Este documento describe dos métodos numéricos para encontrar raíces de funciones: el método de la bisección y el método de la falsa posición. Explica los pasos para implementar cada método, incluida la estimación del error porcentual. También proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar los métodos a funciones específicas.

1. MÉTODO DE LA
BISECCIÓN Y FALSA
POSICIÓN
TAMMY GRANADO MARÍN
UPSE – UNIVERSIDAD ESTATAL PENINSULA DE
SANTA ELENA
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV

2. EL MÉTODO DE
BISECCIÓN

3. Método de la Bisección
› El método de bisección, conocido también como de corte
binario, de partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de
búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a
la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se
evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de
la raíz se determina situándola en el punto medio del
subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El
proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
El objetivo principal entonces será hallar una aproximación a la
raíz.
› Raíz: la raíz es el punto donde la gráfica de la función corta el
eje de las abscisas.

4. Pasos a seguir:
› Paso 1: Elija valores iniciales inferior , 𝑋𝑙, y superior,𝑋𝑢que
encierren la raíz, de forma tal que la función cambie de
signo en el intervalo. Si 𝑓(𝑥) <0 será el valor inferior 𝑋𝑙 ; Si
𝑓(𝑥) >0 será el valor superior 𝑋𝑢
› Paso 2: Una aproximación de la raíz 𝑋𝑟 se determina
mediante: 𝑋𝑟 =
𝑋𝑙+𝑋𝑢
2

5. Pasos a seguir:
› Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para
determinar en qué subintervalo está la raíz:
› a) Si 𝑓(𝑋𝑙 ).𝑓(𝑋𝑟 ) < 0, Entonces la raíz se encuentra
dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto,
haga 𝑋𝑢 = 𝑋𝑟 y vuelva al paso 2.
› b) Si 𝑓(𝑋𝑙).𝑓(𝑋𝑟) > 0, Entonces la raíz se encuentra dentro
del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga 𝑋𝑙 =
𝑋𝑟 y vuelva al paso 2.
› c) Si 𝑓(𝑋𝑙).𝑓(𝑋𝑟) = 0, la raíz es igual a 𝑋𝑟; termina el
cálculo.

6. ESTIMACIÓN DEL ERROR PORCENTUAL
EN LA BISECCIÓN
› En este tipo de resolución se requiere estimar el error de forma tal
que no se necesite el conocimiento previo de la raíz. Se puede
calcular el error relativo porcentual 𝜀𝑎 de la siguiente manera.
𝜀𝑎=
𝑋𝑟
𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜−𝑋𝑟
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑋𝑟
𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 x100%
› Dónde:
› 𝑋𝑟
𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 = raíz en la iteración actual.
› 𝑋𝑟
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = valor de la raíz en la iteración anterior.
› Se utiliza el valor absoluto, ya que por lo general importa sólo la
magnitud de 𝜀𝑎 sin considerar su signo. Cuando 𝜀𝑎 es menor que un
valor previamente fijado 𝜀𝑠, termina el cálculo.

7. METODO DE LA BISECCIÓN
› Ejercicio 1:
› Emplee el método de
bisección para encontrar la
raíz de la siguiente función.
› 𝑓 𝑥 = 𝑥4 +3𝑥3 − 2. Hasta
llegar al error porcentual de
1%.
› Ejercicio 2:
› Emplee el método de
bisección para encontrar la
raíz de la siguiente función.
› 𝑓 𝑥 = 𝑥3 −3. Hasta llegar
al error porcentual menor a
1%.

8. MÉTODO DE LA FALSA
POSICIÓN

9. ¿Qué es el Método de la Falsa Posición?
› En cálculo numérico, el método de la regula falsi (regla del
falso) o falsa posición es un método iterativo de resolución
numérica de ecuaciones no lineales.
› La falsa posición es una alternativa basada en una
visualización gráfica.
› Nos permite hallar ceros y raíces de una función en un
intervalo.

10. TEOREMA DEL
MÉTODO
𝑥 = 𝑥𝑎 −
𝑓 𝑥𝑎 . (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)
𝑓 𝑥𝑏 − 𝑓(𝑥𝑎)
F(x) debe ser continua en un
intervalo 𝑎, 𝑏
Debe cumplir 𝑓 𝑥𝑏 𝑦 𝑓(𝑥𝑎)
tengan signos opuestos

11. Teorema del método
› Sabemos que la pendiente de esta recta está dada por:
› Por lo tanto, la ecuación de la recta es:
› Para obtener el cruce con el eje x, la recta corta en
cuestión al eje x, así que hacemos y=0
𝑚 =
𝑓 𝑥𝑏 − 𝑓(𝑥𝑎)
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
𝑦 − 𝑓(𝑥𝑎) =
𝑓 𝑥𝑏 −𝑓 𝑥𝑎
𝑥𝑏−𝑥𝑎
(𝑥 − 𝑥𝑎)
−𝑓(𝑥𝑎) =
𝑓 𝑥𝑏 −𝑓 𝑥𝑎
𝑥𝑏−𝑥𝑎
(𝑥 − 𝑥𝑎)

12. Teorema del método
› Multiplicando por 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 para simplificar y se nos vaya el
denominador, nos da:
› Finalmente despejamos x:
−𝑓(𝑥𝑎)(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎) = 𝑓 𝑥𝑏 − 𝑓 𝑥𝑎 (𝑥 − 𝑥𝑎)
𝑥 = 𝑥𝑎 −
𝑓(𝑥𝑎)(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)
𝑓 𝑥𝑏 − 𝑓 𝑥𝑎

13. MÉTODO POR
MEDIO DE
GRÁFICA
Hemos agregado por
tanto, esa línea recta
que une el intervalo
[a,b]. La idea principal
es que si tomamos el
punto donde la recta
corta el eje x,
estaremos más cerca
de hallar la raíz.

14. Método por medio de gráfica
› Como se puede ver en la figura, se genera otra recta con
𝑥𝑟 𝑦 𝑥𝑏 . Y pasa por el eje x, generando la siguiente
aproximación 𝑥2. Y así sucesivamente se va actualizando
los intervalos, obteniendo nuevas aproximaciones.

15. › La serie de recurrencia
nos va a permitir
encontrar los puntos de
intersección de la recta
que se genera con los
dos puntos y el eje x.
𝑥𝑖 =
𝑎 ∙ 𝑓 𝑥𝑏 − 𝑏 ∙ 𝑓(𝑥𝑎)
𝑓 𝑥𝑏 − 𝑓(𝑥𝑎)

16. EJERCICIOS
› Usando el método de falsa posición realizar 3 iteraciones
de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2 en el intervalo 0 , 2
› Usar el método de la falsa posición para aproximar la raíz
de 𝑓 𝑥 =
𝜋(1−𝑒−𝑥)
𝑥
− 1, en el intervalo inicial de 2.75 ,