha
la
sirena
un
observador
que
viaja
a
25 푚/푠?
a) Cuando
se
aproxima
a
la
ambulancia.
b) Cuando
se
aleja
de
la
ambulancia.
Sol:
a) 풇푹 = ퟒퟖퟕ 푯풛;
b) 풇푹 = ퟑퟑퟐ 푯풛
4.38. Calcula
la
frecuencia
con
la
que
percibe
un
policía
la
alarma
de
un
banco
si
se
aproxima
en
su
coche
a
una
velocidad
de
120 푘푚/ℎ,
sabiendo
que
la
frecuencia
a
la
que
emite
la
alarma
es
de
750 퐻푧.
Sol:
풇푹 = ퟖퟐퟒ 푯풛

4.39. Un
murciélago
que
persigue
a
una
mosca
emite
ultrasonidos
a
una
frecuencia
de
ퟓퟓ 풌푯풛.
El
murciélago
se
Camino
de
la
Piedad,
8
-‐
C.P.
40002
-‐
Segovia
-‐
Tlfns.
921
43
67
61
-‐
Fax:
921
44
34
47
|
mueve
a
풗ퟏ = ퟏퟑ 풎/풔
y
la
mosca
a
풗ퟐ = ퟐ′ퟒ 풎/풔
ambos
en
la
misma
recta
y
no
hay
viento
apreciable.
Calcula
en
estas
condiciones:
a) Frecuencia
que
percibe
la
mosca.
b) Frecuencia
que
percibe
el
murciélago
de
los
ultrasonidos
una
vez
reflejados
en
la
mosca.
a) Tenemos
que
tener
en
cuenta
que,
a
la
hora
de
escoger
el
signo
para
las
velocidades
del
observador
y
del
receptor,
tomamos
como
sentido
positivo
el
que
va
desde
el
emisor
hacia
el
receptor.
En
este
caso
el
murciélago
es
el
emisor
y
su
velocidad
es
푣! = +푣!
ya
que
el
murciélago
se
mueve
hacia
el
receptor.
La
mosca
es
el
receptor
y
se
mueve
a
푣! = +푣!,
ya
se
se
está
alejando
del
murciélago.
Una
vez
definidas
las
velocidades
y
teniendo
en
cuenta
que
la
velocidad
de
la
onda
es
la
del
sonido
푣 = 340 푚/푠
aplicamos
la
expresión
del
efecto
Doppler:
풇푹 =
푣 − 푣!
푣 − 푣!
· 푓! =
340 푚/푠 − 2′4 푚/푠
340 푚/푠 − 13 푚/푠
· 55 푘퐻푧 = ퟓퟔ!ퟕퟖ 풌푯풛
b) Ahora
la
mosca
actúa
como
emisor,
reflejando
las
ondas
con
la
misma
frecuencia
que
le
llegan,
y
el
murciélago
actúa
de
receptor:
• 푓! = 56!78 푘퐻푧
• 푣! = −푣!
(la
mosca
se
aleja
del
murciélago).
• 푣! = −푣!
(el
murciélago
se
acerca
a
la
mosca).
풇푹 =
푣 − 푣!
푣 − 푣!
· 푓! =
340 푚/푠 + 13 푚/푠
340 푚/푠 + 2′4 푚/푠
· 56′78 푘퐻푧 = ퟓퟖ!ퟓퟒ 풌푯풛
4.40. Un
observador
en
reposo
pretende
medir
la
velocidad
de
un
coche
basándose
en
el
efecto
Doppler.
Para
ello
mide
la
frecuencia
del
sonido
del
motor
cuando
se
acerca
y
cuando
se
aleja,
obteniendo
como
resultado
500 퐻푧
y
450 퐻푧,
respectivamente.
Con
esos
datos,
calcula
la
velocidad
con
que
se
mueve
el
vehículo.
En
este
problema,
la
velocidad
del
observador
es
cero
푣! = 0 푚/푠.
Planteamos
las
dos
ecuaciones
teniendo
cuidado
con
los
signos
de
las
velocidades
del
emisor
(coche),
en
el
primer
caso
positiva
(ya
que
se
acerca
al
receptor)
y
en
el
segundo
negativa
(ya
que
se
aleja
del
mismo).
Tendremos
que
tener
en
cuenta
también
que
las
frecuencias
del
enunciado
son
las
frecuencias
percibidas
por
el
receptor.
푓!! =
푣 − 푣!
푣 − 푣!
· 푓! =
340 푚/푠
340 푚/푠 − 푣!
· 푓! = 500 퐻푧
푓!! =
푣 − 푣!
푣 − 푣!
· 푓! =
340 푚/푠
340 푚/푠 + 푣!
· 푓! = 450 퐻푧
Para
despejar
la
frecuencia
del
coche
(emisor)
dividimos
ambas
expresiones:
340 푚/푠
340 푚/푠 − 푣!
· 푓!
340 푚/푠
340 푚/푠 + 푣!
· 푓!
=
500 퐻푧
450 퐻푧
→
340 푚/푠 + 푣!
340 푚/푠 − 푣!
=
50
45
→ 50 · 340 푚/푠 − 푣! = 45 · 340 푚/푠 + 푣!
17000 푚/푠 − 50 · 푣! = 15300 푚/푠 + 45 · 푣! → 1700 푚/푠 = 95 · 푣!
풗푬 =
1700 푚/푠
95
= ퟏퟕ!ퟖퟗ 풎/풔

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